2023-2024学年河南省焦作市普通高中高一上学期1月期末考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省焦作市普通高中高一上学期1月期末考试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={1,3,5,7},B={x∣3≤x<6}，则A∩B=( )
A. 1,3B. 3,5C. 5,7D. 1,7
2.已知命题p:∀x>0,lnx−x<0，则¬p为
( )
A. ∀x>0,lnx−x≥0B. ∃x>0,lnx−x≥0
C. ∀x≤0,lnx−x<0D. ∃x>0,lnx−x<0
3.已知某校高三有900名学生，为了解该年级学生的健康情况，从中随机抽取100人进行调查，抽取的100人中有55名男生和45名女生，则样本容量是( )
A. 45B. 55C. 100D. 900
4.数据2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的60%分位数为
( )
A. 6B. 7C. 8D. 7.5
5.声音的强弱通常用声强级DdB和声强IW/m2来描述，二者的数量关系为D=mlgI+n(m,n为常数).一般人能感觉到的最低声强为10−12W/m2，此时声强级为0dB；能忍受的最高声强为1W/m2，此时声强级为120dB.若某人说话声音的声强级为40dB，则他说话声音的声强为
( )
A. 10−6W/m2B. 10−8W/m2C. 10−9W/m2D. 10−10W/m2
6.已知函数fx=lg3x2−2kx+5在区间1,2上单调递减，则实数k的取值范围是
( )
A. −∞,94B. −94,2C. 2,94D. 2,+∞
7.已知函数fx=1ex+1−12，则关于t的不等式flnt+2fln1t>0的解集为
( )
A. 0,+∞B. 0,12C. 0,1D. 1,+∞
8.A，B，C，D，E，F是半径为1的圆的六等分点，从中任选2点连接起来，则所得线段长度小于2的概率是
( )
A. 45B. 35C. 25D. 15
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据x1,x2,⋯,xnx1( )
A. 新数据的平均数一定比原数据的平均数大B. 新数据的中位数一定比原数据的中位数大
C. 新数据的标准差一定比原数据的标准差大D. 新数据的极差一定比原数据的极差大
10.已知x,y,z为实数，则下列结论中正确的是
( )
A. 若xz2>yz2，则x>yB. 若x>y，则xz2>yz2
C. 若x>y>0,z<0，则zx>zyD. 若z>y>x，则1z−x>1z−y
11.一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则( )
A. “摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件
B. “至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件
C. “摸出的 球颜色相同”的概率为25
D. “摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立
12.已知函数fx的定义域为R，fx+y=fxey+fyex，且f1=1，则
( )
A. f0=0B. f−1=−e2
C. exfx为奇函数D. fx在0,+∞上具有单调性
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.样本数据1，2，3，3，6的方差s2= ．
14.已知a>1且alg3a=81，则a= ．
15.小王计划下周一、周二、周三去北京出差，查天气预报得知北京这三天下雨的概率分别为0.8，0.5，0.6，假设每天是否下雨相互独立，则北京这3天至少有一天不下雨的概率为 ．
16.已知函数fx=3 4−x−a13x,x≤0,−lg9x,x>0,若fx的图象上存在关于直线y=x对称的两个点，则a的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x∣m(1)求∁RB；
(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数fx=ax+b(a>0且a≠1)的图象过坐标原点．
(1)求b的值；
(2)设fx在区间−1,1上的最大值为m，最小值为n，若m+3n=0，求a的值．
19.(本小题12分)
某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩(单位：分)按照[45,55),[55,65)，…，[105,115]分成七组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求这次竞赛成绩平均数的估计值；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率．
20.(本小题12分)
已知函数fx=x+ax,a∈R．
(1)设函数gx=fx−4，实数b满足gb=−8，求g−b；
(2)若fx≥a在x∈4,+∞时恒成立，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一次.甲每次击中目标的概率为23，乙每次击中目标的概率为34，假设甲、乙的射击相互独立．
(1)求在一轮比赛中，两人均击中目标的概率；
(2)求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率；
(3)若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就结束，且乙比甲多击中目标1次的概率．
22.(本小题12分)
已知函数fx=lgax+1(a>0且a≠1)的图象过点(−12,−1)．
(1)求不等式f(2x+3)f(x2)<3的解集；
