2023-2024学年湖北省十堰市竹溪县八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年湖北省十堰市竹溪县八年级上学期期末数学试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）现有两根木棒，它们的长分别是30cm和80cm，若要钉成一个三角形木架则应选取的第三根木棒长为（ ）
A．45cmB．50cmC．70cmD．120cm
3．（3分）如果把分式中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．不变C．缩小2倍D．扩大4倍
4．（3分）下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A．9x2﹣6x+1＝（3x﹣1）2B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．3m（m﹣n）＝3m2﹣3mnD．x+3y＝（x+y）+2y
5．（3分）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由旋转，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
6．（3分）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠EBC＝∠BACB．∠EBC＝∠ABEC．AE＝ECD．AE＝BE
7．（3分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．x2+5xB．（x+3）（x+2）﹣2x
C．3（x+2）+x2D．x（x+3）+6
8．（3分）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）在△ABC中，AB＝BC，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，BC上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．BP平分∠ABCB．AD＝DC
C．BD垂直平分ACD．AB＝2AD
10．（3分）在一次数学探究活动中，小李老师出示了一道八年级上册课本第17页中的一道习题让学生对其结论进行探究．如图，已知IB，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；③△ADE的周长等于AB+AC；④若∠BAC＝40°；⑤若∠BAC＝60°，Cl和BI的延长线分别与AB、AC相交于M，则IM＝IN，其中正确的是（ ）
A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②④⑤
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分式的值为0，则x＝ ．
12．（3分）（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为 ．
13．（3分）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，如图，AB∥OH∥CD，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D．已知AB＝20米．根据上述信息标语CD的长度为 m．
14．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，②BC＝ED，③∠C＝∠D，其中能使△ABC≌△AED的条件有 ．
15．（3分）对于任意实数a，b，定义关于“※”的一种运算如下：a※b＝，例如：5※2＝＝，若4※x=-3，x＝ ．
16．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，则△BDM的周长的最小值为 ．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）解方程：．
18．（6分）化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ；乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
19．（6分）如图，海岸上有A，B两个观测点，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点的正北方．如果从观测点A看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C，B所在海岸的距离CA，DB相等，请你说明理由．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
21．（7分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A、提取公因式；
B、平方差公式；
C、两数和的完全平方公式；
D、两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
22．（9分）通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式，如图将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形
（1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式： ；
（2）如果图中的a、b（a＞b＞0）满足a2+b2＝80，ab＝32，求a+b的值；
（3）已知（x+9）2+（x﹣1）2＝130，求（x+9）（x﹣1）．
23．（10分）某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，每台的售价也上调了200元．
（1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？
（2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？
24．（10分）我们学习等边三角形时得到特殊直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则．
（1）如图1，作AB边上的中线CE，得到结论：①△ACE为等边三角形 ．
（2）如图2，CE是△ABC的中线，点D是边CB上任意一点，作等边△ADP，且点P在∠ACB的内部，写出你的猜想并加以证明．
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段BP与DP之间存在怎样的数量关系？画图并直接写出答案即可．
25．（12分）已知△ABC在平面直角坐标系内的位置如图，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5（OA﹣4）2+|OC﹣3|＝0．
（1）求OA、OC的长；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和的概念和各图形特点解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的特点，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图象沿对称轴折叠后可重合；
2．（3分）现有两根木棒，它们的长分别是30cm和80cm，若要钉成一个三角形木架则应选取的第三根木棒长为（ ）
A．45cmB．50cmC．70cmD．120cm
【分析】根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得，
第三边应大于两边之差，即80﹣30＝50（cm）；
而小于两边之和，即30+80＝110（cm）．
下列答案中，只有70cm符合条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系定理，即任意两边之和＞第三边，难度适中．
3．（3分）如果把分式中的x，y都扩大2倍那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．不变C．缩小2倍D．扩大4倍
