第四章 数列（单元测试）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习

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一、选择题（每小题4分，共40分）
1．设数列前n项和为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数列与之间的关系即可解得.
【详解】由题，
，
解得，
，
解得，
，
解得，
故选：C.
2．16是数列中的第几项（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
【答案】C
【分析】根据数列的通项公式构建等式，即可求解出对应的项.
【详解】根据题意得：，解得：，
所以16是数列中的第5项.
故选：C.
3．设各项为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．3B．9C．D．
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质求即可
【详解】因为各项为正数的等比数列，所以，
已知，，
所以，
解得或（舍去）.
故选：A.
4．在等差数列中，，则的值为（ ）
A．8B．6C．5D．10
【答案】C
【分析】由等差数列的性质即可得解.
【详解】因为等差数列中，，
所以，即.
故选：C.
5．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．60B．80C．96D．100
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质得到，进而得到求解.
【详解】∵是等差数列，，
∴，
∴.
故选：A.
6．若命题，命题，，成等比数列，则命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用条件的充分性与必要性的判断可求.
【详解】若，，成等比数列，由等比中项有，则命题是命题的必要条件；
若，为零，满足，但不是等比数列，则命题不是命题的充分条件；
综上命题是命题的必要不充分条件；
故选：B.
7．已知数列，，，，，，那么应是它的第（ ）项
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察得到该数列的被开方数是以为首项，为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】依题意，，，，，，
可见各项的被开方数成等差数列，
所以该数列的通项为，，
因为，
所以，解得.
故选：B
8．在数列中，，则的值为（ ）
A．49B．99C．101D．102
【答案】B
【分析】由等差数列的定义及其通项公式即可求解.
【详解】由等差数列的定义可知数列为公差的等差数列，
故数列的通项公式为.
从而.
故选：B．
9．在等比数列中，已知，则该等比数列的公比是（ ）
A．2B．3C．-2D．5
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质计算即可解得.
【详解】由题，设等比数列公比为，
，
解得，
故选：A
10．等比数列中，前项和为，若，则等于（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】B
【分析】由等比数列的通项公式与前n项和公式表示，化简即可求得的值.
【详解】在等比数列中，，
所以，
所以，
所以.
故选：B.
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．已知等差数列满足，，则数列的公差d＝ ．
【答案】
【分析】根据等差数列的性质求解公差.
【详解】∵是等差数列，，，
∴，代入，
解得.
故答案为：.
12．在等差数列中，若，则此数列的前15项的和为 ．
【答案】360
【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解．
【详解】∵，且，
∴，即，
∴此数列的前15项的和为．
故答案为：360．
13．在等差数列中，已知，则 ．
【答案】48
【分析】由等差数列的性质求出的值即可得解.
【详解】在等差数列中∵，解得，
∴，
故答案为：.
14．已知等差数列中，，，则 .
【答案】345
【分析】根据等差数列的通项公式可得，再利用求和公式可得解.
【详解】设等差数列的公差为，由题可得
，解得，
所以.
故答案为：345
15．若三个数x，，成等比数列，则 .
【答案】
【分析】根据等比数列的定义列出等式求解即可解得.
【详解】由题，已知成等比数列，
则，
即，
解得x=-1或，
当x=-1时，舍去，
故答案为：
三、解答题（共6小题，共60分）
16．已知等差数列满足．
(1)求首项及公差；
(2)求的通项公式；
【答案】(1)首项4，公差2
(2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式计算基本量即可.
（2）代入等差数列的通项公式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
因为，所以．
又因为，所以，故，
所以首项为4，公差为2.
（2）因为，，
所以．
17．在数列中，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数列递推式易得为等比数列，求出基本量，即可写出通项公式；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得解.
【详解】（1）因为，则，所以，
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可知数列是以2为首项，为公比的等比数列，
所以.
18．已知等差数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合题中条件得到关于的方程组，解之即可得解；
（2）利用（1）中结果得到，证得是等比数列，再利用等比数列的求和公式即可得解.
【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）可得，，
则，，
所以数列是的等比数列，
所以数列的前n项和.
19．在等差数列中且构成公比不等于1的等比数列，求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，结合等差数列的通项公式即可解得.
（2）根据等差数列的前项和公式即可解得.
【详解】（1）由题，设等差数列公差为，
则，
又知构成公比不为的等比数列，则不相等，，
，即，
，即，
解得或舍去，则.
（2）由（1）可知，
，
故.
20．已知等差数列中，，，求数列的通项公式及.
【答案】，
【分析】由等差数列的通项公式及条件求出，进而可得；利用等差数列前项和公式求.
【详解】等差数列的通项公式，为公差，
∵，，∴，解得：，
∴，即.
∵等差数列前项和公式，
∴.
21．在数列，中，已知是等差数列，且，，点在曲线上．
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求解等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式即可求解，由点在曲线上，将点代入曲线即可求解.
（2）先证明数列bn为等比数列，再由分组求和求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
则，所以，
所以，
所以数列的通项公式为，
因为点在曲线，
所以数列bn的通项公式为.
（2）由（1）知，，
所以，，
所以数列bn是首项为3，公比为3的等比数列，
由，
得数列的前n项和：
.