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沪教版(上海)八年级第一学期数学期末试卷 (1)
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这是一份沪教版(上海)八年级第一学期数学期末试卷 (1)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
上海市八年级（上）期末数学试卷（附答案与解析）
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）方程x2＝4x的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0
4．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
5．（2分）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．米 B．米 C．4米 D．6米
6．（2分）已知下列命题中：
①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）计算：＝ ．
8．（3分）函数的定义域是 ．
9．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣x﹣3＝ ．
10．（3分）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 ．
11．（3分）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为 度．
12．（3分）已知直角坐标平面内点A（1，2）和点B（2，4），则线段AB＝ ．
13．（3分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ．
14．（3分）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝ ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，则MN的长度为 ．
17．（3分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为 ．
18．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为 ．
三、计算题（本大题共2题，满分10分）
19．（5分）计算：．
20．（5分）解方程：2x（x﹣2）＝x2﹣3．
四、解答题（本大题共5题，21-24每题6分，25题8分，满分32分）
21．（6分）已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，请求出m的最大整数值．
22．（6分）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．
（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；
（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？
23．（6分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是点B、C，点E是线段BC上一点，且AE⊥DE，AE＝ED，如果BE＝3，AB+BC＝11，求AB的长．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．
（1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN．
25．（8分）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．
五、综合题：（本大题只有1题，满分10分）
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上．
（1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE；
（2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2；
（3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系．
八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C|，是最简二次根式，符合题意；
D、＝|y|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
2．（2分）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，在确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．
【解答】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴双曲线在第二、四象限，
∴函数y＝kx的图象经过第二、四象限，
故选：B．
3．（2分）方程x2＝4x的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0
【分析】本题可先进行移项得到：x2﹣4x＝0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．
【解答】解：原方程可化为：x2﹣4x＝0，提取公因式：x（x﹣4）＝0，
∴x＝0或x＝4．
故选：C．
4．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
【分析】把（3，﹣2）代入解析式，就可以得到k的值．
【解答】解：根据题意，得k＝xy＝﹣2×3＝﹣6．
故选：A．
5．（2分）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．米 B．米 C．4米 D．6米
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4米，
∴2+4＝6米．
故选：D．
6．（2分）已知下列命题中：
①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题；
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题．
其中真命题的个数是2个；
故选：B．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）计算：＝ 4 ．
【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴＝4，
故答案为4．
8．（3分）函数的定义域是 x≥﹣2 ．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：3x+6≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
9．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣x﹣3＝ ．
【分析】首先解一元二次方程x2﹣x﹣3＝0，即可直接写出分解的结果．
【解答】解：解方程x2﹣x﹣3＝0，
得x＝，
则：x2﹣x﹣3＝．
故答案是：．
10．（3分）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 k＜2 ．
【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数y＝kx（k≠0），当k＜0时，该函数的图象经过第二、四象限）解答．
【解答】解：∵正比例函数y＝（k﹣2）x的的图象经过第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
解得，k＜2．
故答案是：k＜2．
11．（3分）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为 400 度．
【分析】把近视眼镜镜片的焦距为0.25米代入函数解析式就可解决问题．
【解答】解：把x＝0.25代入，
解得y＝400，
所以他的眼睛近视400度．
故答案为：400．
12．（3分）已知直角坐标平面内点A（1，2）和点B（2，4），则线段AB＝ ．
【分析】利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵点A（1，2），B（2，4），
∴AB＝＝．
故答案为：．
