苏科版（2024）九年级下册6.5 相似三角形的性质课后测评

这是一份苏科版（2024）九年级下册6.5 相似三角形的性质课后测评，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，若等边三角形的边长为6，是它的中位线，则下面三个结论：①；②；③的周长是9，其中正确的有（ ）

A．0个B．1个C．2个D．3个
2．如图，在中，，，，点 是 边上一点，将 沿着过点 的一条直线翻折，使得点 落在边 上的点 处，连接 ， 如果 ， 那么 的长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，平面直角坐标系中，已知点，使点B平移至原点O，得到，则的长为（ ）
A．B．C．D．1
4．如图，D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC=（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3
5．在四边形中，是上的一点，，，若，，（ ）
A．B．C．D．2
6．如图，在中，，，梯形的面积是面积的8倍，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
7．如图，为正方形对角线上一动点，，，在上结论：①；②；③；④若，，则．其中正确结论的个数是 （ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，EF是梯形的中位线，AC交EF于G，BD交EF于H，以下说法错误的是（ ）.
A．AB∥EF
B．AB+DC=2EF
C．四边形AEFB和四边形ABCD相似.
D．EG=FH
9．如图，在ΔABC中，点分别是的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在等边三角形中，点，分别在，上，沿把进行翻折，使点的对称点落在边上．若，则（ ）

A．B．C．D．
11．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列结论：①EF⊥ED；②∠BCM＝∠NCM；③AC＝EM；④BN2+EF2＝EN2；⑤AE•AM＝NE•FM，其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△AB′C′，连接BB′、CC′，已知AB＝c，AC＝b，BC＝a，则BB′：CC′等于( )
A．c：bB．a：bC．c：aD．b：c
二、填空题
13．如图，在中，，，，点是AB边上一动点，过点作交边于点，将沿直线DE翻折，点落在线段AB上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ．
14．如图，在中，，若，，，则的长是 ．
15．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的 ．

16．如图，矩形和矩形，，矩形绕点A旋转，给出下列结论：①②；③当时，．④：其中正确的结论 ．
17．和的位置如图，，，连接，且，则：
（1）若，则 （用含α的代数式来表示）；
（2）若，则的长为 ．
三、解答题
18．观察与发现：如图：小明将一个边长为的正方形纸片折叠，使得点D落在边上的点E处（不与A，B重合），折痕交于点F，交于点H，点C落在Q处，与交于点G，

