2024届上海市虹口区高三上学期期末学生学习能力诊断测试数学试题含答案

这是一份2024届上海市虹口区高三上学期期末学生学习能力诊断测试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，问答题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知，则 .
【答案】
【解析】由交集定义计算．
【详解】
故答案为：．
2．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据对数的真数大于0和根号下大于等于0以及分母不等于0得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，解得，所以定义域为，
故答案为：.
3．设等比数列的前n项和为，若，，则 ．
【答案】
【分析】求出，得到公比，再利用公式法求和，最后求出其极限.
【详解】设等比数列的公比为，，所以，
所以，所以，
故答案为：.
4．已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积为，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【分析】根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式可求出结果.
【详解】设圆锥的母线长为，
因为圆锥的底面半径，
所以圆锥的侧面积，依题意可得，解得，
所以圆锥的高，
所以该圆锥的体积.
故答案为：.
5．的展开式中x的系数为 ．
【答案】560
【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入即可求解.
【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，
令，可得，即的系数为.
故答案为：.
6．已知，且x为第三象限的角，则 ．
【答案】/
【分析】根据已知条件求得，再结合正切二倍角公式即可求解.
【详解】因为，且x为第三象限的角，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
7．双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为 ．
【答案】/0.6
【分析】根据双曲线方程得出两条渐近线方程，由两方程斜率与倾斜角的关系结合两直线夹角范围得出夹角，根据两角差的正切公式得出夹角的正切值，即可由同角三角函数关系结合范围得出答案.
【详解】由双曲线方程可得，，，且焦点在轴上，
则双曲线的两条渐近线为，
作大致图形如下，
,
的方程为，
,则，
，
两直线的夹角范围为，
为两条渐近线的夹角，
，
则由，解得，
，
，
故答案为：.
8．已知函数，的部分图象如图所示，则 ．
【答案】
【分析】根据图象得到函数周期，进而得到的值，再结合特殊点函数值求得答案.
【详解】由题意得，函数周期为，所以，
所以，由，
得，即，
又因为，所以，所以.
故答案为：
9．已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由函数奇偶性的定义得出为奇函数，再由函数单调性的加减法得出在上为增函数，由奇函数性质将不等式化为，即可根据单调性的性质结合定义域列出不等式组，解出答案.
【详解】，
为奇函数，
与在上都为增函数，
在上为增函数，
，则，
则，解得：，
故答案为：.
10．将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为 ．（结果用分数表示）
【答案】
【分析】根据排列组合相关知识直接计算求解.
【详解】将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，共有种方案，
乙两人安排在同一天，共有，
所以甲、乙两人安排在同一天的概率为.
故答案为：
11．设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意分类讨论，转化为二次函数问题直接求解即可.
【详解】当时，方程可化为，即，
则或（舍）；
当时，方程可化为；
要使原方程有三个根，则时有一根，时有两根，
则且，解得且，
所以实数a的取值范围为
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
12．设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则 ．
【答案】3
【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可.
【详解】由，得向量、、分别看作是以为起点，
以为终点的向量，且是边长为2的正三角形，为正的中心，

由对任意的，均有，得向量、、是以为起点，
各边中点为终点的向量，则，
所以.
故答案为：3
【点睛】思路点睛：涉及向量的模探求向量问题，可以借助向量的几何意义，作出符合要求的图形，数形结合求解作答.
二、单选题
13．设i为虚数单位，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算法则和共轭复数相关概念直接计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：A
14．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表：
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日的数据并绘成折线图如下：
下列叙述正确的是（ ）
A．这20天中的中位数略大于150
B．10月4日到10月11日，空气质量越来越好
C．这20天中的空气质量为优的天数占25%
D．10月上旬的极差大于中旬的极差
【答案】C
【分析】利用折线图中数据信息以及变换趋势，对选项一一分析判断即可.
【详解】对于A，由折线图知100以上有10个，100以下有10个，中位数是100两边最近的两个数的均值，观察这两个数，比100大的数离100远点，因此两者均值大于100但小于150，故A错误；
对于B，由折线图知10月4日到10月11日，越来越大，则空气质量越来越差，故B错误；
对于C，由折线图知小于50的有5天，则20天中的空气质量为优的天数占25%，故C正确；
对于D，由折线图知10月上旬的最小值与中旬的最小值差不多，但10月上旬的最大值比中旬的最大值小的多，则10月上旬的极差小于中旬的极差，故D错误；
故选：C.
15．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正方体的对称性可知,该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的半径和表面积.
【详解】如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接，
∵分别为的中点，则，
∴正方体的边长为，
故，可得，
根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径，
故该半正多面体外接球的表面积为.
故选：D
16．已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．
则（ ）
A．①是假命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①②都是假命题D．①②都是真命题
【答案】B
【分析】设出椭圆、双曲线方程及点的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得.
