初中数学北京课改版八年级上册12.1 三角形一课一练

这是一份初中数学北京课改版八年级上册12.1 三角形一课一练，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，点D在等腰的斜边上，以为边作等腰，斜边交于F，则图中的相似三角形有（ ）

A．3对B．4对C．5对D．6对
3．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有【 】
A．1对B．2对C．3对D．4对
4．如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），则下列条件不一定能保证△ACP∽△ABC的有（ ）
A．∠ACP=∠BB．∠APC=∠ACBC．D．
5．下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．腰与底的比都是的两个等腰三角形B．有一个内角为的两个直角三角形
C．有一个内角是的两个等腰三角形D．两条直角边的比都是的两个直角三角形
6．下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中和的顶点都在小正方形的顶点上，则与一定相似的图形是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，∠1＝∠2，DE∥AC，则图中的相似三角形有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
8．如图，D、E分别是边AB、BC上的点，，若：：3，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是的边的延长线上的一点，连结交于，则图中共有相似三角形（ ）．
A．2对B．3对C．4对D．5对
10．如图，已知BC交AD于点E，AB∥EF∥CD，那么图中相似的三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
11．下列各条件中，能判断的是（ ）
A．，
B． ，
C．，
D．，，，
12．如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，已知点是上的一点，连接，若，，当与，之间满足关系式 时，．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一定点，点E是AC上的一个动点，若再增加一个条件就能使△ADE与△ABC相似，则这个条件可以是 ．
15．如图，在△ABC中，∠B=90°，D、E分别是边AB、AC的中点，DE=4，BC=8，则△ADE与△ABC的周长的比是 ．
16．如图，中，，于点，于点，于点，，则 .
17．已知：在中，P是上一点，连接，当满足条件： 或 或 时，．

三、解答题
18．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么:
(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
19．如图，在中，．
(1)在图中作出的平分线，交于点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：．
20．如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：．
21．如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．