(1)小明认为，你同意吗？请说明理由．
(2)实践与探究：在上图中，当时，请你计算的周长．
19．如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）．
(1)在图1中，用无刻度的直尺画出的外心点．
(2)在图2中，用无刻度的直尺在和上分别取点，使；
(3)在图3中，用无刻度直尺在线段上找一点，使得．
20．龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动物，是中华民族最具代表性的传统文化之一．恰逢龙年，政府部门在某广场上做了一个龙形雕像．某数学兴趣小组想要利用所学知识测量该雕像的高度．如图雕像的高度为，在地面上取两点，分别竖立两根高均为的标杆和，两标杆间隔为，并且雕像，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，三点也在一条直线上．已知在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该龙形雕像的高度．
21．综合与实践
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究．
(1)如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接、，，则的值为_______．
(2)如图2，在矩形中，，，点分别是上的两点，连接、，，求的值．
(3)如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长．
22．（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，AB上，于点，点，分别在边CD，AB上，．推断：的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，常数)．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交CD于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用在（2）的条件下，连接，当时，若， ，求的长．
23．如图，直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC＝∠AEB．
（1）求证：△ADF∽△CAE；
（2）当AD＝8，DC＝6，点E、F分别是BC、AC的中点时，求BC的长？
24．【探索发现】
如图①，当四边形为正方形时，以边、为斜边分别向外侧作等腰直角三角形和，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）直接写出线段、、之间的数量关系：______；
【理解应用】
如图②，当四边形为矩形时，以边、为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰直角三角形和，连接、．
（3）判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】
（4）如图③，当四边形为平行四边形时，以边、为底边分别向平行四边形内侧、外侧作等腰三角形和，且，连接、，若，，求的长．
参考答案：
1．D
【分析】由中位线的性质可推出，，即可证明，的周长与的周长之比为相似比，即可求出相应周长，进而可得答案．
【详解】解：∵等边三角形的边长为6，是它的中位线，
∴，，故①正确，
∴，故②正确
∴，
∴的周长与的周长之比为．
∴，
∴，故③正确
∴正确的有①②③，共3个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理，关键在于推出．
2．A
【分析】本题考查了轴对称，相似三角形的判定与性质，正切值等知识点．解题的关键与难点在于相似比找出线段之间的数量关系．
由题意知，，和关于过点的直线对称，如图所示，，，有，，故有，；得，求出，，的值，进而得出的值．
【详解】解：由题意知，和关于过点的直线对称，如图所示
在中， ， ，
∴
∵，
∴，
在和中
∴
∴
又∵
∴
∴
∴，，
∴
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了平面坐标与图形，平移的性质，相似三角形的判定与性质，根据坐标得到，再根据平移的性质得到，易证，得到，由相似的性质即可求解
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵将沿着x正向平移，使点B平移至原点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
4．C
【分析】根据三角形中位线定理可求得相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是三角形的中位线，
∴DE：BC=1：2，
∴S△ADE：S△ABC=1：4．
故选C．
【点睛】主要考查了中位线定理和相似三角形的性质．要掌握：中位线平行且等于底边的一半；相似三角形的面积比等于相似比的平方．
5．C
【分析】根据， ，则△ADE∽△ECB，得，由，则求出，又，即可得到答案.
【详解】解：∵，则△ADE∽△ECB，
∴，
∵，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为C.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的面积之比等于相似比的平方.
6．C
【分析】先根据梯形的面积是面积的8倍，得出，再证，推导出，即可求解．
【详解】解：梯形的面积是面积的8倍，
．
中，，
，，
，
，
．
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
7．D
【分析】①利用等腰直角三角形判定即可；②利用“8”字形模型即可判断；③证明即可；④先利用求出AG、GE的长度，再利用即可求出
【详解】∵，
∴
∴，故①正确，
∵正方形
∴
∵，
，
∴，故②正确，
∵
∴
∴
∴，故③正确，
∵，，
∴，，
∵AB∥CD
∴
∴
∴，，
∵，
∴
∴
∴，解得，故④正确，
综上所述，正确的是①②③④
故选：D
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．C
【详解】试题分析：根据梯形的中位线的性质进行解答.
在梯形ABCD中，AB∥DC，EF是梯形的中位线，所以AB∥EF，故A正确；
因为EF是梯形ABCD的中位线，所以EG＝CD,GF=AB，故EF=CD+AB，即AB+DC=2EF，故B正确.
在四边形AEFB和四边形ABCD中，对应角相等，对应边不成比例，因此四边形AEFB和四边形ABCD不相似.故C错误；
由于EG、HF分别是△ACD、△BCD的中位线，知EG=CD，HF=CD，所以EG=FH，故D正确.
故选C.
考点: 梯形的中位线.
9．B
【分析】根据三角形的中位线定理得，作辅助线，证明，得到两个高的比例关系，代入面积的代数式得出的比例关系
【详解】作，与线段BC交于点F，与线段DE交于点G
根据三角形的中位线定理得


【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，已知两个三角形的底边的比例关系，证明相似得出三角形高的比例关系，就可以得出面积的比例关系
10．D
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，连接，，设，则，根据等边三角形的性质和折叠的性质得，，再通过证明，根据周长比等于相似比即可求出的值，熟知等边三角形的性质，折叠的性质，证明三角形的相似是解题的关键．
【详解】解：连接，，

