2024-2025学年重庆外国语学校高二（上）月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆外国语学校高二（上）月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.AB+BC−CA=( )
A. 2CAB. ACC. 0D. 2AC
2.关于百分位数，下列选项错误的是( )
A. 一组数按照从小到大排列后为：x1，x2，…，xn，计算得：n⋅80%=17.2，则这组数的80%分位数是x17
B. 一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数
C. 一组数据的某些百分位数可能是同一个数
D. 第50百分位数就是中位数
3.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE=AA1+xAB+yAD，则x、y的值分别为( )
A. x=1，y=1B. x=1，y=12C. x=12，y=12D. x=12，y=1
4.已知直线l的方向向量是a=(3,2,1)，平面α的法向量是u=(−1,2,−1)，则l与α的位置关系是( )
A. l⊥αB. l//αC. l//α或l⊂αD. l与α相交但不垂直
5.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( )
A. 56B. 23C. 12D. 13
6.将边长为2的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，∠AOC=120°，∠A1O1B1=60°，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则异面直线B1C与AA1所成角的大小是( )
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
7.正三棱锥P−ABC的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，则PB与平面PEF所成角的正弦为( )
A. 36B. 66C. 33D. 63
8.在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD.已知AB=1，AA1= 3，E为线段AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为( )
A. 2 2B. 2+ 2C. 5+1D. 10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
C. 设{a,b,c}是空间中的一组基底，则{a+b,b+c,c+a}也是空间的一组基底
D. 若a⋅b<0，则是钝角
10.对于概率的基本性质，下列选项正确的是( )
A. 如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B)
B. 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)+P(B)=1
C. 如果A⊆B，则P(A)D. P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知E为线段B1C的中点，点F和点P分别满足D1F=λD1C1，D1P=μD1B，其中λ，μ∈[0,1]，则下列说法正确的是( )
A. 当λ=12时，三棱锥P−EFD的体积为定值
B. 当μ=12时，四棱锥P−ABCD的外接球的表面积是9π4
C. PE+PF的最小值为5 36
D. 存在唯一的实数对(λ,μ)，使得EP⊥平面PDF
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．
13.已知空间向量a=(1,0,1)，b=(1,1,n)，a⋅b=3，则向量a与b的夹角为 ．
14.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在空间直角坐标系O−xyz中，O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,1,2)，点P满足AP=λAC．
(1)求点P的坐标(用λ表示)；
(2)若OP⊥BC，求λ的值．
16.(本小题12分)
一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为P、12、14，且每题答对与否相互独立．
(1)当P=23时，求考生填空题得满分的概率；
(2)若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求P的值．
17.(本小题12分)
某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示：
(1)分别求出a，b，x，y的值；
(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
18.(本小题12分)
已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
(1)求异面直线DE与BF的夹角；
(2)若A1B1=4B1D，求平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的夹角的正弦值．
19.(本小题12分)
如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角A−EF−C的大小为60∘，点M在线段AB上.

