初中数学北京课改版九年级上册第十九章 二次函数和反比例函数19.4 二次函数的应用随堂练习题

这是一份初中数学北京课改版九年级上册第十九章 二次函数和反比例函数19.4 二次函数的应用随堂练习题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的顶点在轴下方的条件是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．已知关于x的方程|x2+ax|=4有四个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
4．如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线x=1．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若，)为方程的两个根，则且．其中正确的结论有( )
A．①②④⑤B．①②③⑤C．②③④⑤D．①②③④⑤
5．二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为（ ）
A．B．，
C．，D．，
6．已知，若关于x的方程 的解为，关于x的方程 的解为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=﹣x2，当水位线在 AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（ ）
A．3mB．26mC．43mD．9m
8．某种商品每件进价为元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（ ）
A．元B．元C．元D．元
9．方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
11．如图为二次函数的图象，在下列说法中:

①；②方程的根是③ ；④当时，随的增大而增大；⑤；⑥，正确的说法有（ ）
A．B．C．D．
12．抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的序号是 ．

14．抛物线（a，b，c是常数）的顶点坐标是（-1，n），n＜0，且a＋b＋c＝0．下列四个结论：①ac＞0；②a＋c＜0；③点在抛物线上，当时，则；④（m是一个常数）．其中正确的结论是 （填写序号）．
15．如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点，，分别是，，的中点，连接，，则的最小值为 ．

16．如图，抛物线与函数的图象在第一象限交点的横坐标为4，点在抛物线上，点在正比例函数的图象上，当时，的最大值为 ．
17．将二次函数的图像沿着y轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是 ．
三、解答题
18．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线，已知：、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求出B点坐标；
(3)在对称轴上是否存在一个P点，使最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由．
19．龙凤湿地公园为大庆著名景点，该公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小东发现，如果设距喷水柱子的水平距离为米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米，h与的数量变化有一定规律．
【提出问题】
喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米与距喷水的柱子的水平距离米，h与之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小东对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据：
(1)在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；并直接写出h与之间的函数关系式；
(2)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为2.4米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，问游船在能否顺利通过？说明理由．
(3)如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1m，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留）
20．掷实心球是中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距㐫之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求关于的函数表达式；
(2)根据陕西中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得该项目满分100分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
21．某剧院举办文艺演出，经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；但如果票价每张增加元，则售出的门票数量（张）与（元）的函数关系部分图像如图所示．
(1)由图像可知，票价每增加1元，则门票数量会减少______张；
(2)要使门票收入恰好为36270元，票价应定为每张多少元；
(3)销售总监认为：票价越高，则门票收入越高．请你从数学的角度进行判断、分析是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请你给出建议，当票价定为多少时，门票收入最高．
22．电商平台销售某款儿童玩具，进价为每件10元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与每件玩具售价x(元)之间满足一次函数关系．当每件玩具售价为12元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为14元时，每周的销量为40件．
(1)求y与x之间的函数关系式(其中，且x为整数)；
(2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？
23．已知函数为常数，且．
(1)求证：该函数的图像与x轴总有公共点；
(2)当时，该函数图象与轴交于，两点，求线段长度的取值范围；
(3)当时，．直接写出的取值范围．
24．已知直线与抛物线．
(1)求证：直线l与抛物线总有两个交点；
(2)当时，求直线l与抛物线的交点坐标．
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点问题，根据一元二次方程根的情况判断判别式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
先看二次函数中的值，因为，故二次函数开口向下；再看二次函数的顶点在轴下方，故可得此二次函数与轴没有交点，即一元二次方程无实数解，于是可得答案．
【详解】解：，
二次函数开口向下，
又二次函数的顶点在轴下方，
此二次函数与轴没有交点，
一元二次方程无实数解，
，
故选：．
2．C
【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点，将代入解析式求出对应的y值即可．
【详解】解：当时，，
抛物线与轴的交点坐标是，
故选C．
3．A
【分析】根据题意做出y=|x2+ax|，然后做出y=4，然后根据题意，平移函数顶点即可求解．
【详解】∵方程|x2+ax|=4有四个不相等的实数根
∴y=|x2+ax|与y=4的图象有四个不同的交点
函数y=|x2+ax|的图象可以看作抛物线y=x2+ax在x轴上方的保持不变，在x轴下方的图象翻折到x轴上方所形成，如下图所示
由图象可得，当，即或时，两个图象有四个交点
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程，重点是将x轴下方部分翻折到x轴上方是本题的关键，然后再根据两条直线的交点确定参数的取值范围．
4．A
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【详解】解：抛物线开口向下，因此，对称轴为，
因此、异号，所以，
抛物线与轴交点在正半轴，因此，所以，故①正确；
当x=2时，，故②正确；
抛物线与轴交点()，对称轴为x=1．因此另一个交点坐标为()，
，又=1，
，所以，而，，因此，故③不正确；
由可得方程的解为和，
抛物线与轴交点()，()，
即方程的两根为，；
，