13．（3分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： 如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
14．（3分）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是 线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外） ．
【分析】满足△MNC以线段MN为底边且CM＝CN，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件）．
【解答】解：∵△MNC以线段MN为底边，CM＝CN，
∴点C在线段MN的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件），
∴以线段MN为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是：
线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．
故答案为：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝ ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，再求出△BDE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍解答．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝1，
∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，则MN的长度为 5 ．
【分析】连接MB、MD，利用直角三角形斜边上中线的性质得出△MBD为等腰三角形，再利等腰三角形“三线合一”得出MN⊥BD，BN＝ND＝BD＝12，最后利用勾股定理即可求出MN的长度．
【解答】解：如图，连接MB、MD，
∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴MB＝AC，MD＝AC，
∵AC＝26，
∴MB＝MD＝×26＝13，
∵N是BD的中点，BD＝24，
∴MN⊥BD，BN＝DN＝BD＝×24＝12，
∴MN＝＝＝5，
故答案为：5．
17．（3分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为 （，） ．
【分析】根据题意求得A3（1，1），设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），由图象上点的坐标特征得到k＝m（m+1）＝1，解得m＝，即可求得A2的坐标为（，）．
【解答】解：∵反比例函数的解析式为，
∴A3所在的正方形的边长为1，
∴A3（1，1），
设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），
∴m（m+1）＝1，
解得m＝（负数舍去），
∴A2的坐标为（，），
故答案为：（，）．
18．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为 ．
【分析】延长B1D交BC于E，由B1D⊥BC，可得DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，在Rt△B1CE中可得（x+x）2+（3﹣x）2＝32，即可解得答案．
【解答】解：延长B1D交BC于E，如图：
∵B1D⊥BC，
∴∠BED＝∠B1EC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴DE＝BD，BE＝BD，
设BD＝x，
∵将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，
∴B1D＝x，
∵BC＝3，
∴CE＝3﹣x，B1C＝BC＝3，
在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，
∴（x+x）2+（3﹣x）2＝32，
解得x＝0（舍去）或x＝，
∴BD＝，
故答案为：．
三、计算题（本大题共2题，满分10分）
19．（5分）计算：．
【分析】先进行分母有理化、化简二次根式，再去括号，计算加减即可．
【解答】解：原式＝﹣（﹣1）+2
＝﹣2﹣+1+2
＝2﹣1．
20．（5分）解方程：2x（x﹣2）＝x2﹣3．
【分析】先把方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解（x﹣1）（x﹣3）＝0，方程就可化为两个一元一次方程x﹣1＝0或x﹣3＝0，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：方程变形为：x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
四、解答题（本大题共5题，21-24每题6分，25题8分，满分32分）
21．（6分）已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，请求出m的最大整数值．
【分析】根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，确定出m的范围，进而求出最大整数值即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，
∴b2﹣4ac＝（2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）＝4m2﹣（4m2+8m﹣12）＝4m2﹣4m2﹣8m+12＝﹣8m+12≥0，m﹣1≠0，
解得：m≤且m≠1，
则m的最大整数值为0．
22．（6分）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．
（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；
（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？
【分析】（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，利用2022年投资额＝2020年投资额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用这三年我校总共投资的金额＝2020年投资额+2020年投资额×（1+年平均增长率）+2022年投资额，即可求出结论．
【解答】解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，
依题意得：110（1+x）2＝185.9，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%．
（2）110+110×（1+30%）+185.9
＝110+143+185.9
＝438.9（万元）．
答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元
23．（6分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是点B、C，点E是线段BC上一点，且AE⊥DE，AE＝ED，如果BE＝3，AB+BC＝11，求AB的长．
【分析】求出∠A＝∠DEC，∠B＝∠C＝90°，根据AAS证△ABE≌△ECD，推出AB＝CE，求出AB+BC＝2AB+BE＝11，把BE＝3代入求出AB即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是点B、C，
∴∠B＝∠C＝90°．
∴∠A+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∵∠AEB+∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠A＝∠DEC，
∵在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴AB＝CE，
∵BC＝BE+CE＝BE+AB，
∴AB+BC＝2AB+BE＝11，
∵BE＝3，
∴AB＝4．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．
（1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线上；
（2）根据等腰三角形的性质计算出∠C的度数，再计算出∠CAN的度数，然后根据三角形的性质可得CN＝2AN，进而得到CN＝2BN．
【解答】（1）解：作图正确；
（2）证明：连接AN．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°．
∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°．
∵AN＝BN，
∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°．
∵∠C＝30°，
∴CN＝2AN．
∴CN＝2BN．
25．（8分）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．
【分析】（1）根据一次函数解析式求出A点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）若使△AOP是等腰三角形，分OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP三种情况讨论分别求出P点的坐标即可．
【解答】解：（1）∵A点是一次函数和反比例函数图象的交点，
∴m＝×4，
解得m＝2，
即A（4，2），
把A点坐标代入反比例函数得，2＝，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）设P点的坐标为（n，0），
若使△AOP是等腰三角形，分以下三种情况：
①当OA＝OP时，
由（1）知，A（4，2），
∴n＝＝2，
即P（2，0）；
②当OA＝AP时，作AH⊥OP于H，
∵A（4，2），
∴OH＝4，
∵OA＝AP，
∴OP＝2OH＝2×4＝8，
即P（8，0）；
③当OP＝AP时，
∵A（4，2），
∴n＝，
即n2＝（4﹣n）2+22，
解得n＝，
即P（，0），
综上，符合条件的P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0）．
五、综合题：（本大题只有1题，满分10分）
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上．
（1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE；
（2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2；
（3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系．
【分析】（1）由CA＝CB得∠A＝∠B，由CD＝CE得∠CEA＝∠CDB，则△ACE≌△BCD，得AE＝BD，即可转化为AD＝BE；
（2）将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，则BF＝AD，证明△FCE≌△DCE，得FE＝DE，再证明∠EBF＝90°，则FE2＝BF2+BE2，即可证得DE2＝AD2+BE2；
（3）将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，则BG＝AP，GC＝PC，∠PCG＝90°，所以PG2＝PC2+GC2＝2PC2，再证明∠BPG＝90°，则BG2＝BP2+PG2，可证得AP2＝BP2+2PC2，即a2＝b2+2c2．
【解答】（1）证明：如图1，∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∵CD＝CE，
∴∠CEA＝∠CDB，
∴△ACE≌△BCD（AAS），
∴AE＝BD，
∴AE﹣DE＝BD﹣DE，
∴AD＝BE．
（2）证明：如图2，将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠CBA＝∠A＝45°，
由旋转得CF＝CD，∠BCF＝∠ACD，
∵∠DCE＝45°，
∴∠FCE＝∠BCF+∠BCE＝∠ACD+∠BCE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FCE＝∠DCE，
∵CE＝CE，
∴△FCE≌△DCE（SAS），
∴FE＝DE，
∵∠CBF＝∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴FE2＝BF2+BE2，
∵BF＝AD，
∴DE2＝AD2+BE2.
（3）a2＝b2+2c2，
理由如下：
如图3，将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，
由旋转得GC＝PC，∠PCG＝90°，
∴∠CPG＝∠CGP＝45°，PG2＝PC2+GC2＝2PC2，
∵∠BPC＝135°，
∴∠BPG＝135°﹣45°＝90°，
∴BG2＝BP2+PG2，
∵BG＝AP，
∴AP2＝BP2+2PC2，
∴a2＝b2+2c2．
上海市八年级（上）期末数学试卷（附答案与解析）
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）方程x2＝4x的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0
4．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
5．（2分）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．米 B．米 C．4米 D．6米
6．（2分）已知下列命题中：
①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）计算：＝ ．
8．（3分）函数的定义域是 ．
9．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣x﹣3＝ ．
10．（3分）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 ．
11．（3分）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为 度．
12．（3分）已知直角坐标平面内点A（1，2）和点B（2，4），则线段AB＝ ．
13．（3分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ．
14．（3分）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝ ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，则MN的长度为 ．
17．（3分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为 ．
18．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为 ．
三、计算题（本大题共2题，满分10分）
19．（5分）计算：．
20．（5分）解方程：2x（x﹣2）＝x2﹣3．
四、解答题（本大题共5题，21-24每题6分，25题8分，满分32分）
21．（6分）已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，请求出m的最大整数值．
22．（6分）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．
（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；
（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？
23．（6分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是点B、C，点E是线段BC上一点，且AE⊥DE，AE＝ED，如果BE＝3，AB+BC＝11，求AB的长．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．
（1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN．
25．（8分）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．
五、综合题：（本大题只有1题，满分10分）
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上．
（1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE；
（2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2；
（3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系．
八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C|，是最简二次根式，符合题意；
