山东省济南市2023-2024学年高二(上)1月期末质量检测数学试卷（解析版）

这是一份山东省济南市2023-2024学年高二(上)1月期末质量检测数学试卷（解析版），共15页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线的斜率为1，故倾斜角为.故选：B
2. 已知双曲线，则其渐近线方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由于双曲线为，所以其渐近线方程为.故选：C.
3. 已知正项等比数列中，，则等于（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 8
【答案】B
【解析】由题意易知，又an各项为正数，所以.故选：B
4. 在三棱柱中，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题可知.
故选：D
5. 2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n站比第站多n千瓶（且），第10站准备的饮用水的数量为（ ）
A. 45千瓶B. 50千瓶C. 55千瓶D. 60千瓶
【答案】C
【解析】设第站的饮用水的数量为，由题意得：，，，，，以上等式相加得：
，
即.
故选：C
6. 已知，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，则点在以为直径的圆上，
因为的中点坐标为，，所以点的轨迹方程为，
由题可知，直线与圆有公共点，所以，
解得：.
故选：C
7. 已知双曲线，其中A、分别为双曲线的左顶点、右焦点，P为双曲线上的点，满足垂直于x轴且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】设，则，解得，即，，
因为，所以，可得，
，解得.故选：A.
8. 如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：
由题意，P到直线AB距离最小值即直线到直线的距离，
又//，平面，平面，故//平面.
又，故四边形为菱形，则//.
平面，平面，故//平面.
又，平面，故平面//平面.
故直线到直线的距离为平面到平面的距离.
则到平面的距离即为P到直线AB距离的最小值.
设与交于，则易得为正四棱锥中心.
则，，
故为直角三角形，故.
设到平面的距离为，则由，故，
故，解得.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确是（ ）
A. 直线AB的斜率是B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，由于、，由斜率公式得：，选项A正确；
对于B，点关于轴的对称点的坐标为，经x轴反射后直线的斜率为：
，且，所以，选项B正确；
对于C，直线即直线的方程为：，即，
将代入得：，所以点，，选项C不正确；
对于D，由两点间距离公式得：，选项D正确；
故选：ABD.
10. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆C的焦距为6B. 的周长为16
C. D. 的面积的最大值为16
【答案】AB
【解析】由椭圆，得，，，
椭圆的焦距为，故A正确；
又为椭圆上异于长轴端点，的动点，△的周长为，故B正确；
，故C错误；
当为椭圆的短轴的一个端点时，△的面积取最大值为，故D错误．
故选：AB．
11. 在棱长为1的正方体中，点P，Q分别满足，，则（ ）
A. ，使且
B. ，平面
C. ，使与平面所成角的正切值为
D. ，与是异面直线
【答案】BCD
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意可知，
则，
平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
对于A，若，则
，故A错误；
对于B，易知恒成立，且平面，
则平面，故B正确；
对于C，设与平面所成角为，
若，
即，
解之得或，
显然，使得结论成立，故C正确；
对于D，因为，
若共线，则存在实数，使得，
解得，
所以，不共线，故D正确.
故选：BCD
12. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】ABD
【解析】由题意可得：,
可得，
则
对于选项A:易得，故A正确；
对于选项B:易得，故B正确；
对于选项C:由，可得，故C错误；
对于选项D:易得数列an每隔四个一组求和，可构成等差数列，其首项为，公差为，
由，
，则，此时有，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，，若，则的值为________．
【答案】
【解析】由，，，可得，故，
故答案为：
14. 已知等差数列首项，公差，则前n项和的最大值为________．
【答案】16
【解析】等差数列首项，公差，
．
则前项和的最大值为16．
故答案为：16．
15. 已知圆，直线，直线l被圆C截得的最短弦长为________．
【答案】
【解析】变形为，故直线过定点，
故当与故直线垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，
其中的圆心为，半径为2，
此时弦长为.
故答案为：
16. 已知抛物线的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是的外心，则的值为________．
【答案】2
【解析】由题意可知：抛物线的焦点F1,0，可知直线l与抛物线必相交，
设直线，Ax1,y1,Bx2,y2，可得，
联立方程x=my+1y2=4x，消去x得，
则，
可得，
，且，即线段的中点，
则线段的中垂线方程为，
由题意可知：点M在x轴上，
令，可得，即，则，
所以.
故答案为：2.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列an，满足，．
（1）求数列an的通项公式；
（2）令，求bn的前2n项和．
解：（1）由已知，得，解得，故
（2）由（1）得，
所以，
得．
18. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）点P在圆C上运动，求的取值范围．
解：（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上，
又圆心C在直线上，联立直线方程有，得，
即圆心坐标为，
又，
故圆C的标准方程为．
（2）设，易知，
则（*），
因为点P在圆C上运动，则，
故（*）式可化简为，，
由得的取值范围为．
19. 已知抛物线的准线方程为，直线l与抛物线交于两点，O为坐标原点．
（1）若为等腰直角三角形，求的面积；
（2）若，证明：直线l过定点P，并求出定点P的坐标．
解：（1）因为抛物线的准线为，可得抛物线的方程为：，
又为等腰直角三角形，
根据抛物线及等腰直角三角形的对称性可知：，，
且两点关于横轴对称，则直线．
于是得，则，所以．
（2）设直线，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，
得，，且，
又因为，则，即．
由，得，，，
即，解得或（舍去）．
当时，满足．此时，直线l的方程．则l过定点．
20. 如图（1）所示中，，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图（2）所示的位置，使得．连接得到四棱锥．记的中点为，连接．
（1）证明：平面；
（2）点在线段上且，连接，求平面与平面的夹角的余弦值．
解：（1）取AB中点M，连接NM，CM．

则，即四边形AMCD为平行四边形，
所以，
又因为，所以，
由，，即，
又，，平面,
所以平面，又平面，故，
又因为，则，
又，平面
所以平面，又平面，所以，
又在中，且，
在中，且，
则，又为中点，所以，
又，平面,所以平面．
（2）由，，则，
即，又，，
故以为坐标原点，以所在直线x分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
故，，因为，
所以，，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，取，解得，
易知平面，即，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
21. 设数列，其前n项和为，，为单调递增的等比数列，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和．
解：（1）对于数列an，因①，
所以，，②
得
由①式，当时，得，也满足，
所以．
因为数列bn为等比数列，由等比数列的性质得，得，
设数列bn的公比为，又因为，，
所以即，解得或，
又因为bn为单调递增的等比数列，所以，
所以
（2）由于，，，，，，
所以，对应的区间为，，则，即有2个1；
，，…,对应的区间为，，…,，则，即有6个2；
，，…,对应区间为，，…,，则，即有18个3；
，，…,对应的区间为，，…,，则，即有54个4；
，，…,对应的区间为，，…,，则，即有20个5；
所以
22. 在平面直角坐标系．xOy中，设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点M，且它们的斜率之积是．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）记动点M的轨迹为曲线E，过作两条互相垂直的直线，，与曲线E交于A、B两点，与曲线E交于C、D两点，求的最大值．
解：（1）设点M的坐标为，
因为直线，的斜率之积是，
所以，所以，
因为点M与，两点不重合，所以点M的轨迹方程为．
（2）显然直线，的斜率都存在且不为0，
设，，Ax1,y1，Bx2,y2，，，
联立，得，
显然，所以，
所以,
同理，
因为直线，相互垂直，所以，
所以
，
则，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最大值为．