上海市虹口区2025届高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）(含答案)

这是一份上海市虹口区2025届高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,则“”是“”的________条件( )
A.充要B.充分非必要
C.必要非充分D.既非充分又非必要
2．已知事件A和事件B满足,则下列说法正确的是( )
A.事件A和事件B独立B.事件A和事件B互斥
C.事件A和事件B对立D.事件A和事件B互斥
3．已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O,若空间中的动点P满足,,则点P的轨迹所形成的几何体的体积为( )
A.B.C..D.
4．设数列的前四项分别为,,,对于以下两个命题,说法正确的是( )
①存在等比数列以及锐角,使成立.
②对任意等差数列以及锐角,均不能使成立.
A.①是真命题,②是真命题B.①是真命题,②是假命题
C.①是假命题,②是真命题D.①是假命题,②是假命题
二、填空题
5．已知集合,,则_____________.
6．函数的定义域是_____________.
7．若,则______________.
8．在的二项展开式中,项的系数为_______________.
9．设且,则函数的图像恒过的定点坐标为______________.
10．若某圆锥的底面半径为1,高为1,则该圆锥的侧面积为______________.（结果保留）
11．已知非零复数z满足,,则z的虚部为______________.
12．已知,则的解集是____________.
13．如图,已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2,且二面角的大小为,则______________.
14．双曲线的左、右焦点分别为和,若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P,且,则的离心率为_____________.
15．2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功,标志着中国空间站建设进入新阶段.在飞船竖直升空过程中,某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次.已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H,且在照片上飞船船体长度为h,比较两张照片,相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m.假设该记者连按拍照键间的反应时间为t,并忽略相机曝光时长,若用平均速度估算瞬时速度,则拍照时飞船的瞬时速度为_______________.（用含有H、h、m、t的式子表示）
16．已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素,且相邻两项满足.若中任意两项都不相等,则满足条件的数列有______________个.
三、解答题
17．设.
(1)当函数的最小正周期为时,求在上的最大值;
(2)若,且在中,角A、B、C所对的边长为a、b、c,锐角A满足,,求a的最小值.
18．如图,已知在四棱柱中,平面,N、M分别是、的中点.
(1)求证：平面;
(2)若底面为梯形,,,,异面直线与所成角为.求直线与平面所成角的正弦值.
19．2024年法国奥运会落下帷幕.某平台为了解观众对本次奥运会的满意度,随机调查了本市1000名观众,得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分）,平台将评分分为,,,,共5层,绘制成频率分布直方图（如图1所示）.并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分,绘制成茎叶图,但由于某种原因茎叶图受到了污损,可见部分信息如图2所示.
(1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数;
(2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访,求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率;
(3)已知这1000名观众的评分位于上的均值为67,方差为64.7,位于上的均值为73,方差为134.6,求这1000名观众的评分位于上的均值与方差.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为,,右顶点为A,上顶点为B,设P为上的一点.
(1)当时,求的值;
(2)若P点坐标为,则在上是否存在点Q使的面积为,若存在,请求出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)已知D点坐标为,过点P和点D的直线l与椭圆交于另一点T,当直线l与x轴和y轴均不平行时,有,求实数m的取值范围.
21．设,,.若函数满足恒成立,则称函数具有性质.
(1)判断是否具有性质,并说明理由;
(2)设,若函数具有性质,求实数a的取值范围;
(3)设函数的定义域为R,且对任意以及,都有.若当时,恒有.求证：函数对任意实数a均具有性质.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意,,
由,即,则或,
由,则,
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选：C.
2．答案：B
解析：因为事件A和事件B满足,则一定可以得到事件A和事件B互斥,但不一定对立,故B正确,C错误;
因为,当,不为0时,事件A和事件B不独立,故A错误;
抛掷一枚骰子,记出现1点为事件A,出现2点为事件B,
则,,显然事件和事件不互斥,故D错误.
故选：B.
3．答案：A
解析：空间中的动点P满足,,
则点P的轨迹是以,,为邻边的平行六面体,
将正四面体放入如图所示的正方体中,
则正四面体的内切球心O为正方体的中心,
设正方体的棱长为a,所以,所以,
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,,,,,
所以,,,
,
,
,
所以,
所以,
所以以,为邻边的平行四边形面积为：
,
设平面的法向量为,
则,
取,可得,,所以,,
又因为点D到平面距离为,
以,,为邻边的平行六面体的体积为：.
故选：A.
4．答案：A
解析：对于①,若,,成等比数列,即,,
则,即,得,
在同一坐标系内作和的图象：
可知方程,有且只有一解,
所以存在等比数列以及锐角,使成立,①是真命题;
对于②,假设存在等差数列以及锐角,
使成立,则必有,
当时,显然不成立;
当时,,,
所以,,
所以,
则,
,即,即,
因为,所以,,
不存在这样的使得等式成立;
当时,,,
所以,,
所以,
同理,
因为,所以,,
不存在这样的使得等式成立;
所以②是真命题.