当时，
，
，
，
的两根，，故④正确；
抛物线与轴交点()，()，且，
因此当时，相应的的值大于，或者小于，
即，，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②④⑤，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的、、的值决定抛物线的位置是正确判断的关键．
5．D
【分析】根据二次函数图象的对称性结合题意，可知该二次函数的图象必经过点(3，-1)，即可直接得出的解为，．
【详解】∵二次函数的图象经过点(1，-1)，且图象对称轴为直线x=2，
∴该二次函数的图象必经过点(3，-1)．
∴的解为，．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象的对称性，一元二次方程和二次函数的关系．根据二次函数图象的对称性求出该二次函数必经过的另一个点的坐标是解答本题的关键．
6．C
【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，
∵，若关于的方程的解为，关于的方程的解为，
∴，，，分别是的横坐标，
∴根据图象可知：，
故选：．
7．D
【详解】试题解析：由已知知：
点的横坐标为.
把代入
得
即水面离桥顶的高度为
故选D.
8．B
【分析】设利润为w根据利润等于利润单价乘以数量列出函数，根据函数性质求解即可得到答案；
【详解】解：设利润为w，由题意可得，
，
∵，，
∴当时w最大，
故选B；
【点睛】本题考查二次函数解决销售利润问题中最值问题，解题的关键是列出函数根据函数性质求解．
9．B
【分析】按照提示方法，方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，根据两个函数的图象的交点位置范围，确定原方程的根x的所在范围．
【详解】解：发现的根不为0，
方程两边同除以x，得到，
方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，
由图象看出，两个函数的图象交点在点和点之间，
∴方程的实数根x所在范围是．
故选B
【点睛】本题考查了图象法解方程，解决问题的关键是按照题设方法把方程拆成两个函数，用两函数图象交点位置范围估计方程实数根的所在范围．
10．B
【分析】抛物线与x轴的交点的横坐标，即令y=0所对应的一元二次方程的根．
【详解】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是1．
故选B．
【点睛】考查了二次函数与一元二次方程之间的联系，即抛物线与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的关系．
11．D
【分析】根据抛物线开口向上得出a＞0，根据抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上得出c＜0，根据图象与x轴的交点坐标得出方程ax2+bx+c=0的根，把x=1代入y=ax2+bx+c求出a+b+c＜0，根据抛物线的对称轴和图象得出当x＞1时，y随x的增大而增大，2a=-b，根据图象和x轴有两个交点得出b2-4ac＞0．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴ac＜0，∴①正确；
∵图象与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3，∴②正确；
把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜0，∴③错误；
根据图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；
∵-=1，
∴2a=-b，
∴2a+b=0，不是2a-b=0，∴⑤错误；
∵图象和x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，∴⑥正确；
正确的说法有：①②④⑥．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性．
12．A
【分析】抛物线与y轴的交点坐标特点是：横坐标为0，据此即可得到答案．
【详解】令，则
因此抛物线与y轴的交点坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴交点坐标，解题的关键是理解抛物线与y轴相交，横坐标为0．
13．①④
【分析】根据抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴可得，再根据对称轴可得，由此即可判断①；根据当时，即可判断②；将点代入二次函数的解析式可得，再根据即可判断③；根据直线与二次函数有两个交点即可判断④．
【详解】解：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴，
，，
二次函数的对称轴为直线，
，
，结论①正确；
当时，，
，结论②错误；
将点代入得：，
，
，结论③错误；
由函数图象可知，二次函数的最小值小于0，
直线与二次函数有两个交点，
关于的方程，即有两个不相等的实数根，结论④正确；
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确地由图象得出的数量关系，本题属于基础题型．
14．②③④
【分析】由图象顶点坐标是，，且过点即可判断，由对称轴对称，即可求得，可判断①；由从而判断②；根据图象上点的坐标特征可判断③；由抛物线的最值可判断④．
【详解】解：抛物线顶点坐标是，，且，
时，为函数最小值，即，抛物线开口向上，
，
，
，故①错误；
，故②正确；
，，
抛物线为，
，
，
，
，即，
，解得，
，故③正确；
当时，函数为最小值，
是一个常数），
，
，，
，
是一个常数），故④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
15．
【分析】根据中位线定理得到，进而得到，当最小时，最小，点关于对称轴对称的点为点，连接，则：，即三点共线时，的值最小，进行求解即可．
【详解】解：∵，当时，，
解得：；当时，；
∴，，
∵点，，分别是，，的中点，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵点关于对称轴对称的点为点，连接，则：，即三点共线时，的值最小，
∵，，
∴，
∴，
即：的最小值为，
∴的最小值为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握三角形的中位线定理，利用轴对称的性质，数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
16．
【分析】根据第一象限的交点求出a的值，再表示出，，列出关于t的二次函数，根据函数的性质即可求解．
【详解】把x=4代入得y=2
把x=4，y=2代入得
解得a=
∴
当x=t时，，当x=t+1时，
∴当时，===
∵＜0，
∴当t=2时，的最大值为
故答案为：．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意列出关于t的二次函数进行求解．