【分析】根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
【解答】解：
＝
＝，即分式的值不变，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘以同一个数（或除以同一个不等于0的数），分式的值不变．
4．（3分）下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A．9x2﹣6x+1＝（3x﹣1）2B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．3m（m﹣n）＝3m2﹣3mnD．x+3y＝（x+y）+2y
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、等式从左到右变形属于因式分解；
B、等式从左到右变形不属于因式分解；
C、等式从左到右变形不属于因式分解；
D、等式从左到右变形不属于因式分解；
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5．（3分）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由旋转，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】由已知O是AA′、BB′的中点，再加上对顶角相等即可证明△OAB≌△OA′B′，利用SAS证明全等．
【解答】解：∵将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，认真观察图形，选择合适的方法是解此题的关键．
6．（3分）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，BC长为半径画弧，交腰AC于点E则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠EBC＝∠BACB．∠EBC＝∠ABEC．AE＝ECD．AE＝BE
【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE＝BC，
∴∠ACB＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠A＝∠EBC，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等．
7．（3分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．x2+5xB．（x+3）（x+2）﹣2x
C．3（x+2）+x2D．x（x+3）+6
【分析】阴影部分的面积有3种求法，间接求：等于大矩形面积减去小矩形面积；直接求，判断即可．
【解答】解：阴影部分的面积S＝（x+3）（x+2）﹣6x＝3（x+2）+x8＝x（x+3）+6，
B、C、D正确
故选：A．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，以及单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据工作效率间的关系，可得出现每天需做（x+48）件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：＝﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（3分）在△ABC中，AB＝BC，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，BC上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．BP平分∠ABCB．AD＝DC
C．BD垂直平分ACD．AB＝2AD
【分析】先根据角平分线的判定定理得到BP平分∠ABC，再根据等腰三角形三线合一的性质得到AD＝DC，BD垂直平分AC，进而求解即可求解．
【解答】解：如图．
由题意得，PE⊥AB，PE＝PF，
∴BP平分∠ABC，
∵AB＝BC，
∴AD＝DC，BD垂直平分AC，
故选项A、B、C正确；
只有当△ABC是等边三角形时，才能得出AB＝2AD，
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质．
10．（3分）在一次数学探究活动中，小李老师出示了一道八年级上册课本第17页中的一道习题让学生对其结论进行探究．如图，已知IB，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；③△ADE的周长等于AB+AC；④若∠BAC＝40°；⑤若∠BAC＝60°，Cl和BI的延长线分别与AB、AC相交于M，则IM＝IN，其中正确的是（ ）
A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②④⑤
【分析】①先由IB平分∠ABC得∠DBI＝∠CBI，再由DE∥BC，得∠DIB＝∠CBI，据此可得∠DBI＝∠DIB，据此可对结论①进行判定；
②依题意得AC＞AI，AC＞CI，假设△ACI是等腰三角形，则AI＝CI，由此得∠ICA＝∠IAC，再由IB，IC分别平分∠ABC，∠ACB得AI平分∠BAC，由此可得∠ACB＝∠BAC，然而根据已知条件无法判定∠ACB＝∠BAC，因此假设是错误的，据此可对结论②进行判断；
③由①可知BD＝DI，同理EI＝EC，进而可求出△ADE的周长，由此可对结论③进行判断；
④先根据∠BAC＝40°得∠ABC+∠ACB＝140°，进而根据角平分线的定义得∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，则∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB）＝70°，然后根据三角形的内角和定理可求出∠BIC的度数，由此可对结论④进行判断；
⑤过点I作IK⊥AB于K，IH⊥AC于H，则∠IHN＝∠IKM＝90°，根据IB，IC分别平分∠ABC，∠ACB得AI平分∠BAC，则IH＝IK，再利用三角形的外角及内角和定理证∠INH＝∠IMK＝60°+∠ABC，由此可利用“AAS”判定△IHN和△IKM全等，然后根据全等三角形的性质可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵IB平分∠ABC，
∴∠DBI＝∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠DIB＝∠CBI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∴BD＝DI，
∴△DBI是等腰三角形，
故结论①正确；
②依题意得：AC＞AI，AC＞CI，
假设△ACI是等腰三角形，则AI＝CI，
∴∠ICA＝∠IAC，
∵IB，IC分别平分∠ABC，
∴AI平分∠BAC，
∴∠ICA＝∠ACB∠BAC，
∴∠ACB＝∠BAC，
根据已知条件无法判定∠ACB＝∠BAC，
∴假设是错误的，
即△ACI不是等腰三角形，
故结论②不正确；
③∵BD＝DI，
同理：EI＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DI+EI+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC，
故结论③正确；
④在△ABC中，∠BAC＝40°，
∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝140°，
∵IB，IC分别平分∠ABC，
∴∠IBC＝∠ABC∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB）＝，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣70°＝110°，
故结论④正确；
⑤过点I作IK⊥AB于K，IH⊥AC于H
则∠IHN＝∠IKM＝90°，
∵IB，IC分别平分∠ABC，
∴AI平分∠BAC，
∴IH＝IK，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ACB＝120°﹣∠ABC，
∵IB，IC分别平分∠ABC，
∴∠ABN＝∠ABC∠ACB＝∠ABC，