参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”判断A，B，再根据“两个角相等的两个三角形相似”判断C，D．
【详解】∵，且，
∴∽.
所以A不符合题意；
∵，且，
不能说明这两个三角形相似，所以B符合题意；
∵，，
∴∽.
所以C不符合题意；
∵，，
∴∽.
所以D不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】根据等腰直角三角形的性质得，，则，，即可得，好看i，得，根据，得，再根据得，同理，，，综上，图中相似三角形共有5对，即可得．
【详解】解：∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，，
∴，
综上，图中相似三角形共有5对，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是掌握这些知识点．
3．C
【详解】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：
同已知，设CF=a，则CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a．
根据勾股定理，得EF=，AE=，AF=5a．
∴，，．
∴△CEF∽△DAE，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EFA．共有3对相似三角形．
故选C．
4．D
【详解】试题分析：∵∠A=∠A，∴当∠APC=∠ACB或∠ACP=∠B或AC：AB=AP：AC或AC2=AB•AP时，△ACP∽△ABC．故选D．
考点：相似三角形的判定．
5．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握：①两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；②两角对应相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似；是解题的关键．
根据相似三角形的判定定理进行判断作答即可．
【详解】解：由相似三角形的判定定理可知，
腰与底的比都是的两个等腰三角形，一定相似，故A不符合要求；
有一个内角为的两个直角三角形，一定相似，故B不符合要求；
有一个内角是的两个等腰三角形，当为一个三角形的顶角，为一个三角形的底角时，两个三角形不相似，故C符合要求；
两条直角边的比都是的两个直角三角形，一定相似，故D不符合要求；
故选：C．
6．A
【分析】由已知根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
【详解】解：已知每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成．
A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠CDE，
BC=DC=，
∴，，
∴△ABC∽△CDE；
B：△ABC为等腰三角形，则△CDE不是等腰三角形，所以不相似；
C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，对应角不相等，所以不相似；
D：，，
∴，所以不相似．
故选：A．
【点睛】此题考查的知识点是相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
7．C
【分析】由∠1＝∠2，DE∥AC，利用有两角对应相等的三角形相似解答即可．
【详解】∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，∠EDA＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△CAD，
∵DE∥AC，
∴∠2＝∠EDB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠EDB，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴△ABD∽△CBA，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用，注意数形结合思想的应用．
8．D
【详解】∵S△BDE：S△CDE=1：3，
∴BE：EC=1：3；
∴BE：BC=1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴.
故选D.
9．C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴；
又，
∴；
∵，，
∴；
∴；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题关键是掌握相似三角形的判定方法，注意相似三角形具有传递性．
10．C
【分析】分别根据EF∥AB、EF∥CD及AB∥CD分别求解可得．
【详解】解：∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
11．C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似：两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似；根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可．
【详解】A、，，只有一角一边，不能判断两个三角形相似，故A不符合题意；
B、 ，，不是与的夹角，不能判断两个三角形相似，故B不符合题意；
C、由可得，再由得，利用两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似，可判断，故C符合题意；
D、由，得，则得，故D不符合题意；
故选：C．
12．C
【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
13．
【分析】根据相似三角形的判定方法进行分析即可.
【详解】要使△ACP∽△ABC成立,∠A是公共角,则AB:AC=AC:AP应成立,即m:n=n:AP,则.
故答案为.
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
14．∠AED=90°，或∠ADE=90°，或AE：AC=AD：AB，或AE：AB=AD：AC．
【分析】要使△ADE与△ABC相似，可以添加∠AED=90°或∠ADE=90°从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似；或添加AE：AC=AD：AB，AE：AB=AD：AC从而利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
【详解】解：∠AED=90°或∠ADE=90°或AE：AC=AD：AB或AE：AB=AD：AC．
【点睛】考点：相似三角形的判定．
15．1；2
【详解】试题分析：相似三角形的周长之比等于相似比．根据中点可得：DE∥BC，则△ADE∽△ABC，则．
16．6
【详解】【分析】由等腰三角形的性质可得∠C ＝∠ABC， BD=DC=BC，再根据∠BED=∠CFB=90°，可证△BED∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得.
【详解】∵AB=AC，
∴∠C ＝∠ABC ，
又∵AD ⊥BC于 D 点，
∴ BD=DC=BC，
又 DE ⊥AB，BF ⊥AC，
∴∠BED=∠CFB=90°，
∴△BED∽△CFB，
∴DE：BF=BD：BC=1：2，
∴BF=2DE=2×3=6cm ，
故答案为6.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，得到△BED∽△CFB是解本题的关键.
17．
【分析】连接，由图可得，两三角形已有一组角（公共角）对应相等，再加一组角对应相等或两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有此填空即可．
【详解】证明：连接，
，
∴当或或时，，
故答案为：；；．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
18．(1) t=2秒；(2)在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变)；(3)①t=1.2，②t=3.
【分析】(1)分别用t表示出QA和AP，则按QA=AP求解即可；
(2)观察图形可得S△QPC=S△QAC+S△APC，然后用含t的表达式分别求解S△QAC和S△APC，根据运算结果即可发现相关结论；
(3)分△QAP∽△ABC和△PAQ∽△ABC两种情况进行讨论即可.
【详解】(1)对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t，
当QA=AP时，△QAP是等腰直角三角形，即6-t=2t，t=2秒.
(2)S△QPC=S△QAC+S△APC =(36-6t)+6t=36cm2，
在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的
距离之和保持不变)
(3)分两种情况:
①当时△QAP∽△ABC，则，从而t=1.2s，
②当时△PAQ∽△ABC，则，从而t=3s.
【点睛】本题为动点问题，根据点的运动方式结合相似三角形相关性质列出关系式进行求解.
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定．
（1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可．
（2）根据三角形相似的判定解答即可．
【详解】（1）根据基本步骤作图如下：
则即为所求．
（2）∵ 的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20．见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，三角形相似的判定，先根据勾股定理求出、、、，得出，即可证明．
【详解】解：∵，，，
，，，
∴，，，
∴，
∴．
21．△ADE∽△BDA
【分析】先利用勾股定理求得AD=，进而有，又∠ADB=∠ADB
，利用“两组边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似”即可证得△ADE∽△BDA．
【详解】∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE，
∴AD=，BD=2，
∴，
∵∠ADB=∠ADB，
∴△ADE∽△BDA．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
D
C
A
C
D
C
C
题号
11
12








答案
C
C