河南省焦作市普通高中2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题

这是一份河南省焦作市普通高中2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知某校高三有900名学生，为了解该年级学生的健康情况，从中随机抽取100人进行调查，抽取的100人中有55名男生和45名女生，则样本容量是（ ）
A．45B．55C．100D．900
4．数据2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的分位数为（ ）
A．6B．7C．8D．7.5
5．声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．，，，，，是半径为1的圆的六等分点，从中任选2点连接起来，则所得线段长度小于2的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知一组数据，由生成一组新数据，，…，，则（ ）
A．新数据的平均数一定比原数据的平均数大
B．新数据的中位数一定比原数据的中位数大
C．新数据的标准差一定比原数据的标准差大
D．新数据的极差一定比原数据的极差大
10．已知为实数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（ ）
A．“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件
B．“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件
C．“摸出的球颜色相同”的概率为
D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立
12．已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在上具有单调性
三、填空题
13．样本数据1，2，3，3，6的方差 .
14．已知且，则 .
15．小王计划下周一、周二、周三去北京出差，查天气预报得知北京这三天下雨的概率分别为0.8，0.5，0.6，假设每天是否下雨相互独立，则北京这3天至少有一天不下雨的概率为 .
16．已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为 .
四、解答题
17．已知集合，.
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知函数且的图象过坐标原点.
(1)求的值；
(2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值.
19．某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照，，…，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率.
20．已知函数.
(1)设函数，实数满足，求；
(2)若在时恒成立，求的取值范围.
21．甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一次.甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设甲、乙的射击相互独立.
(1)求在一轮比赛中，两人均击中目标的概率；
(2)求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率；
(3)若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就结束，且乙比甲多击中目标1次的概率.
22．已知函数且的图象过点.
(1)求不等式的解集；
(2)已知，若存在，使得不等式对任意恒成立，求的最小值.
参考答案：
1．B
2．B
3．C
4．D
5．B
6．C
7．D
8．A
9．CD
10．AC
11．ABC
12．ABC
13．/
14．9
15．0.76/
16．/0.5
17．(1)或
(2)
【分析】
（1）解出集合后，结合集合的运算性质运算即可得；
（2）由可得，结合子集性质计算即可得.
【详解】（1）由，解得，
所以，
所以或；
（2）由，得，
于是，
解得，
所以的取值范围为.
18．(1)
(2)或3
【分析】（1）利用的图象过坐标原点得到关于的方程，解之即可得解；
（2）利用指数函数的单调性，分类讨论的取值范围，从而得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】（1）因为的图象过坐标原点，
所以，解得.
（2）若，则在上单调递减，
所以，所以，即，
解得或（舍去）；
若，则在上单调递增，
所以，所以，即，
解得或（舍去）；
综上，的值为或3.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用频率之和为1，列式求解，利用平均数的计算公式求解即可；
（2）根据分层抽样确定第六组和第七组分别抽取的人数，利用古典概型的概率公式计算.
【详解】（1），解得，
这次竞赛成绩平均数的估计值为.
（2）不低于85分的三组频率之比为，用分层随机抽样的方法抽取12人，应从第六组和第七组分别抽取4人和2人，
设第六组的4人为，，，，第七组的2人为甲、乙，
于是从这6人中任选2人的所有情况为：甲乙，甲，甲，甲，甲，乙，乙，乙，乙，，，，，，，共15种，
其中甲、乙至少有1人被选中的有9种，
所以至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率为.
20．(1)0
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性进行求解；
（2）分类讨论，分别求出在上的最小值，从而得出结论，注意利用勾形函数的性质得出单调性．
【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，
且，
则是上的奇函数，从而，
因为，所以，得，
所以.
（2）若，则在上单调递增，
因为在时恒成立，所以，解得，所以.
若，由可得，当且仅当，即时等号成立，
则在上单调递减，在上单调递增.
若，则，解得，与矛盾；
若，则，解得，所以.
综上所述，的取值范围是.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解；
（2）根据题意，分为甲击中2次，乙击中1次和甲击中1次，乙击中2次，两种情况，分别求得相应的概率，结合互斥事件的概率公式，即可求解；
（3）根据题意，分为乙击中3次，甲击中2次和乙击中2次，甲击中1次，结合概率的乘法公式，即可求解.
【详解】（1）根据相互独立事件的概率公式，可得两人均击中目标的概率为.
（2）甲击中2次，乙击中1次的概率为，
甲击中1次，乙击中2次的概率为，
故在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率为.
（3）由题意知，第三轮和第四轮甲均未击中目标，乙均击中目标，
若乙击中3次，甲击中2次，则前两轮乙击中1次，甲击中2次，概率为，
若乙击中2次，甲击中1次，则前两轮甲击中1次，乙均未击中，概率为
，
故所求概率为.
22．(1)；
(2)6.
【分析】（1）根据给定条件，求出值及函数，再解对数不等式即得.
（2）利用函数的单调性脱去法则并变形，转化为一元二次不等式恒成立求解即得.
【详解】（1）依题意，，解得，则，
，
不等式，即，解得，
则有，即，
所以原不等式的解集为.
（2）当时，，又在上单调递增，
则当时，不等式恒成立，等价于恒成立，
即恒成立，当时，，得，
设函数，其图象开口向上，对称轴方程为，
而，即，
又对任意恒成立，则，
于是在上的最小值为，
原问题转化为：存在，使得，即，
由于，则，要使成立，只需，
解得，又，所以的最小值为6.
【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则.