故选：A.
5．答案：
解析：由,,
则.
故答案为：.
6．答案：
解析：函数的定义域是,
所以,解得：或.
所以函数的定义域为：.
故答案为：.
7．答案：
解析：因为,
所以.
故答案为：.
8．答案：
解析：二项式的通项公式为,
令,可得,所以.
故答案为：.
9．答案：
解析：令,可得恒成立,
所以函数的图象恒过定点.
故答案为：.
10．答案：
解析：因为圆锥的底面半径,高,设母线为,则,
所以该圆锥的侧面积为.
故答案为：.
11．答案：
解析：设,则,
因为,,所以,解得或（舍去）,
所以,则z的虚部为.
故答案为：.
12．答案：
解析：因为,
设,则,所以,
所以,
不等式,即或,解得或,
综上可得的解集.
故答案为：.
13．答案：
解析：设F,G分别为,的中点,连接,,
在正三角形ABC中,,,
在正方形BCDE中,,,,
所以为二面角的平面角,即,
.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图过P作抛物线准线的垂线,垂足为M,设,
因为是抛物线的焦点,
, ,
在中,由余弦定理得,
,
即,解得
又和是双曲线的左、右焦点,
,
.
故答案为：.
15．答案：
解析：设第二次拍照飞船的实际上升了x,
所以,解得：,
所以拍照时飞船的瞬时速度为：.
故答案为：.
16．答案：
解析：由于,,可以先将1,2,3任意排列,
再将4插入该数列,但不能在1的左边且与1相邻,共有种,
再将5插入该数列,同样5不能在1和2的左边且与1,2相邻,共有种,
再将6插入该数列,同样6不能在1,2和3的左边且与1,2,3相邻,共有种,
以此类推,将10插入该数列,共有种.
故答案为：.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为且函数的最小正周期为,
所以,解得,所以,
则,
由,则,
所以当,即时取得最大值.
(2)当时,,则,
因为,所以,则,解得;
因为,所以,
由余弦定理,
所以,所以,当且仅当时取等号,
故a的最小值为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接交于点O,连接,,
在四棱柱中,四边形,为平行四边形,所以O为的中点,
又N、M分别是、的中点,
所以且,且,
所以且,所以四边形为平行四边形,
所以,又平面,平面,所以平面;
(2)因为异面直线与所成角为,又,
所以即为异面直线与所成角,即,即,
又平面,
如图建立空间直角坐标系,则,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,则,取,
设直线与平面所成角为,则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：(1)
(2)
(3)这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为,.
解析：(1) ,
第35百分位数为第7,8两个数的平方数
(2)由图1可知,图2中有2人,
所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访,求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件A,
所以.
(3)由题意可知：落在的频率为,落在的频率为,
因为这1000名观众的评分位于上的均值为67,方差为64.7,
位于上的均值为73,方差为134.6,
所以,,,,
设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为,
所以,解得：,
,
解得：.
这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为,.
20．答案：(1)
(2)存在;或
(3)
解析：(1)由椭圆方程知：,,,则,
设,,解得：,即,
由椭圆定义知：.
(2)由(1)知：,
,;
若存在点Q,使的面积为,
则点Q到直线的距离,
,直线方程为：,即,
设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为,
,解得：或;
当时,直线方程为,
由得：,解得：或,
或,点或;
当时,直线方程为,
由得：,方程无解,
即直线与椭圆无交点,此时不存在满足题意的点Q;
综上所述：存在满足条件的点Q,Q点坐标为或.
(3)由题意可设直线,,,
由得：,
,即,,,
设线段中点为G,则,,
,又G为中点,,
,,即,,
直线l与x轴和y轴均不平行,,,
,整理可得：,
,,解得：,
即实数m的取值范围为.
21．答案：(1)具有,理由见解析
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)记,,
显然,则其是偶函数.
当时,,故,
所以对恒成立,具有性质.
(2),
当时,严格单调递增,
当时,严格单调递减.
若,则,函数在上严格单调递增,恒成立,
此时函数具有性质.
若,则函数在上严格单调递减,
,
故函数不具有性质.
若,则函数在上严格单调递增,
“对恒成立”等价于“对恒成立”,
而在上严格单调递减,在上严格单调递增,
故,即,
即.
综上,a的取值范围是.
(3)对任意及,
都有,
即对任意,,都有.
假设存在使得不具有性质,
则存在使得.
若,则,.
当时,则在中取,
对任意,有,
于是,
即.
而当时,,,
故有,矛盾.
当时,记,则,
由得,得,
故,.
与当时同理可得矛盾.
若,则,与时同理可得矛盾.
综上,假设不成立,即函数对任意实数a均具有性质.