【详解】椭圆是“自稳定曲线”.
设椭圆方程为，令，则，设，
由是的重心，知，直线过点，
当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意，
若，直线与椭圆有两个交点，符合题意，
则当，即时，存在两点，使得的重心为原点，
同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点，
当时，，两式相减得，
直线的斜率，方程为，即，
由消去并整理得：，
，即直线与椭圆交于两点，且是的重心，
即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为的重心，
综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题；
双曲线不是“自稳定曲线”.
由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设，
假设是的重心，则，直线过点，
当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此，
，两式相减得，
直线的斜率，方程为，即，
由消去并整理得：，
，即直线与双曲线不相交，
所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证.
三、问答题
17．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且．
(1)求角B的大小；
(2)若为锐角三角形，求的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行得到，结合正弦定理化简得到，进而根据余弦定理求得即可得到答案；
（2）根据化简函数，得到原函数即为，结合锐角三角形得到进而即可得到答案.
【详解】（1）因为，，且，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，化简得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以
（2）由（1）得，，所以，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，则
即的值域为
四、解答题
18．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设M是的中点，满足，N是BC的中点，P是线段上的一点．
(1)证明：平面；
(2)若，，求直线与平面PMN所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取中点，利用异面直线垂直、线面垂直的判定推理即得.
（2）证明两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.
【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连接，
由点为正方形边中点，得，则，
有，则，
由N是BC的中点，得，而，于是，
又平面，
所以平面.
（2）显然，则，由（1）知，又平面，
于是平面，而平面，则，显然直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量，则，令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
而，解得，
所以直线与平面所成角的大小为.
19．2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨．
(1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？
(2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用，该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？
【答案】(1)2025年1月底
(2)2024年8月份.
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可；
（2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为，写出，再分析其单调性即可.
【详解】（1）设从2023年1月起第个月处理后的废水排放量为吨，
则由已知条件知:数列是首项为10，公差为2的等差数列，故.
令，
化简得，解得，或；
由是正整数，则.
故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕.
（2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为吨.
由已知条件，，
当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列，
故，（为正整数）.
显然，当时，.
当时，由得.
设，则，，
因为，，
所以当时，，即数列是严格增数列，且；
当时，，即数列是严格减数列.
由于.
所以不等式的解为(为正整数).
故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化.
20．已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线l与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图．
(1)求抛物线的方程及点M的坐标；
(2)证明：为定值；
(3)过A，B两点分别作的切线，，且与相交于点P，求与的面积之和的最小值．
【答案】(1)；或
(2)证明过程见解析
(3)2
【分析】（1）根据抛物线定义直接求解即可；
（2）求出抛物线的焦点的坐标，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用抛物线的定义并结合韦达定理证明出是定值；
（3）利用导数求出切线、的方程，并将两切线方程联立得出交点的坐标，并计算出点到直线的距离，可计算出和的面积和，换元，利用导数法求出和的面积和的最小值
【详解】（1）因为点在抛物线：上，点F为的焦点，且，
所以点到抛物线准线的距离，得，
则抛物线的方程为，
代入，得，
所以，所以或；
（2）抛物线的焦点与的圆心重合，即为，
显然，直线斜率存在，所以设直线方程为，点、，
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，
，由韦达定理得，.
由抛物线的定义可知，，，.
，即为定值；
（3），，
所以切线的方程为，即，
同理可得，切线的方程为，
联立两切线方程，解得，即点，
所以点到直线的距离为．
设，
，
令，则，，
所以在上是增函数，
当时，即当时，，即与的面积之和的最小值为
【点睛】思路点睛：本题考查抛物线的方程的求解、抛物线中弦长的计算以及三角形面积和的最值问题，常用的思路就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，在求最值时，则需建立某个变量的函数来求解，难点在于计算量大，容易出错.
五、问答题
21．已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的控制函数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据已知控制函数的定义，即可得出结论；
（2）设，，由其导数得出其在上的最大值为0，则，，变形化简得出，而在区间上的值域为，即可证明；
（3）由上面两问可看出控制函数可能是原函数的导数，证明，根据不等式的运算可以证明，发现控制函数可能是原函数的导数去掉常数项.
【详解】（1）对任意，则，且，
故是函数的一个控制函数；
（2）因为，则，
则，
，，
设，
在上，在上，
则在单调递减，在上单调递增，
最大值，
，，，，，
，，
则，
，即，
同理，，
，即
综上：，
，在区间上的值域为，
则在区间上有实数解.
（3），则，其中
，
，
，
，，
，则，即，
同理，
即，
则是的一个控制函数.
【点睛】关键点睛：对于函数的新定义题要理解好定义的内容，不等式运算时注意不等式的要求，变号时要多注意，一般的大题在前面的问题和后面的问题有联系，后面的问题没有思路时看看前面的问题，
指数值
0~50
51~100
101~150
151~200
201~300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染