(1)若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线OD//平面EMC；
(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60∘，若存在，求此时二面角M−EC−F的余弦值，若不存在，说明理由．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.C
5.A
6.C
7.C
8.D
9.ABC
10.BD
11.ABD
12.0.2
13.π6
14.2 55
15.解：(1)因为A(1,0,0)，C(0,1,2)，
所以AC=(−1 , 1 , 2)，
因为AP=λAC，
所以OP=OA+AP=OA+λAC=(1 , 0 , 0)+λ(−1 , 1 , 2)=(1−λ , λ , 2λ)，
所以点P的坐标为(1−λ,λ,2λ)．
(2)因为BC=(−1 , −1 , 2)，OP⊥BC，
所以OP⋅BC=0，即−1×(1−λ)−1×λ+2×2λ=0，
解得λ=14．
16.解：(1)设考生填空题得满分、15分、10分为事件A、B、C，
则考生填空题得满分的概率P(A)=23×12×14=112…………(4分)
(2)P(B)=P×12×34+P×12×14+(1−P)×12×14…………(7分)
P(C)=P×12×34+(1−P)×12×34+(1−P)×12×14…………(10分)
由P(B)=P(C)得P=34…………(12分)
17.解：(1)由频率表中第4组数据知，
第4组总人数为90.36=25，
由频率分布直方图知n=250.025×10=100，
∴a=100×0.01×10×0.5=5，
b=100×0.03×10×0.9=27，
x=18100×0.020×10=1820=0.9，
y=3100×0.015×10=315=0.2．
(2)第2，3，4组回答正确的共有18+27+9=54人．
∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：
第2组：1854×6=2人，
第3组：2754×6=3人，
第4组：954×6=1人．
18.解：(1)因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，
所以BB1⊥AB，A1B1/​/AB，
因为BF⊥A1B1，
所以BF⊥AB，
又BB1∩BF=B，BB1，BF⊂平面BB1C1C，
故AB⊥平面BB1C1C，
又BC⊂平面BB1C1C，
则AB⊥BC，
以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设B1D=a(0≤a≤2)，
则B(0,0,0)，D(a,0,2)，E(1,1,0)，F(0,2,1)，
所以DE=(1−a,1,−2),BF=(0,2,1)，
故DE⋅BF=2−2=0，
所以DE⊥BF，
故异面直线DE与BF的夹角为90°；
(2)由(1)可知，AB⊥平面BB1C1C，
故平面BB1C1C的一个法向量为m=(1,0,0)，
因为A1B1=4B1D，
则B1D=12，
所以D(12,0,2)，
故DE=(12,1,−2),EF=(−1,1,1)，
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DE=0n⋅EF=0，即12x+y−2z=0−x+y+z=0，
令z=1，则x=2，y=1，
故n=(2,1,1)，
所以|cs|=|n⋅m||n||m|=21× 4+1+1= 63，
故平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的夹角的正弦值为 1−( 63)2= 33．
19.解：(1)因为直线MF⊂平面ABFE，
故点O在平面ABFE内也在平面ADE内，
所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上，
延长FM交EA的延长线于O，
因为AO // BF，M为AB的中点，所以△OAM≌△FBM，
所以OM=MF，AO=BF，所以点O在EA的延长线上，且AO=2，
连接DF交EC于N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是DF的中点，
连接MN，因为MN为△DOF的中位线，所以MN // OD，
又因为MN⊂平面EMC，OD⊄平面EMC，
所以直线OD //平面EMC.
(2)由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE=E，AE，DE⊂平面ADE，
所以EF⊥平面ADE，
又EF⊂平面ABFE，
所以平面ABFE⊥平面ADE，
取AE的中点H为坐标原点，以AH，DH所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以E(−1,0,0)，D(0,0, 3)，C(0,4, 3)，F(−1,4,0)，
所以ED=(1,0, 3)，EC=(1,4, 3)，
设M(1,t,0)(0≤t≤4)，则EM=(2,t,0)，
设平面EMC的法向量m=(x,y,z)，
则m·EM=0,m·EC=0⇒2x+ty=0,x+4y+ 3z=0,
取y=−2，则x=t，z=8−t 3，所以m=t,−2,8−t 3．
因为DE与平面EMC所成的角为60°，
所以82 t2+4+(8−t)23= 32，
所以2 3 t2−4t+19= 32，所以t2−4t+3=0，
解得t=1或t=3，
所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°．
取ED的中点Q，因为EF⊥平面ADE，AQ⊂平面ADE，
所以AQ⊥EF．
又因为AQ⊥DE，DE∩EF=E，DE，EF⊂平面CEF，
所以AQ⊥平面CEF，则QA为平面CEF的法向量，
因为Q−12,0, 32，A(1,0,0)，
所以QA=32,0,− 32，m=t,−2,8−t 3，
设二面角M−EC−F的大小为θ，
所以|cs θ|=|QA·m||QA|·|m|=|2t−4| 3 t2+4+(8−t)23
=|t−2| t2−4t+19．
因为当t=2时，cs θ=0，平面EMC⊥平面CDEF，
所以当t=1时，θ为钝角，所以cs θ=−14．
当t=3时，θ为锐角，所以cs θ=14.
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15,25)
a
0.5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0.9
第4组
[45,55)
9
0.36
第5组
[55,65)
3
y