2024-2025学年重庆八中高二（上）第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆八中高二（上）第二次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=4x2的焦点坐标是( )
A. (0,1)B. (1,0)C. (0,116)D. (116,0)
2.已知数列{an}是等差数列，且满足a3+a11=30，则a6+a7+a8等于( )
A. 45B. 60C. 75D. 90
3.若点P(1,2)为圆x2+y2=8的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为( )
A. x+2y−5=0B. 2x+y−4=0C. x−2y+3=0D. 2x−y=0
4.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则其两条渐近线的夹角为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
5.已知Q为直线l：x−y+1=0上的动点，点P满足QP=(1,2)，记P的轨迹为E，则( )
A. E是一个半径为 2的圆B. E上的点到l的距离均为 22
C. E是两条平行直线D. E是一条与l相交的直线
6.我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府派人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则一共派出了多少天，派出了多少人？”( )
A. 9天795人B. 8天716人C. 7天602人D. 6天495人
7.已知数列{an}满足a1=2，a2=3，an+2等于an+1⋅an的个位数，则a2024=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
8.已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，准线为l，点P在C上，PQ垂直l于点Q，直线QF与C相交于M、N两点.若QM=2MF，则|PN|=( )
A. 33B. 3C. 2D. 2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.曲线C：x22+k−y22−k=1，下列结论正确的有( )
A. 若曲线C表示椭圆，则k>2B. 若曲线C表示双曲线，则k=2
C. 若k=1，则渐近线为y=± 3xD. 若k=3，则短轴长为2
10.过抛物线E：y2=4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，过A，B分别向E的准线作垂线，垂足分别为C，D，若△ACF与△BDF的面积之比为9，则下列说法正确的是( )
A. |AF||BF|=9B. 直线AB的斜率为 3
C. |AB|=163D. △AOB的面积为4 33
11.已知双曲线C：x24−y22=1的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.过F2的直线l交双曲线C的右支于P，Q两点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，点A、P均在第一象限，则( )
A. 当l垂直于x轴时，|AB|=2 3B. OA⋅OB的最小值为6
C. 点P到两条渐近线的距离之积为43D. OA+OB=OP+OQ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆C：(x−1)2+y2=1关于点A(2,2)对称的圆的方程为______．
13.已知点A，F分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点和右焦点，记点F到渐近线的距离为d，若d= 2|AF|，则双曲线C的离心率为______．
14.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 33，其右焦点和上顶点分别为点F和点A，直线l：y=kx−4交椭圆C于P、Q两点，若F恰好为△APQ的重心，则k= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆M经过(2,0)，(4,2)两点，且圆心M在直线y=x上．
(1)求圆M的标准方程；
(2)过点(2,4)的直线l与圆M相交于A，B两点，且△ABM为直角三角形，求l的方程．
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d=4，ak=15，Sk=36，k∈N∗．
(1)求k及数列{an}的通项公式；
(2)记bn=Snn+c，n∈N∗，若b1，b2，b3成等差数列，求c并证明{bn}为等差数列．
17.(本小题15分)
已知点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点A(x0,2)在抛物线C上，且|AF|=2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1⋅k2=−12，求证：直线l过定点．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2，右焦点F到双曲线C的渐近线距离为 3．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点E(2,0)作直线l交双曲线的右支于A，B两点，连接AO并延长交双曲线左支于点P(O为坐标原点)，求△PAB的面积的最小值．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x216+y2=1，圆O：x2+y2=169，T(4,0)，P为圆O上任意一点.动点Q为线段PT的中点，设点Q的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)过点A(0,1)作曲线E的两条切线分别交椭圆C于M、N，记两切线斜率分别为k1，k2．
(i)求k1k2的值；
(ii)判断直线MN与曲线E的位置关系，并说明理由．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.C
5.B
6.C
7.D
8.D
9.AD
10.BCD
11.ACD
12.(x−3)2+(y−4)2=1
13.3
14. 2
15.解：(1)因为圆M经过(2,0)，(4,2)两点，且圆心M在直线y=x上，
设圆心M为(a,a)，半径为R，
此时R= (4−a)2+(2−a)2= (2−a)2+(0−a)2，
解得a=2，
所以圆心M为(2,2)，半径R=2，
则圆M的标准方程为(x−2)2+(y−2)2=4；
(2)因为圆M的方程为(x−2)2+(y−2)2=4，
此时圆M的圆心M(2,2)，半径为2，
因为△AMB为直角三角形，
所以∠AMB=90°且AM=BM=2，
此时圆心M(2,2)到直线l的距离为 2，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，
此时直线l过圆心，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y−4=k(x−2)，
即kx−y−2k+4=0，
此时直线l到点M(2,2)的距离d=|2k−2−2k+4| 1+k2= 2，
解得k=±1．
则直线l的方程为x−y+2=0或x+y−6=0．
16.解：(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d=4，ak=15，Sk=36，k∈N∗，设首项为a1，
所以a1+4(k−1)=15ka1+4×k(k−1)2=36，解得k=4或92(舍去)，
故k=4，
所以an=4n−1．
证明：(2)由(1)得：Sn=2n2+n，由于bn=Snn+c，
所以b1=31+c，b2=102+c，b3=213+c，
由于b1，b2，b3成等差数列，
所以2×102+c=31+c+213+c，解得c=0或c=12，
当c=12时，故bn=2n2+nn+12=2n，
所以bn+1−bn=2(常数)，所以{bn}为等差数列；
当c=0时，故bn=2n2+nn=2n+1，所以bn+1−bn=2(常数)，所以{bn}为等差数列．
17.(1)解：由题意得：x0+p2=22px0=4，
解得p=2x0=1，所以抛物线C的方程为y2=4x；
(2)证明：设M(y124,y1)，N(y224,y2)，设直线l的方程为x=my+t，
联立x=my+ty2=4x⇒y2−4my−4t=0，
所以y1+y2=4m，y1y2=−4t，
又因为k1⋅k2=y1−2y124−1⋅y2−2y224−1=16(y1+2)(y2+2)=−12，
所以k1⋅k2=16(y1+2)(y2+2)=16y1y2+2(y1+y2)+4=16−4t+8m+4=−12，
得t=9+2m，
所以l：x=my+2m+9=m(y+2)+9，过定点(9,−2)．
18.解：(1)因为椭圆C的实轴长为2，右焦点F(c,0)到双曲线C的渐近线距离为 3，
所以2a=2bc a2+b2= 3a2=b2+c2，
解得a=1，b= 3，
则双曲线C的标准方程为x2−y23=1；
(2)设直线l的方程为x=my+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my+2x2−y23=1消去x并整理得(3m2−1)y2+12my+9=0，
此时3m2−1≠0Δ>0y1⋅y2