D、＝|y|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
2．（2分）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，在确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．
【解答】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴双曲线在第二、四象限，
∴函数y＝kx的图象经过第二、四象限，
故选：B．
3．（2分）方程x2＝4x的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0
【分析】本题可先进行移项得到：x2﹣4x＝0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．
【解答】解：原方程可化为：x2﹣4x＝0，提取公因式：x（x﹣4）＝0，
∴x＝0或x＝4．
故选：C．
4．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
【分析】把（3，﹣2）代入解析式，就可以得到k的值．
【解答】解：根据题意，得k＝xy＝﹣2×3＝﹣6．
故选：A．
5．（2分）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．米 B．米 C．4米 D．6米
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4米，
∴2+4＝6米．
故选：D．
6．（2分）已知下列命题中：
①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题；
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题．
其中真命题的个数是2个；
故选：B．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）计算：＝ 4 ．
【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴＝4，
故答案为4．
8．（3分）函数的定义域是 x≥﹣2 ．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：3x+6≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
9．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣x﹣3＝ ．
【分析】首先解一元二次方程x2﹣x﹣3＝0，即可直接写出分解的结果．
【解答】解：解方程x2﹣x﹣3＝0，
得x＝，
则：x2﹣x﹣3＝．
故答案是：．
10．（3分）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 k＜2 ．
【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数y＝kx（k≠0），当k＜0时，该函数的图象经过第二、四象限）解答．
【解答】解：∵正比例函数y＝（k﹣2）x的的图象经过第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
解得，k＜2．
故答案是：k＜2．
11．（3分）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为 400 度．
【分析】把近视眼镜镜片的焦距为0.25米代入函数解析式就可解决问题．
【解答】解：把x＝0.25代入，
解得y＝400，
所以他的眼睛近视400度．
故答案为：400．
12．（3分）已知直角坐标平面内点A（1，2）和点B（2，4），则线段AB＝ ．
【分析】利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵点A（1，2），B（2，4），
∴AB＝＝．
故答案为：．
13．（3分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： 如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
14．（3分）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是 线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外） ．
【分析】满足△MNC以线段MN为底边且CM＝CN，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件）．
【解答】解：∵△MNC以线段MN为底边，CM＝CN，
∴点C在线段MN的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件），
∴以线段MN为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是：
线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．
故答案为：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝ ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，再求出△BDE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍解答．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝1，
∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，则MN的长度为 5 ．
【分析】连接MB、MD，利用直角三角形斜边上中线的性质得出△MBD为等腰三角形，再利等腰三角形“三线合一”得出MN⊥BD，BN＝ND＝BD＝12，最后利用勾股定理即可求出MN的长度．
【解答】解：如图，连接MB、MD，
∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴MB＝AC，MD＝AC，
∵AC＝26，
∴MB＝MD＝×26＝13，
∵N是BD的中点，BD＝24，
∴MN⊥BD，BN＝DN＝BD＝×24＝12，
∴MN＝＝＝5，
故答案为：5．
17．（3分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为 （，） ．
【分析】根据题意求得A3（1，1），设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），由图象上点的坐标特征得到k＝m（m+1）＝1，解得m＝，即可求得A2的坐标为（，）．
【解答】解：∵反比例函数的解析式为，
∴A3所在的正方形的边长为1，
∴A3（1，1），
设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），
∴m（m+1）＝1，
解得m＝（负数舍去），
∴A2的坐标为（，），
故答案为：（，）．
18．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为 ．
【分析】延长B1D交BC于E，由B1D⊥BC，可得DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，在Rt△B1CE中可得（x+x）2+（3﹣x）2＝32，即可解得答案．
【解答】解：延长B1D交BC于E，如图：
∵B1D⊥BC，
∴∠BED＝∠B1EC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴DE＝BD，BE＝BD，
设BD＝x，
∵将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，
∴B1D＝x，
∵BC＝3，
∴CE＝3﹣x，B1C＝BC＝3，
在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，
∴（x+x）2+（3﹣x）2＝32，
解得x＝0（舍去）或x＝，
∴BD＝，
故答案为：．
三、计算题（本大题共2题，满分10分）
19．（5分）计算：．
【分析】先进行分母有理化、化简二次根式，再去括号，计算加减即可．
【解答】解：原式＝﹣（﹣1）+2
＝﹣2﹣+1+2
＝2﹣1．
20．（5分）解方程：2x（x﹣2）＝x2﹣3．
【分析】先把方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解（x﹣1）（x﹣3）＝0，方程就可化为两个一元一次方程x﹣1＝0或x﹣3＝0，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：方程变形为：x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