∵∠INH＝∠BAC+∠ABN＝60°+∠ABC，
又∵∠IMK＝∠ABC+∠BCM＝∠ABC+60°﹣∠ABC＝60°+，
∴∠INH＝∠IMK，
在△IHN和△IKM中，
，
∴△IHN≌△IKM（AAS），
∴IN＝IM，
故结论⑤正确．
综上所述：争取的结论是：①③④⑤．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质，灵活运用三角形的内角和定理及三角形的外角定理进行角度计算是解决问题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分式的值为0，则x＝ ﹣2 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：根据题意得：x2﹣4＝5且x﹣2≠0
解得：x＝﹣6．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
12．（3分）（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算出x+m与x+3的积，再令一次项的系数为0可求出m的值．
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+（m+5）x+3m，且不含有x的一次项，
∴m+3＝3，
即m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查多项式乘多项式，掌握整式乘法的计算方法是正确解答的前提．
13．（3分）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，如图，AB∥OH∥CD，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D．已知AB＝20米．根据上述信息标语CD的长度为 20 m．
【分析】根据两平行线间的距离相等得到OB＝OD，再由一对直角相等，一对内错角相等，利用ASA得到三角形AOB与三角形COD全等，利用全等三角形对应边相等即可求出CD的长．
【解答】解：∵AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，
∴OB＝OD，
∵OB⊥AB，OD⊥DC，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD＝AB＝20m，
故答案为：20
【点评】此题考查了全等三角形的应用，垂直定义，以及平行线间的距离，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
14．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，②BC＝ED，③∠C＝∠D，其中能使△ABC≌△AED的条件有 ①③④ ．
【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可．
【解答】解：添加①满足SAS，符合题意；
添加②满足SSA．不符合题意；
添加③满足ASA，符合题意；
添加④满足AAS，符合题意；
故能使△ABC≌△AED的条件有①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．（3分）对于任意实数a，b，定义关于“※”的一种运算如下：a※b＝，例如：5※2＝＝，若4※x=-3，x＝ ．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：根据题中的新定义得：＝﹣3，
去分母得：32+x＝﹣6x，
解答：x＝﹣，
检验：把x＝﹣代入得：7x≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣．
故答案为：x＝﹣．
【点评】此题考查了解分式方程，实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，则△BDM的周长的最小值为 8 ．
【分析】连接AD交EF与点M′，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
【解答】解：连接AD交EF与点M′，连接AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM+MD＝MD+AM．
∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值．
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝8+6＝8．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）解方程：．
【分析】观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：去分母，得3（x+1）+5x（x﹣1）＝2（x﹣8）（x+1）．
去括号，得3x+4+2x2﹣2x＝2x2﹣3．
解得x＝﹣5．
经检验：当x＝﹣5时，（x+7）（x﹣1）＝24≠0．
∴原方程的解是x＝﹣5．
【点评】考查了解分式方程，注意：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
18．（6分）化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ② ；乙同学解法的依据是 ③ ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【分析】（1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；
（2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②；③；
（2）若选择甲同学的解法：
若选择甲同学的解法：
＝[
＝
＝2x；
若选择乙同学的解法：
＝
＝
＝x﹣7+x+1
＝2x．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（6分）如图，海岸上有A，B两个观测点，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点的正北方．如果从观测点A看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C，B所在海岸的距离CA，DB相等，请你说明理由．
【分析】由方位可以得出∠CAB＝∠DBA，而已知视角∠CAD＝视角∠CBD，公共边AB＝BA，容易得出△ABC≌△BAD，所以AC＝BD．
【解答】解：理由：∵∠CAD＝∠CBD，∠COA＝∠DOB（对顶角），
∴由内角和定理，得∠C＝∠D，
又∵∠CAB＝∠DBA＝90°，
在△CAB和△DBA中，
∴△CAB≌△DBA（AAS），
∴CA＝DB，
∴海岛C、D到观测点A．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．关键是证明△ABC≌△BAD，从而求得AC＝BD．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C7即为所求．
（2）由图可得，A1（0，5），B1（﹣3，6），C1（﹣1，8）．
（3）△A1B1C2的面积为＝＝3．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21．（7分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A、提取公因式；
B、平方差公式；
C、两数和的完全平方公式；
D、两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 不彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣2）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，所以是不彻底．
（3）按照例题的分解方法进行分解即可．
【解答】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）x2﹣4x+5还可以分解，分解不彻底；
（x2﹣4x+2）2＝（x﹣2）2．
（3）设x2﹣2x＝y．