17．（或）
【分析】根据关于y轴对称的点的特征，即可得的图像关于y轴对称的函数表达式．
【详解】根据关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等．
则关于y轴对称的函数表达式为：
即：
故答案为：（或）
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于y轴对称的点的特征，函数图像可以看作是满足函数关系式的点构成的图形，所以满足关于y轴对称的点的特征，理解关于y轴对称的点的特征是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象交点，路径最短问题等知识点．解题的关键是根据所学的知识确定点的位置是解题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴为直线及、，利用待定系数法即可求解；
（2）令，可得，求解即可得点的坐标；
（3）根据轴对称图形的性质和两点间线段最短可知，，，则（当、、在同一直线上时，取等号），直线与抛物线对称轴的交点就是所求的点．可先求出这条直线的解析式然后联立抛物线对称轴的解析式即可求得点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，则，
将、代入中，得
解得：，
∴解析式为：；
（2）当时，，解得：，，
∴点的坐标为；
（3）存在，理由如下，
如图，连接，交对称轴于点，连接，
由对称可知，，则（当、、在同一直线上时，取等号），此时点为直线与抛物线对称轴的交点，
设直线的解析式为，
代入，C0,−3，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，即此时点的坐标为．
19．(1)图见解析，函数关系式为：
(2)不能正常通过，理由见详解
(3)12π米
【分析】
本题考查二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
（1）根据表格数据对应描点画图即可；根据表格数据和图象的对称性可得答案；
（2）根据二次函数的图象和性质可得答案；
（3）先利用待定系数法求得该抛物线的解析式，再求出落水点距离喷头的水平距离，进而求得圆形护栏的半径，根据圆的周长公式即可求解
【详解】（1）解：描点、连线、图象如图：
解：该函数是二次函数，由和可知，抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴水柱最高点距离湖面的高度是米；
由图象可得，顶点，
设二次函数的关系式为，
把代入可得，
∴；
（2）解：不能正常通过，理由如下
游船宽带2.4米，在抛物线的正下方通过，令，
代入抛物线得，
由已知，顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，
∴，
∴，
∴不能正常通过；
（3）解：当时，即，
解得（舍去）或，
∴圆的半径为（米），
∴至少需要准备栏杆（米），
∴公园至少需要准备米的护栏．
20．(1)
(2)该男生在此项考试中能得满分.
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的实际应用等知识点，求出二次函数表达式是解题的关键.
（1）已知顶点坐标为，设成顶点式，将代入求出a的值，即可求出函数表达式；
（2）根据（1）中的表达式，求出时x的值，即D点的坐标，则可知的长，再与作比较即可判断是否得满分．
【详解】（1）解：设，
将代入得：，解得：，
∴，
∴；
（2）解：当时，，即，
∴，
∴（舍去），
，
，
，
∴该男生在此项考试中能得满分．
21．(1)30
(2)31元或39元
(3)不正确，票价为35元
【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
（1）由图像可知即可得出结论；
（2）依题意，得，再解方程即可；
（3）设门票总收入为元，则，再根据二次函数的性质求最值即可．
可设票价应定为元，根据票价销售的票数获得门票收入，即可列出一元二次方程．
【详解】（1）解：张，
由图像可知，票价每增加1元，则门票数量会减少张，
故答案为：；
（2）
解得，，
或，
答：票价应定为每张31元或39元．
（3）不正确．由（2）可知，当票价为31元和39元时，门票收入一样．
设门票总收入为元，则
，
时，随的增大而增大，，票价为时，有最大值36750．
答：票价为35元时门票收入最高为36750元．
22．(1)（其中，且x为整数）
(2)当每件玩具售价为13元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是180元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可；
（2）设每周销售这款玩具所获的利润为W，列出W关于x的二次函数关系式，化为顶点式即可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）；
（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W，
由题意得
，且，且x为整数，
当时，W取最大值，最大值为180，
即当每件玩具售价为13元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是180元．
23．(1)证明见解析
(2)；
(3)或．
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，分类讨论思想的运用是解题的关键．
（1）利用根的判别式即可判断；
（2）解方程求得，，则，，，，根据即可求得线段长度的取值范围；
（3）由解析式可知抛物线一定过点，，分两种情况讨论即可求得的取值范围．
【详解】（1）证明：令，则，
△，
该函数的图象与轴总有公共点；
（2）解：由方程解得，
，，
，，
，
，
；
（3）解：如图，
时，，时，，
抛物线一定过点，，
当时，，
函数为常数，且的图象开口向上时满足题意，则，
函数为常数，且的图象开口向下时，，解得，
当时，，则的取值范围是或．
24．(1)见解析
(2)直线l与抛物线的交点坐标为，
【分析】（1）将二次函数表达式和一次函数表达式联立起来，根据一元二次方程根的判别式即可求证；
（2）将二次函数表达式和一次函数表达式联立求解即可．
【详解】（1）证明：联立，
化简，得．
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴直线l与抛物线总有两个交点．
（2）解：当时，直线．
联立，
解得或，
∴直线l与抛物线的交点坐标为，．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的交点问题，解题的关键是掌握解求二次函数和一次函数交点坐标的方法和步骤．
（米）
…
0
1
2
3
4
…
h（米）
…
2
2
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
A
D
C
D
B
B
B
题号
11
12








答案
D
A