2023-2024学年贵州省安顺市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省安顺市高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x+y−2024=0的倾斜角是( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.已知数列{an}满足点(n,an)在直线y=2x−1上，则a2=( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
3.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，则点F到l的距离为( )
A. 1B. 2C. 2 2D. 4
4.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=⋯=A7A8=1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成的数列为{an}，则a100=( )
A. 110B. 1C. 10D. 100
5.p：a，b，c是三个不共面的单位向量，q：{a,b,c}可为空间的一个基底，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知双曲线C：x29−y216=1的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则|PF|=( )
A. 8或20B. 20C. 6或22D. 22
7.如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设MN=xOA+yOB+zOC，则x+y+z=( )
A. 13
B. 12
C. 23
D. 1
8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为P，左焦点为F，直线PF与C的另一个交点为Q，若|PF|=3|QF|，则C的离心率e=( )
A. 13B. 33C. 12D. 22
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列{an}的通项公式为an=1n(n+1)，其前n项和为Sn，则下列说法一定正确的是( )
A. 数列{an}是递增数列B. 数列{an}是递减数列
C. Sn的最小值为12D. Sn有可能大于1
10.已知两直线l1：2mx+y−2m+1=0，l2：x−my−m−2=0(m∈R)，l2：x−my−m−2=0(m∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 对任意实数m，直线l1，l2的方向向量都不可能平行
B. 存在实数m，使直线l1垂直于x轴
C. 存在实数m，使直线l1，l2互相垂直
D. 当m=0时，直线l2的方向向量不存在
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，点P在线段CC1上，下列说法正确的是( )
A. A1D与平面ABCD所成角为60°
B. 平面ABD与平面A1BD的夹角的余弦值为 33
C. 当点P是线段CC1的中点时，OP⊥平面A1BD
D. 当点P与点C重合时，点P到平面A1BD的距离最小
12.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且b2=ac(c为双曲线C的半焦距)，点P在双曲线C的左支上，点I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2(λ∈R)成立，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线C的离心率e=1+ 52B. λ=1− 52
C. 点I的横坐标为定值−aD. 当PF1⊥x轴时，tan∠F1PF2=12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等比数列{an}满足a1⋅a2⋅a3=27，则a2= ______．
14.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点O(0,0)，将军从山脚下的点P(1,1)处出发返回军营，河岸线所在直线方程为x−y+2=0.则返回总路程最短为______．
15.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕折成四面体ABCD.当四面体ABCD中满足平面ABD⊥平面ACD时，则
(1)BD⊥AC；
(2)平面ABD⊥平面BCD；
(3)△ABC为等腰直角三角形．
以上结论中正确的是______(填写你认为正确的结论序号)．
16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y= 2x，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，过F2且斜率为 3的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若△MNF1的周长为108，则双曲线C的方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}中，a1=3，an+1=λan−4(λ>1,n∈N∗)，且a2+2是a1和a2+6的等差中项．
(1)求实数λ的值；
(2)求证：数列{an−2}是等比数列，并求出{an}的通项公式．
18.(本小题12分)
已知直线l：2x−y+m−2=0，圆C：(x−1)2+y2=20．
(1)若直线l与圆C无公共点，求实数m的取值范围；
(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且△ABC(C为圆C的圆心)为直角三角形，求实数m的值．
19.(本小题12分)
已知平面直角坐标系内的动点P(x,y)恒满足：点P到定点F(2,0)的距离与它到定直线x+2=0的距离相等．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点M(8,0)的直线l与(1)中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：OA⊥OB．
20.(本小题12分)
将矩形面ABB1A1绕边AA1顺时针旋转90°得到如图所示几何体ABC−A1B1C1.已知AB=2，AA1=3，点E在线段BB1上，P为圆弧B1C1的中点．
(1)当E是线段BB1的中点时，求异面直线AE写A1C所成角的余弦值；
(2)在线段BB1上是否存在点E，使得AE//平面A1CP？如果存在，求出线段BE的长，如果不存在，说明理由．
21.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2n−n2−1(n∈N∗)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)记数列{n(2an+1)}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点D(2,1)，且a=2b．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C的右顶点和上顶点分别为A，B，P为椭圆C上位于第三象限内的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，探究四边形ABNM的面积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案解析
1.C
【解析】解：直线 3x+y−2024=0可化为：y=− 3x+2024，
所以直线 3x+y−2024=0的斜率为− 3，
所以倾斜角为2π3．
故选：C．
利用倾斜角和斜率的关系求解即可．
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
2.A
【解析】解：因为点(n,an)在直线y=2x−1上，
所以an=2n−1，
故a2=3．
故选：A．
将点代入直线方程可得通项，即可求解．
本题考查数列的通项公式，属于基础题．
3.B
【解析】解：由抛物线方程可知，焦点F(1,0)，准线l：x=−1，
所以焦点F到l的距离为2．
故选：B．
利用抛物线的方程和几何性质，即可求解．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
4.C
【解析】解：|OAn|= |OAn−1|2+1，即|OAn|2−|OAn−1|2=1，
因为OA1，OA2，…，OAn的长度构成的数列为{an}，则an2−an−12=1，
则数列{an2}是公差为1的等差数列，首项a12=1，
所以an2=1+(n−1)×1=n，
即an= n，
所以a100=10．
故选：C．
首先由题意得到递推关系式an2−an−12=1，再求解数列{an}的通项公式，即可求解．
本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的定义和通项公式，属于中档题．
5.A
【解析】解：根据基底的定义可知，若a，b，c是三个不共面的单位向量，则{a,b,c}可为空间的一个基底，
反过来，若{a,b,c}为空间的一个基底，则a，b，c是三个不共面的向量，不一定是单位向量，
所以p是q的充分不必要条件．
故选：A．
根据基底的含义与性质，结合充分、必要条件的定义，求解即可．
本题考查基底的含义与充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
6.B
【解析】解：由双曲线方程可知，a2=9，a=3，设双曲线的右焦点为F′，
△PFF′中，点M，O分别是PF，FF′的中点，所以|MO|=12|PF′|=7，
则|PF′|=14，所以|PF|=|PF′|+2a=14+6=20．
故选：B．
根据中位线的性质和双曲线的定义，即可求|PF|．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
7.B
【解析】解：设BN=λBC，λ∈[0,1]，
则MN=ON−OM=OB+BN−OM=OB+λBC−12OA=OB+λ(OC−OB)−12OA=−12OA+(1−λ)OB+λOC，
所以x=−12，y=1−λ，z=λ，
所以x+y+z=12．
故选：B．
根据图形，结合空间向量的线性运算法则，求解即可．
本题考查空间向量的线性运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8.D
【解析】解：由题意可得P(0,b)，F(−c,0)，
由于|PF|=3|QF|，所以yQ=−13b,xQ=−43c，
由于Q在椭圆上，所以(−43c)2a2+(−13b)2b2=1，化简可得c2a2=12⇒e2=12，
由于0