∵，
∴设，则，
∵是等边三角形，
∴，，
由折叠的性质可知：是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
故选：．
11．C
【分析】①正确，只要证明A，B，C，D，E五点共圆即可解决问题；
②正确，证明BE平分∠ABC，再证明点M是△ABC的内心即可；
③正确，证明∠EAM＝∠EMA可得EM=AE，即可解决问题；
④正确．如图2中，将△ABN逆时针旋转90°得到△AFG，连接EG．想办法证明△GEF是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；
⑤错误．利用反证法证明即可．
【详解】解：如图1中，连接BD交AC于O，连接OE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∵∠AEC＝90°，
∴OE＝OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE，
∴A，B，C，D，E五点共圆，BD是直径，
∴∠BED＝90°，
∴EF⊥ED，故①正确，
∵CD＝AB＝AF，∠BAF＝90°，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠FBC＝45°，
∴BM平分∠ABC，
∵AM平分∠BAC，
∴点M是△ABC的内心，
∴CM平分∠ACB，
∴∠MCB＝∠MCA，故②正确，
∵∠EAM＝∠EAC+∠MAC，∠EMA＝∠BAM+∠ABM，∠ABM＝∠EAC＝45°，
∴∠EAM＝∠EMA，
∴EA＝EM，
∵△EAC是等腰直角三角形，
∴AC＝EA＝EM，故③正确，
如图2中，将△ABN绕点A逆时针旋转90°，得到△AFG，连接EG，
∵将△ABN绕点A逆时针旋转90°，得到△AFG，
∴∠NAB＝∠GAF，∠GAN＝∠BAD＝90°，AG＝AN，GF＝BN，
∵∠EAN＝45°，
∴∠EAG＝∠EAN＝45°，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEN（SAS），
∴EN＝EG，
∵∠AFG＝∠ABN＝∠AFB＝45°，
∴∠GFB＝∠GFE＝90°，
∴EG2＝GF2+EF2，
∴BN2+EF2＝EN2，故④正确，
不妨设AE•AM＝NE•FM，
∵AE＝EC，
∴，
∴只有△ECN∽△MAF才能成立，
∴∠AMF＝∠CEN，
∴CE∥AM，
∵AE⊥CE，
∴MA⊥AE（矛盾），
∴假设不成立，故⑤错误，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
12．A
【分析】根据旋转的性质可以得到,,得到 所以BB′：CC′=AB:AC，即可求出.
【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△AB′C′
∴，，
∴
∴
∴
∵AB＝c，AC＝b，BC＝a
∴
故选 A
【点睛】此题主要考查了三角形旋转的性质及相似三角形的判定及性质，熟记相关性质是解题的关键.
13．或或
【分析】由翻折变换的性质得：，设，则；分三种情况讨论：①时，②当时，在的垂直平分线上，③当时，作于，得出，根据的性质即可求解．
【详解】解：由翻折变换的性质得：，
，，，
∴ ，
设，则；
分三种情况讨论：①时，，
解得：，
；
②当时，在的垂直平分线上，
为AB的中点，
，
，
解得：，
；
③当时，作于，如图所示：
则，
，
又，
，
，
，
即，
解得：
；
综上所述：当为等腰三角形时，的长为：或或；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
14．
【分析】先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得AE的长，再根据线段的和差即可得．
【详解】，
，
，
，，，
，
解得，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
15．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并用相似三角形的性质进行解答是解题的关链；先证出四边形为矩形，得到，再
根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几；
【详解】解：由题意知，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
物体被缩小到原来的，
故答案为：；
16．②③
【分析】通过证明，由相似三角形的性质可求，故①错误；由相似三角形的性质可得，由余角的性质可证，故②正确；分别求出，，即可判断③；由勾股定理可求，故④错误．
【详解】解：矩形和矩形，，，，，
，，，
，，
，
，
，故①错误；
如图，设与交于点，
，
，
又，
，
，故②正确；
如图，过点作于，直线于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，，
．故③正确；
如图，连接，，，，
，，，，
，，
，
，，，，
，
，故④错误；
故答案为：②③．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17．
【分析】（1）由，证明，得到，再根据是等腰直角三角形可得，即可得出结果；
（2）证明，可得，，从而证明是等腰三角形，得出，利用，，求出，，设，，在中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1），，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
（2），
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是等腰三角形，
，
∵，即，
，
，，
设，，
在中，利用勾股定理得，
即，解得，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质证明三角形相似或全等是解题的关键．
18．(1)同意，理由见解析
