沪教版九年级上学期数学期末试卷 (1)

这是一份沪教版九年级上学期数学期末试卷 (1)，共17页。试卷主要包含了抛物线y＝，已知＝2，那么下列判断错误的是，若＝，则＝　 　，计算等内容，欢迎下载使用。
1．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长度为10cm，那么较短线段BP的长度为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边AC的长是（ ）
A．m•sin35°B．C．D．m•cs35°
4．抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
5．已知＝2，那么下列判断错误的是（ ）
A．﹣2＝0B．C．||＝2||D．∥
6．如图，在△ABC中，＝，则下列等式不成立的是（ ）
A．∠ADE＝∠ACB
B．∠AED＝∠ABC
C．＝
D．＝
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．若＝，则＝ ．
8．计算： +2（﹣）＝ ．
9．如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝ ．
10．将二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为 ．
11．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是 ．
12．若点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，则a﹣b的最小值为 ．
13．在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，csA＝，sinC＝，则∠B＝ ．
14．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是 度．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，CD是斜边AB上的中线，G是△ABC的重心，GH⊥AB于H，则GH＝ ．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则tanA＝ ．
17．如图，点D，E分别在AB，AC上，且∠ABC＝∠AED，若DE＝4，BC＝8，S四边形BCED＝9，则S△ADE＝ ．
18．用4倍的放大镜看一个20°的角，则看出的角的度数是 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+（π﹣2）0．
20．（10分）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，AB：CD＝1：3．
（1）求的值；
（2）设＝，＝，那么＝ ，＝ （用向量，表示）
21．（10分）已知：如图，△ABC中，BD是中线，点E是AB上一点，CE与BD交于点F，EB＝EF．
（1）在图中与∠DFC相等的角有 和 ；
（2）在图中找出与线段AB相等的线段，并证明．
（3）若∠ADB＝90°﹣∠ABD，AB＝kAC，求的值．（用含k的代数式表示）
22．（10分）如图是我们日常生活中经常使用的订书器，AB是订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动．在滑动过程中，DE的长保持不变．已知BD＝4cm．
（1）如图1，当∠ABC＝45°，BE＝12cm时，求连接杆DE的长度；（结果保留根号）
（2）现将压柄BC从图1的位置旋转到与底座AB垂直，如图2所示，请直接写出此过程中，点E滑动的距离．（结果保根号）
23．（12分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）若AB＝9，AC＝BD＝6，求AE的长．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）若a＝﹣1时．
①求A、B、C三点的坐标；
②如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过P点作PF∥y轴交BC于F点，若，请求出P点坐标；
（2）如图2，将△AOC绕原点O顺时针旋转得△DOE，且使得点D落在线段AC上．当OE⊥BC时，请求出a的值和CE的长．
25．（14分）综合与实践
背景阅读：旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转作为图形变换的一种，具备图形旋转前后对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角：旋转前、后的图形是全等图形等性质．所以充分运用这些性质是在解决有关旋转问题的关键．
实践操作：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2AB＝12，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
问题解决：（1）①当α＝0°时，＝ ；②当α＝180°时，＝ ．
（2）试判断：当0°≤a＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
问题再探：（3）当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求得线段BD的长为 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，
∴BP＝AB﹣AP＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm，
故选：D．
2．解：设CF＝x，
∵EF∥AC，
∴，
∴，
解得x＝，
∴CF＝，
∵EF∥DB，
＝＝＝．
故选：A．
3．解：在Rt△ABC中，
∵csA＝，
∴AC＝AB•csA＝m•csA，
故选：D．
4．解：∵y＝（x﹣3）2+1，
∴此函数的顶点坐标为（3，1），
故选：A．
5．解：A、由＝2知，﹣2＝，符合题意；
B、由＝2知，，不符合题意；
C、由＝2知，||＝2||，不符合题意；
D、由＝2知，∥，不符合题意．
故选：A．
6．解：∵，∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，，
不能得出．
故选：D．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．解：设＝＝k，
则a＝bk，c＝dk，e＝fk，
∴＝＝＝k＝，
故答案为：．
8．解：原式＝+3﹣2＝．
故答案是：．
9．解：∵△ABC∽△AMN，
∴，
∵M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，
∴AM＝MC＝4，
∴，
解得AN＝，
故答案为：．
10．解：将函数y＝﹣x2的图象先向右平移2个单位长度得到y＝﹣（x﹣2）2，
再向上平移3个单位长度后，得到y＝﹣（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+3．
11．解：二次函数y＝ax2+bx+c，
①开口向下，
∴a＜0；
②当x＞0时，y随着x的增大而减小，﹣≤0，即b＜0；
∴只要满足以上两个条件就行，
如a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣1时，二次函数的解析式是y＝﹣x2﹣2x﹣1．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣1．
