山东省聊城市2023-2024学年高二(上)1月期末教学质量抽测数学试卷（解析版）

这是一份山东省聊城市2023-2024学年高二(上)1月期末教学质量抽测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上．
2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，只将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 直线在x轴上的截距为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】令，解得，显然截距是.
故选：B
2. 已知函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】由题意，，故.
故选：D
3. 已知数列满足，若，则（ ）．
A. 4B. 3C. D. 2
【答案】B
【解析】由可得，
所以，则是公比为的等比数列，
所以，所以.
故选：B.
4. 已知直线，，若，则它们的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】因为，所以且，所以.
两直线的斜率为，所以倾斜角为.
故选：C.
5. 在三棱锥中，，，分别为，，的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】连结和，并交于点，点是和的中点，
所以，以及，
所以，即，
所以，则.
故选：D
6. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上一点反射后，反射光线必过抛物线的焦点.已知抛物线,一束平行于x轴的光线,从点射入，经过C上一点A反射后﹐再经C上另一点B反射后，沿直线出，则线段AB的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点，
因为，所以令中，则，
即，所以直线的方程为：，
即，
将直线的方程代入中，得，所以，
所以.
故选：C.
7. 已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】因为为正三角形，且均与圆相切，故，
，由四边形内角和为可得.
又圆，圆心为，半径为.
故到直线的距离为.故，
解得或（舍）.
故选：C
8. 已知数列满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
当时，；当时，，
所以
.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A：由于是常数，常数的导数是，即，错误；
对于B：，正确；
对于C：，正确；
对于D：，正确；
故选：BCD
10. 若平面内的动点Px,y满足，则（ ）
A. 时，点的轨迹为圆
B. 时，点的轨迹为圆
C. 时，点的轨迹为椭圆
D. 时，点的轨迹为双曲线
【答案】ABD
【解析】对于选项A，当时，由，
得到，其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以选项A正确，
对于选项B，当时，由，
得到，
整理得到，即，所以选项B正确，
对于选项C，当时，由，
得到，其表示动点到定点和的距离之和为，又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故选项C错误，
对于选项D，当时，由，
得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为，
又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线，故选：ABD.
11. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点，则（ ）

A. 平面
B. 平面
C. 平面平面
D. 直线与ED所成角的余弦值为
【答案】AC
【解析】因为三棱柱为直棱柱，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，
，
设平面，
，
即，令，则，所以，
设平面，
，
即，令，则，
所以，
对于A，，，
平面，所以平面，故A正确；
对于B，，因为，所以不垂直平面，故B错误；
对于C，，所以平面平面，故C正确；
对于D，，
则，
故直线与ED所成角的余弦值为，故D错误.
故选：AC.

12. 已知双曲线的右焦点为，右顶点为A，离心率为e，直线轴，且与C的左、右两支分别交于P，Q两点，О为坐标原点，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则C的虚轴长为
B. 若，则
C. 若存在l使，则
D. 若存在l使，则
【答案】BCD
【解析】由题意可得，，
对于A，若，则，则，，
所以C的虚轴长为，故A错误；
对于B，由A可知，双曲线，
记双曲线的左焦点为，连接，则易知四边形为等腰梯形，
所以，，故B正确；
对于C，因为A为双曲线的右顶点，则Aa,0，
设，因直线轴，所以，
因为，所以，
，即，
因为在C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0上，所以，
所以，即，所以，，
所以，故C正确；
对于D，记与轴的交点为，因为直线轴，所以，
若存在l使，则是等腰直角三角形，
所以，所以，
易知双曲线渐近线的斜率大于，
所以，
所以，所以，所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在空间直角坐标系中,若点关于平面对称的点为,则点P的坐标为________.
【答案】
【解析】由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，
又，所以，解得，所以点P的坐标为.
故答案为：.
14. 写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程__________.
【答案】或
【解析】由题意可知圆心，半径，显然横轴与圆相切，
不妨设，由点到直线的距离公式可知C到l的距离为或，
所以的方程为：或.
故答案为：或.
15. 已知椭圆的上顶点为A，过点A的直线与C交于另一点B，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】设，则，，又，
所以，
当且仅当时，取得最大值.
所以的最大值为.
故答案为：.
16. 若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为__________．
【答案】
【解析】设直线切曲线于点，切曲线于点，
由得，
则直线的方程为，
即；
由可得，则直线的方程为，
即，
所以，，
消去可得，即，可得，
因此，直线的斜率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等比数列中，，，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
解：（1）设等比数列an的公比为q，
因为，，成等差数列，所以，
又，所以，解得或（舍），
所以an的通项公式为．
（2）由（1）得，，
所以bn为等差数列，所以．
所以bn前n项和．
18. 如图，在长方体中，，，M为的中点．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐标系，
设，则，，，，
，．
因为，所以，即．
（2）时，，
由（1）知，，．
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，得，
令，则，，所以为平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19. 已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M．
（1）求面积；
（2）证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程．
解：（1）由题意知x轴平分，所以，
设，则，解得，所以，
所以，所以为直角三角形，
因为，，所以．
即的面积为3．
（2）由（1）知，所以M为AB的中点，半径长为，
所以圆M的方程为，半径．
将圆N的方程化为标准方程，得，
所以圆心，半径．
所以．
又，，所以，
故圆N与圆M相交．
因为，圆M的方程可化为，
两方程作差，得．
所以圆N与圆M公共弦所在直线的方程为．
20. 已知数列与等差数列满足，，数列的前n项和．
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和．
解：（1）由题意知，时，，
因为符合上式，
所以，
又，，所以，解得．
因为bn是等差数列，所以公差，，
所以bn的通项公式.
（2）由（1）知，，所以．
所以
，①
，②
①－②得
，
所以，
所以an的前n项和．
21. 图1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF组成的一个平面图形，其中，，，将直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分别沿AC，CB折起使得CD，CG重合，连接EF，如图2.
（1）求图2中的点B到平面ACDE的距离；
（2）证明图2中的A，B，F，E四点共面，并求平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值.
解：（1）由题意可知，图2中，，
又，平面BCDF，平面BCDF，所以平面BCDF，
在平面BCDF内，过D作于点H，则，
又，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，
以C为原点，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，以过点C且与DH平行的直线为z轴，
建立如图空间直角坐标系，
由题意可得，，，，
，，，
设平面ACDE的法向量为，则，得，
令，则，，所以为平面ACDE的一个法向量，
所以点B到平面ACDE的距离为，即点B到平面ACDE的距离为.
（2）因为，所以图2中的A，B，F，E四点共面，
由（1）知，，，
所以，
设平面ABFE的法向量为，则，得，
令，则，，
所以为平面ABFE的一个法向量，又是平面ACDE的一个法向量，
所以，
即平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值为.
22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，F，其中在抛物线的准线l上，过F的动直线m交于A，B两点，交于M，N两点，且当轴时，．
（1）求的方程；
（2）若于点H，判断坐标原点О是否在直线MH上，并说明理由．
解：（1）因为的准线l的方程为，在l上，
所以，F1,0．
又轴时，，所以点在上，
所以，解得．
所以的方程为．
（2）坐标原点О在直线MH上．
由题意直线的斜率不为0，设直线，
联立，消去x，得，，
设，，
则，
因为于点H，
所以，
所以，，
因为，
所以M，O，H三点共线，即坐标原点О在直线MH上．