(2)的周长为．
【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据角之间的关系通过等量代换可得；结合，利用相似三角形的判定定理即可解答；
（2）设，则，由勾股定理求出的长；接下来利用相似三角形的性质求出和的长度，然后利用周长的计算公式计算即可．
【详解】（1）解：同意．理由如下：
根据折叠的性质可得．
∵，
∴．
∵，
∴；
（2）解：设，则，
∴，
∴，
即，．
∵，
∴，
即，
∴，
∴的周长为．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图—无刻度直尺作图，相似三角形的判定与性质、平移的性质、三角形外心的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用网格特点，作出、的垂直平分线，交于点，点即为所作；
（2）将向左平移，交于点，交于点，则，从而可得，点、即为所作；
（3）取格点、，连接交于，则，，，从而得到，进而得到，点即为所作．
【详解】（1）解：如图，的外心点即为所作，
（2）解：如图，点、即为所作，
（3）解：如图，点即为所作，
20．该龙形雕像的高度为
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及其性质是解题的关键．
根据题意，可得，，可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：由题意得，，，，，，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，且，，
∴，
解得，则，
则，即，
解得：，
答：该龙形雕像的高度为．
21．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案；
（2）设与交于点G，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）过点C作交的延长线于点H，证明，列出比例式，即可得到答案．
【详解】（1）设与交于点G，如图1所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
故答案为：1；
（2）如图2，设与交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）过点C作交的延长线于点H，如图所示：
∵，
∴∠G=∠H=∠A=∠B=90°，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键．
22．（1）1；（2）k，理由见解析；（3）CP
【分析】（1）①由正方形的性质得，．所以，又知，所以，于是，可得，再证明四边形是平行四边形即可解决问题；
（2）结论：．如图2中，作于．然后证明即可解决问题；
（3）如图2中，作交的延长线于．利用相似三角形的性质求出，即可解决问题．
【详解】（1）四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：；
（2）结论：k．理由如下：
如图（2）中，过作于，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
；
（3）如图（3）中，过作交的延长线于，
，
设，则，，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：(，
解得：k=1或舍去)，
，，
：：，
，
，，
，
，，
，
，
，
即，
解得：，，
，
．
【点睛】本题考查了特殊的平行四边形正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
23．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）由题意可得∠DAC=∠ACE，∠AFD=∠AEC，即可证△ADF∽△CAE；
（2）由勾股定理可求AC=10，由△ADF∽△CAE可得，即可求EC的长度，即可求BC的长度.
【详解】证明：（1）∵AD∥BC,
∴∠DAC＝∠ACE,
∵∠DFC＝∠AEB,
∴∠AFD＝∠AEC且∠DAC＝∠ACE,
∴△ADF∽△CAE;
（2）∵AD＝8，DC＝6，∠ADC＝90°,
∴AC＝＝10,
∵点F是AC中点,
∴AF＝5
∵△ADF∽△CAE,
∴,
即,
∴CE＝,
∵点E是BC中点,
∴BC＝2CE＝.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）（答案不唯一，或）；（3）．理由见解析；（4）．
【分析】（1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质证明、、三点共线，即可；
（2）根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，问题得解；
（3）根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质易得，然后证明，利用相似三角形的性质可得结论；
（4）根据等腰三角形的性质可证，然后推出，再证明，利用相似三角形的性质可得结论.
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴、、三点共线，，
∴四边形是矩形；
（2）解：（答案不唯一，或）；
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：．
理由：∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（4）解：∵与是等腰三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了正方形，平行四边形的性质，矩形的性质和判定，等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
C
C
C
D
C
B
D
题号
11
12








答案
C
A