山东省威海市2023-2024学年高二(上)期末数学试卷（解析版）

这是一份山东省威海市2023-2024学年高二(上)期末数学试卷（解析版），共17页。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
，可知以上四种情况循环，故集合，的元素个数为3.
故选：C
2. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，是等差数列，且，，成等比数列，
所以，，
由于，所以.故选：A
3. 设，分别是空间中的直线，的方向向量，，.记甲：，，不共面，乙：与异面，则（ ）
A. 甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对空间中的任意两条直线，
若，，不共面，显然不可能平行或相交，两直线异面，充分性成立；
若是异面直线，根据异面直线的定义，定有，，不共面，必要性成立；
故甲是乙的充要条件.
故选：C.
4. 已知点，，若直线与线段有公共点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】若与线段有公共点，分析必过，且，，则.
故选：B
5. 已知直线与圆交于,两点，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】变形为，
故，解得，故圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，则，
由垂径定理得，解得，满足要求
故选：D
6. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且为与椭圆的一个交点，若，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可设双曲线方程为，
由于双曲线与椭圆有相同的焦点，，故，
即，
不妨设P在第一象限，为左焦点，为右焦点，则，，
以上两式平方后相加减，得，，
由于，故，
则，则，
故双曲线方程为，
故选：D
7. 已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，所以，
所以点到直线的距离为.
故选：C.
8. 一个边长为的正方形被等分成个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（1）；再将剩余的每个正方形都等分成个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（2），如此继续操作下去，到第次操作结束时，挖掉的所有正方形的面积之和为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设第次新挖掉的面积为，则第次新挖掉的面积为，
根据题意可得，，又，
故数列是首项为，公比为的等比数列；
设第次操作后，挖掉的面积之和为，
故.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】根据题意，；
对A：，
故A正确；
对B：由A知，，又，显然，故B错误；
对C：，故，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：AD.
10. 已知，是平面内两个定点，且，则满足下列条件的动点的轨迹为圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，，显然的轨迹是线段，故A错误；
以中点为原点，建立平面直角坐标系，设,，设，
则，，
对于B，已知，则，所以，点的轨迹是圆，故B正确；
对于C，由两点间距离公式得，，
代入中化简得，即，
故的轨迹是圆，故C正确；
对于D，代入中化简得，显然的轨迹是一个点，故D错误.
故选：BC
11. 记为数列的前项和，若，，则（ ）
A. 为等比数列B. 为等差数列
C. 为等比数列D. 为等差数列
【答案】AB
【解析】由题意知，，
故时，，则，即，
由，，得，，
故，故为等比数列，A正确；
由以上分析知，则，
故为以为首项，公差为的等差数列，B正确；
则，即，
则，
即，则，
则不为常数，
故不为等比数列，C错误；
由于，
故不为常数，
故不为等差数列，D错误，
故选：AB
12. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且点到平面的距离为，则（ ）
A. 该圆锥的体积为
B. 直线与平面所成的角为
C. 二面角为
D. 直线与所成的角为
【答案】BCD
【解析】取线段的中点，连接，过作，垂足为，
易知，又，面，
所以面，又面，
所以，又，且，面，
所以面，所以线段的长为点到平面的距离，
即，

对于A：在等腰三角形中，，，
所以，
所以该圆锥的体积为，A错误；
对于B：由面可得直线与平面所成的角为，
在直角三角形中，，
所以，B正确；
对于C：由面可得二面角的平面角为，
在直角三角形中，，
所以，C正确；
对于D：取线段的中点，连接 ，
明显有，
则直线与所成的角为或其补角，
因为，则，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在中，，
所以，D正确.

故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，，若共面，则________.
【答案】2
【解析】由题意设，所以，解得.
故答案为：2.
14 已知数列，对都有，且，则________.
【答案】
【解析】令，可得，
故是以1为首项，1为公差的等差数列，则，故，
，，，
故是以2为首项，2为公差的等差数列，
设前项和为，则.
故答案为：
15. 已知圆上恰有三个点到直线距离等于，则实数的一个取值为________.
【答案】或其中一个
【解析】圆的圆心为，半径，
由于圆上恰有三个点到直线的距离等于，
所以到直线的距离等于，
即，解得或.
故答案为：或其中一个
16. 已知，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，若直线，与直线交于，两点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】如下图所示：

设，则，易知，，直线和直线的斜率存在，
且斜率之积为.
设直线的方程为，则，
直线的方程为，则，
所以.
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列的前项和为，公比，.
（1）设，求；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）由题意知，，
解得，
所以，
所以.
（2），
，
所以.
18. 如图，在三棱柱中，侧面和为正方形，，，，分别为，的中点.

（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的大小.
解：（1）因为侧面和为正方形，
所以，，，
又，所以，可得，
所以，，两两垂直，
以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，
所以， ，
所以，，，
可得，
所以直线与所成角的余弦值为；
（2），，，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的大小为.
19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与圆相切于点，且.
（1）求；
（2）若点在抛物线上，且线段的中点为，求.
解：（1）由题意知，抛物线的焦点，
圆的圆心设为，半径，
则，
又，可得.
（2）法一：由题意知，直线存在斜率，设的方程为，
，，
由，可得，
所以，，
因为线段的中点为，
所以，
即，所以，
所以，
所以.
法二：设，，
由，可得，
即，
因为线段的中点为，
所以，，
所以，
由，由，可得：，所以，
所以，
所以.
20. 如图，已知正方形与矩形所在的平面互相垂直，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
解：（1）设与相交于点，连接，，
因为为正方形，所以为的中点，

因为，分别为，的中点，
故//面，面，故//面；
又//面，面，故//面；
又面，故平面//面；
又面，故//面.
（2）因为四边形是矩形，所以，
又面面面，面面，
所以平面，可得，，
以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.

因为//，所以平面，面，所以，
因为正方形，所以，又，面，所以平面，
所以为平面的一个法向量
由题意知，，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，故，
所以，
所以二面角的余弦值为.
21. 甲、乙两家企业同时投入生产，第年的利润都为万元（），由于生产管理方式不同，甲企业前年的总利润为万元，乙企业第年的利润比前一年的利润多万元，设甲、乙两家企业第年的利润分别为万元，万元.
（1）求，；
（2）当其中某一家企业的年利润不足另一家企业同年的年利润的时，该家企业将被另一家企业兼并收购. 判断哪一家企业有可能被兼并收购，如果有这种情况，出现在第几年.
解：（1）当时，
，
所以，
由题意知，，
所以，
相加得，
当时也满足上式，所以.
（2）当时，，，可得，
因此当或时，不可能出现兼并收购的情况，
当时，，，所以，
由题意知，甲企业可能兼并收购乙企业，
如果出现兼并收购的情况，必满足，
由，化简得，
令，
当时，，
所以满足，
，
当时，，
即，
所以，
当时，，即，
，
综上可知，当时，，
所以在第年甲企业兼并收购乙企业.
22. 已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求的方程；
（2）若为的右顶点,点，在上,直线与的斜率之和为,，为垂足. 证明：存在定点，使得为定值.
解：（1）由题意知，， 解得，
所以的方程为；
（2）由题意知，直线存在斜率，
设直线的方程为，，，
则，
由，可得，
所以，
则，
，
所以，
又，
所以，
所以，可得，
所以，即，
所以直线恒过点，
令为的中点，则，
由题意知，是的斜边，所以，
所以存在点，使得定值.