（x8﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，
＝y（y+5）+1，
＝y2+4y+1，
＝（y+1）6，
＝（x2﹣2x+7）2，
＝（x﹣1）7．
【点评】本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．
22．（9分）通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式，如图将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形
（1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式： （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）如果图中的a、b（a＞b＞0）满足a2+b2＝80，ab＝32，求a+b的值；
（3）已知（x+9）2+（x﹣1）2＝130，求（x+9）（x﹣1）．
【分析】（1）依据该图形的总面积为（a+b）2或a2+2ab+b2可得结果；
（2）由（1）题结果可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝70，ab＝15可求得（a+b）2即a+b的值；
（3）设x+9＝a，x﹣1＝b，则a﹣b＝（x+9）﹣（x﹣1）＝10，依据（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab代入计算可求得ab＝15即可求出（x+9）（x﹣1）．
【解答】解：（1）该图形的总面积为：（a+b）2或a2+6ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）由（1）题结果可得（a+b）6＝a2+2ab+b5，
∴当a2+b2＝80，ab＝32时2＝80+2×32＝144，
∴a+b＝＝12；
（3）设x+9＝a，x﹣2＝b，
∴a﹣b＝（x+9）﹣（x﹣1）＝10，
则（x+3）2+（x﹣1）2＝a2+b2，
∵（a﹣b）4＝a2+b2﹣4ab，a﹣b＝10，a2+b2＝130，
∴100＝130﹣4ab，
∴ab＝15，
∴（x+9）（x﹣1）＝15．
【点评】本题考查了完全平方公式的证明及应用；解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
23．（10分）某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，每台的售价也上调了200元．
（1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？
（2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？
【分析】（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，根据题目条件“商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200元”列出分式方程解答即可；
（2）设最多将y台空调打折出售，根据题目条件“在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售”列出不等式并解答即可．
【解答】解：
（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，由题意列方程得：
＝，
解得：x＝2400，
经检验x＝2400是原方程的根，
答：商场第一次购入的空调每台进价是2400元；
（2）设将y台空调打折出售，根据题意
3000×+（3000+200）×0.95y+（3000+200）×（，
解得：y≤7，
答：最多将8台空调打折出售．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．解答分式方程时，还要一定要注意验根．
24．（10分）我们学习等边三角形时得到特殊直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则．
（1）如图1，作AB边上的中线CE，得到结论：①△ACE为等边三角形 BE＝CE ．
（2）如图2，CE是△ABC的中线，点D是边CB上任意一点，作等边△ADP，且点P在∠ACB的内部，写出你的猜想并加以证明．
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段BP与DP之间存在怎样的数量关系？画图并直接写出答案即可．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到∠A＝60°，AC＝AB，CE＝AB＝AE，根据等边三角形的判定定理证明①；根据直角三角形的性质得出②的结论；
（2）连接PE，证明△CAD≌△EAP，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AEP＝90°，根据垂直平分线的性质得到PA＝PB，证明结论；
（3）根据题意画出图形，由（2）的证明方法解答即可．
【解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，AC＝，
∵CE为AB边上的中线，
∴CE＝AB＝AE，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是等边三角形；
②在Rt△ABC中，CE为AB边上的中线，
∴EC＝AB＝EB，
故答案为：BE＝CE；
（2）PD＝PB．
证明如下：如图2，连接PE，
∵△ACE，△ADP都是等边三角形，
∴AC＝AE，AD＝AP，
∴∠CAE﹣∠DAB＝∠DAP﹣∠DAB，即∠CAD＝∠EAP，
在△CAD和△EAP中，
，
∴△CAD≌△EAP（SAS），
∴∠ACD＝∠AEP＝90°，
∴PE⊥AB，
∵EA＝EB，
∴PA＝PB，
∵DP＝AP，
∴PD＝PB；
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，PD＝PB．
理由如下：连接PE，
∵△ACE，△ADP都是等边三角形，
∴AC＝AE，AD＝AP，
∴∠CAE+∠DAB＝∠DAP+∠DAB，即∠CAD＝∠EAP，
则△CAD≌△EAP（SAS），
∴∠ACD＝∠AEP＝90°，
同（2）可知，PD＝PB．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．（12分）已知△ABC在平面直角坐标系内的位置如图，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5（OA﹣4）2+|OC﹣3|＝0．
（1）求OA、OC的长；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据非负性得出OA＝4，OC＝3即可；
（2）作BD上x轴于点D，根据AAS证明△AOC≌△CDB，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）由（OA﹣4）2+|OC﹣4|＝0，可知，OC﹣3＝7，
∴OA＝4，OC＝3，
（2）作BD上x轴于点D，
∵∠OCA+∠ACB+∠BCD＝180°，
∴∠ACO+∠BCD＝90°，
∵∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ACO＝∠CBD，
∵AC＝BC，
在△AOC与△CDB中，
，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴BD＝OC＝6，CD＝OA＝4，
∴OD＝OC+CD＝3+7＝7，
∴B（7，8）；
（3）存在，
①当点P在x轴的负半轴时，使AP＝AC，P的坐标为（﹣3；
②当点P在x轴的负半轴时，使CP＝AC，CP＝AC＝5，P的坐标为（﹣3；
③当点P在x轴的正半轴时，使AC＝CP，CP＝AC＝5∴OP＝OC+CP＝3+4＝8，0）；
所以存在以AC为腰的等腰三角形，点P的坐标为（﹣7，0）或（8．
【点评】此题考查三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质以及坐标的特点解答．
甲同学
解：原式＝……

乙同学
解：原式＝……
甲同学
解：原式＝……

乙同学
解：原式＝……