河北省承德双桥卉原中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份河北省承德双桥卉原中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“”的否定是.
故选：C.
2. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
3. 已知函数为幂函数，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数解析式的特征列方程求解即可.
【详解】由幂函数定义得，解得.
故选：D
4. 已知，若，则（ ）
A. 2B. C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的解析式可知其在，上分别单调递增，从而得到的取值范围，再由题设条件得到关于的方程求得的值，进而求得即可得解.
【详解】作出函数的图象，在，上分别单调递增，

由，
因为当时，不存在满足条件的a，
所以，即，此时，，
所以，即，解得或（不满足，舍去）
此时满足题意，则，
故选：B.
5. 若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得是上的增函数，则函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】因为对任意实数，都有成立，所以是上的增函数，
则，解得，即实数的取值范围是.
故选：D.
6. 设集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合必要不充分的定义即可判断.
【详解】，则，
所以，解得，故充分性不满足，
时，，，
所以，必要性满足，
故“”是“”必要不充分条件.
故选：.
7. 已知函数是偶函数，，且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知函数关于直线对称且在上为单调递减函数，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.
【详解】因为函数是偶函数，即f1+x=f1−x，
可知函数的图象关于直线对称，则，
又因为，且时，恒成立，
可知函数在上为单调递减函数，
可得，即，所以.
故选：B.
8. 若，且恒成立，则实数取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】由基本不等式求得最小值，再由一元二次不等式求解即可.
【详解】不等式恒成立，即，
，
等号成立的条件是，即，与条件联立，解得，
所以的最小值是8，即，解得．
故选：A
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意得，根据相等集合和子集的定义即可判断.
【详解】由题意得，，
则且，可得A，C，D正确.
故选：ACD.
10. 已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据不等式的性质分析判断即可.
【详解】因为，
对于选项AC：例如，则，故A错误；
且，即，故C错误；
对于选项B：因为，即，
且，可得，故B正确；
对于选项D：因为，即，
且，可得，
又因为，所以，故D正确；
故选：BD.
11. 已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 是奇函数
C. 是偶函数D. 是偶函数
【答案】BD
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义来进行判断即可.
【详解】因为两个函数的定义域都是，所以下列函数的定义域都关于原点对称，
对于A选项，因为且，
所以既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
对于B选项，因为，所以是奇函数，故B正确；
对于C选项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，故C错误；
对于D选项，因为，所以是偶函数，故D正确.
故选：BD.
三、填空题（本大题共3小题，共15分
12. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】求出二次函数的单调递增区间，再利用集合的包含关系列式求解.
【详解】函数的单调递增区间是，
而函数在上单调递增，则，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
13. 某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是___.
【答案】200
【解析】
【分析】根据题意，列出分段函数，分段求最值，即可得到结论．
【详解】解：由题意，
时，，
时，；
时，，
天时，总利润最大为10000元
故答案为：200．
【点睛】本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．
14. 已知是奇函数，且在0,+∞上是增函数，又，则的解集为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据单调性和奇偶性分析的符号，分或两种情况解不等式即可.
【详解】因为在0,+∞上是增函数，且，
可知：当时，；当x∈2,+∞时，；
又因为是奇函数，可知：
当时，；
当时，；
当时，；
对于不等式，等价于或，
可得或，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用集合的交、并、补运算求集合；
（2）由题设，讨论、分别求参数范围，最后取并集.
【小问1详解】
由题设，则，
或，则.
【小问2详解】
由，
若时，，满足；
若时，；
综上，.
16. 已知幂函数的图象过点.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）设函数，判断的奇偶性.
【答案】（1）
（2）
（3）为奇函数.
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的知识求得的解析式，进而求得.
（2）根据函数的单调性来求得最大值.
（3）根据函数的奇偶性的定义进行判断.
【小问1详解】
设幂函数，因为的图象过点，
所以，得.所以.所以.
【小问2详解】
因为，
所以在区间上单调递增.
所以在区间上的最大值为.
【小问3详解】
因为函数，
所以.
因为的定义域为，
所以.
所以为奇函数.
17. 已知关于的一元二次方程.
（1）当时，设方程的两个实根分别为，求代数式的值；
（2）若该方程有两个异号实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用韦达定理求出，代入即可；
（2）利用韦达定理，满足两根之积小于零即可.
【小问1详解】
当时，由韦达定理可得方程的两个实根满足，，
所以.
【小问2详解】
若方程有两个异号实根，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
18. 二次函数满足对任意的，恒成立．
（1）求证：为定值；
（2）若，求二次函数的表达式；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）取，代入恒成立的不等式即可.
（2）由已知求出，结合（1）及一元二次不等式恒成立求出，再验证即可得解.
（3）由（1）求得，再利用恒成立的不等式，结合一元二次方程有等根求得即可求出范围.
【小问1详解】
对任意的，恒成立，则，
所以，为定值.
【小问2详解】
由（1）知，，由，得，则，
，不等式，
依题意，一元二次不等式恒成立，则，
解得，此时，恒成立，
所以.
【小问3详解】
由（1）知，，，
不等式，
依题意，一元二次不等式恒成立，
则，且方程有相等的实数根，因此，
不等式，
同理，且方程有相等实数根，因此，
从而，，
所以的取值范围是.
19. 若函数在定义域上满足，且时，，定义域为的为偶函数.
（1）求证：（i）函数为奇函数；
（ii）函数在定义域上单调递增；
（2）若在区间上；在上的图象关于点对称.求函数和函数在区间上的解析式.
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
（2）,；
【解析】
【分析】（1）（i）通过赋值，利用奇函数定义易证；（ii）利用题设条件，结合函数单调性定义即可证得；
（2）先由函数和的奇偶性，列出方程组，即可求得和在上的解析式，再根据题设条件求出两函数在区间上的解析式.
【小问1详解】
（i）对于，，令，可得，
再令，可得，即f−x=−fx，
故函数为奇函数.
（ii）任取，且，则，，
由
，
可得，
故函数在定义域上单调递增.
【小问2详解】
因是定义在上的偶函数，则时，.
由时，①，
可得②，
由，可得，即得：；
由，可得，即得：；
因时，，则当时，，
由可得；
当时，，故.
综上，可知当时，都有.
又因时，，且在上的图象关于点对称，
则当时，，；
又是定义在上的偶函数，
故时，，.
综上，可知当时，