四、解答题（本大题共5题，21-24每题6分，25题8分，满分32分）
21．（6分）已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，请求出m的最大整数值．
【分析】根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，确定出m的范围，进而求出最大整数值即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，
∴b2﹣4ac＝（2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）＝4m2﹣（4m2+8m﹣12）＝4m2﹣4m2﹣8m+12＝﹣8m+12≥0，m﹣1≠0，
解得：m≤且m≠1，
则m的最大整数值为0．
22．（6分）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．
（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；
（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？
【分析】（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，利用2022年投资额＝2020年投资额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用这三年我校总共投资的金额＝2020年投资额+2020年投资额×（1+年平均增长率）+2022年投资额，即可求出结论．
【解答】解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，
依题意得：110（1+x）2＝185.9，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%．
（2）110+110×（1+30%）+185.9
＝110+143+185.9
＝438.9（万元）．
答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元
23．（6分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是点B、C，点E是线段BC上一点，且AE⊥DE，AE＝ED，如果BE＝3，AB+BC＝11，求AB的长．
【分析】求出∠A＝∠DEC，∠B＝∠C＝90°，根据AAS证△ABE≌△ECD，推出AB＝CE，求出AB+BC＝2AB+BE＝11，把BE＝3代入求出AB即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是点B、C，
∴∠B＝∠C＝90°．
∴∠A+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∵∠AEB+∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠A＝∠DEC，
∵在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴AB＝CE，
∵BC＝BE+CE＝BE+AB，
∴AB+BC＝2AB+BE＝11，
∵BE＝3，
∴AB＝4．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．
（1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线上；
（2）根据等腰三角形的性质计算出∠C的度数，再计算出∠CAN的度数，然后根据三角形的性质可得CN＝2AN，进而得到CN＝2BN．
【解答】（1）解：作图正确；
（2）证明：连接AN．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°．
∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°．
∵AN＝BN，
∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°．
∵∠C＝30°，
∴CN＝2AN．
∴CN＝2BN．
25．（8分）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．
【分析】（1）根据一次函数解析式求出A点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）若使△AOP是等腰三角形，分OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP三种情况讨论分别求出P点的坐标即可．
【解答】解：（1）∵A点是一次函数和反比例函数图象的交点，
∴m＝×4，
解得m＝2，
即A（4，2），
把A点坐标代入反比例函数得，2＝，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）设P点的坐标为（n，0），
若使△AOP是等腰三角形，分以下三种情况：
①当OA＝OP时，
由（1）知，A（4，2），
∴n＝＝2，
即P（2，0）；
②当OA＝AP时，作AH⊥OP于H，
∵A（4，2），
∴OH＝4，
∵OA＝AP，
∴OP＝2OH＝2×4＝8，
即P（8，0）；
③当OP＝AP时，
∵A（4，2），
∴n＝，
即n2＝（4﹣n）2+22，
解得n＝，
即P（，0），
综上，符合条件的P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0）．
五、综合题：（本大题只有1题，满分10分）
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上．
（1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE；
（2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2；
（3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系．
【分析】（1）由CA＝CB得∠A＝∠B，由CD＝CE得∠CEA＝∠CDB，则△ACE≌△BCD，得AE＝BD，即可转化为AD＝BE；
（2）将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，则BF＝AD，证明△FCE≌△DCE，得FE＝DE，再证明∠EBF＝90°，则FE2＝BF2+BE2，即可证得DE2＝AD2+BE2；
（3）将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，则BG＝AP，GC＝PC，∠PCG＝90°，所以PG2＝PC2+GC2＝2PC2，再证明∠BPG＝90°，则BG2＝BP2+PG2，可证得AP2＝BP2+2PC2，即a2＝b2+2c2．
【解答】（1）证明：如图1，∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∵CD＝CE，
∴∠CEA＝∠CDB，
∴△ACE≌△BCD（AAS），
∴AE＝BD，
∴AE﹣DE＝BD﹣DE，
∴AD＝BE．
（2）证明：如图2，将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠CBA＝∠A＝45°，
由旋转得CF＝CD，∠BCF＝∠ACD，
∵∠DCE＝45°，
∴∠FCE＝∠BCF+∠BCE＝∠ACD+∠BCE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FCE＝∠DCE，
∵CE＝CE，
∴△FCE≌△DCE（SAS），
∴FE＝DE，
∵∠CBF＝∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴FE2＝BF2+BE2，
∵BF＝AD，
∴DE2＝AD2+BE2.
（3）a2＝b2+2c2，
理由如下：
如图3，将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，
由旋转得GC＝PC，∠PCG＝90°，
∴∠CPG＝∠CGP＝45°，PG2＝PC2+GC2＝2PC2，
∵∠BPC＝135°，
∴∠BPG＝135°﹣45°＝90°，
∴BG2＝BP2+PG2，
∵BG＝AP，
∴AP2＝BP2+2PC2，
∴a2＝b2+2c2．
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