12．解：∵点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，
∴b＝﹣2a2+2a+1，
∴a﹣b＝a﹣（﹣2a2+2a+1）＝2a2﹣a﹣1，
∵a﹣b＝2a2﹣a﹣1＝2（a﹣）2﹣，
∴a﹣b的最小值为﹣，
故答案为﹣．
13．解：∵∠A，∠C都是锐角，csA＝，sinC＝，
∴∠A＝60°，∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，
故答案为：60°．
14．解：如图所示：
∵甲处看乙处为俯角36°，
∴乙处看甲处为：仰角为36°，
故答案为：36．
15．解：过C点作CE⊥AB于E，如图，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵CE•AB＝AC•BC，
∴CE＝＝，
∵G是△ABC的重心，
∴DG＝CG，
∴DG＝CD，
∵CE⊥AB，GH⊥AB，
∴GH∥CE，
∴△DHG∽△DEC，
∴＝＝，
∴GH＝CE＝×＝．
故答案为．
16．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，
∴tanA＝＝2，
故答案为：2．
17．解：∵∠ABC＝∠AED，∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝（）2＝，
∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3，
∵S四边形BCED＝9，
∴S△ADE＝3．
故答案为：3．
18．解：用一个放大4倍的放大镜看一个20度的角，看到的这个角仍是20度；
故答案为：20°．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．解：原式＝2×+﹣1﹣+1
＝
＝．
20．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠EDC，∠ABE＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝＝，
∴CE＝3BE，
∵EF∥CD，
∴∠BEF＝∠BCD，
∵∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BCD，
∴＝，
∵BC＝BE+CE＝BE+3BE＝4BE，
∴＝；
（2）由（1）知：EF＝CD，
∴＝＝，
∵+＝，
∴＝﹣，
∵＝，
∴，
∵AB：CD＝1：3，
∴AB＝CD，
∴＝，
＝+﹣＝．
故答案为：，．
21．解：（1）∵EB＝EF，
∴∠EBF＝∠EFB，
∵∠DFC＝∠EFB，
∴∠DFC＝∠EBF，
故答案为：∠EFB，∠EBF．
（2）CF＝AB．
延长BD到G，使BD＝DG，连接AG，CG，
∵△ABC中，BD是中线，
∴AD＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CG＝AB，CG∥AB，AG∥BC，
∴∠ABC＝∠BGC，
∵EB＝EF，
∴∠EBF＝∠EFB，
∵∠GFC＝∠EFB，
∴∠GFC＝∠CGF，
∴CF＝CG，
∵CG∥AB，
∴CF＝AB．
（3）如图，在FD的延长线上取点M，使FM＝FC，连接CM，
∵∠ADB＝90°﹣∠ABD，
设∠ADB＝α，则∠ADB＝90°﹣α，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB
＝180°﹣α﹣（90°﹣α）
＝90°﹣α，
∴∠ADB＝∠BAD，
∴BD＝AB，
∵FM＝FC，
∴∠M＝∠MCF，
∵∠MFC＝∠ABD，
∴∠M＝∠MCF＝∠ADB＝∠BAD，
∵∠ADB＝∠MDC，
∴∠M＝∠MDC，
∴CD＝CM，
∴CD＝AD＝CM，
设CD＝AD＝CM＝a，
∵CF＝AB，
∴CF＝FM＝AB＝BD，
∴DM＝BF，
∵AB＝kAC，
∴AB＝BD＝CF＝FM＝2ka，
∵∠ADB＝∠M，∠BAD＝∠CDM，
∴△ABD∽△DCM，
∴＝＝2k，
∴＝2k，
∴BF＝DM＝，
∴FD＝BD﹣BF＝2ka﹣＝，
∴＝．
22．解：（1）作DH⊥AB于H，
∵∠ABC＝45°，BD＝4cm，
∴DH＝BH＝BD•sin45°＝4＝4（cm），
∵BE＝12cm，
∴EH＝BE﹣BH＝12﹣4＝8（cm），
∴DE＝＝＝4（cm），
∴连接杆DE的长度为4cm；
（2）由（1）知BD＝4cm，DE＝4cm，
∴此时的BE＝＝＝4（cm），
故点E滑动的距离为（12﹣4）cm．
23．解：（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE．
∵∠CED＝∠EAC+∠ACE，∠CDE＝∠BAD+∠B，
又∠DAC＝∠B，
∴∠ACE＝∠BAD，
∵∠DAC＝∠B．
∴△ABD∽△CAE．
（2）∵△ABD∽△CAE，
∴，
即，
解得，AE＝4．
24．解：（1）①当a＝﹣1时，
∴y＝﹣x2+3x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴点C（0，4），
当y＝﹣x2+3x+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A（﹣1，0），点B（4，0）；
②∵＝，且OC＝4，
∴PF＝3，
∵点B（4，0），点C（0，4），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，
设点P（m，﹣m2+3m+4），点F（m，﹣m+4），
∴PF＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝3，
∴m1＝1，m2＝3，
∴点P1（1，6），P2（3，4）；
（2）如图2，过点O作HO⊥AD于H，
当y＝ax2﹣3ax﹣4a＝0时，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A（﹣1，0），点B（4，0）；
∵将△AOC绕原点O顺时针旋转得△DOE，
∴OA＝OD，∠DOE＝∠AOC＝90°，
∵OE⊥BC，
∴OD∥BC，
∴∠DAO＝∠ADO＝∠ACB，
∴BA＝BC＝5，
∴OC＝＝＝3，AC＝＝＝，
∴OC＝﹣4a＝3，
∴a＝﹣，
∵cs∠OAC＝，
∴，
∴AH＝DH＝，
∴AD＝，
∵，∠AOD＝∠COE，
∴△AOD∽△COE，
∴＝，
∴CE＝．
25．问题解决：
解：（1）①当α＝0°时，
∵BC＝2AB＝12，
∴AB＝6，
∴AC＝＝＝6，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝6，AE＝CE＝AC＝3，DE＝AB，
∴．
故答案为：；
②如图1，
，
当α＝180°时，
∵将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，
∴CD＝6，CE＝3，
∴AE＝AC+CE＝9，BD＝BC+CD＝18，
∴．
故答案为：．
（2）如图2，
，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
问题再探：
（3）①如图3，
，
∵AC＝6，CD＝6，CD⊥AD，
∴AD＝＝＝12，
∵AD＝BC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝6．
②如图4，
∵AC＝6，CD＝6，CD⊥AD，
∴AD＝＝12，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE＝＝3，
∴AE＝AD﹣DE＝12﹣3＝9，
由（2）可得
，
∴BD＝
综上所述，BD＝6或．
故答案为：6或．