(2)已知m∈N∗，若存在k∈0,2，使得不等式f(|kx2−1x−1|)答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据交集的定义求解．
【详解】由已知A∩B={3,5}，
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】由量词命题的否定判断即可．
【详解】特称命题的否定是全称命题，
¬p是：∃x>0,lnx−x≥0，
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据样本容量的定义得到答案．
【详解】因为抽取100人进行调查，所以样本容量是100．
故选：C
4.【答案】D
【解析】【分析】根据百分位数的定义进行求解．
【详解】10×60%=6，从小到大第6个数据为7，第7个数据为8，
故60%分位数为7+82=7.5．
故选：D
5.【答案】B
【解析】【分析】由题意可计算出m、n，而后代入D=40计算即可得．
【详解】由题意可得0=mlg10−12+n120=mlg1+n，故m=10n=120,
则当D=40时，有40=10lgI+120，
解得I=10−8．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据对数函数的性质求解．
【详解】由题意k≥24−4k+5>0，解得2≤k<94．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】【分析】结合函数性质可将flnt+2fln1t>0转化为fln1t>f0，由函数单调性计算即可得．
【详解】f−x=1e−x+1−12=exex+1−12，
则f−x+fx=exex+1−12+1ex+1−12=1−1=0，
由lnt+ln1t=lnt−lnt=0，故flnt+fln1t=0，
故flnt+2fln1t=fln1t，
又fx=1ex+1−12，y=ex+1随x增大而增大，
故fx在R上单调递减，又f0=12−12=0，
故flnt+2fln1t>0可转化为fln1t>f0，
则有ln1t<0，即0<1t<1，即t>1，故t∈1,+∞．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】【分析】根据圆内接正六边形的性质，结合古典概型运算公式进行求解即可．
【详解】任意连接6个点中的2个可得到15条线段，
其中长度为2的线段有AD，BE，CF，共3条，其余线段长度为1或 3，
所以所得线段长度小于2的概率为P=1−315=45．
9.【答案】CD
【解析】【分析】AB选项，可举出反例；CD选项，得到新数据的标准差和极差都是原数据的2倍，且这两个量都大于0，从而CD正确．
【详解】对于A，设x1,x2,⋯,xn的平均数为x，即x1+x2+⋯+xn=nx，
则新数据y1，y2，…，yn的平均数为2x1+1+2x2+1+⋯+2xn+1n=2x+1，
故y=2x+1，
当x≤−1时，2x+1≤x，故 A错误，
对于B，设x1,x2,⋯,xn的 中位数为m，由于y=2x+1单调递增，
则新数据y1，y2，…，yn的中位数为2m+1，
当m≤−1时，2m+1≤m，故 B错误；
对于C，设x1,x2,⋯,xn的标准差为s，则s2=x1−x2+x2−x2+⋯+xn−x2n，
故新数据y1，y2，…，yn的平均数y=2x+1，
故新数据的方差为2x1+1−2x−12+2x2+1−2x−12+⋯+2xn+1−2x−12n=4s2，
故新数据的标准差为2s，
由于s>0，故2s>s， C正确；
对于D，设x1,x2,⋯,xn的极差为t，由于y=2x+1单调递增，
故新数据极差为2t，由于t>0，故新数据的极差比原数据的大， D正确．
故选：CD
10.【答案】AC
【解析】【分析】选项AC，可由不等式的性质证明；选项BD，用特值排除法可得
【详解】选项A，因为z2≥0，若xz2>yz2，
当z2=0时，xz2=yz2=0，不满足条件xz2>yz2，
所以z2>0，故xz2>yz2⇒x>y，即 A正确；
选项B，当z2=0时，若x>y，有xz2=yz2=0，
不满足条件xz2>yz2，故 B错误；
选项C，若x>y>0，则由不等式的 性质有1x<1y，又z<0，则zx>zy，故 C正确；
选项D，当z=5,y=3,x=2，则1z−x=13,1z−y=12，1z−x<1z−y，
不满足1z−x>1z−y，故 D错误．
故选：AC．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】对于A和B利用互斥事件和对立事件的概念判断即可，对于C利用古典概型计算公式计算即可，对于D需要判断是否满足独立性事件同时发生的条件，即是否满足P(MN)=P(M)P(N)．
【详解】2个红球为A,B，3个白球为a,b,c，则任意摸出2个球有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc，共10种，
“摸到2个红球”有AB，“摸到2个白球”有ab,ac,bc，“至少摸到1个红球”有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc，
“摸出的球颜色相同”有AB,ab,ac,bc，“摸出的球中有白球”有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc，“摸出的球颜色不相同”有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc，
A：“摸到2个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确；
B：“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，且必有一个发生，故是对立事件，故B正确；
C：给每个球编号，不同的摸球结果有10种，“摸出的球颜色相同”包含4种结果，故其概率为25，故 C正确；
D：设M=“摸出的球中有红球”，N=“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法计算可知
P(M)=710，P(N)=910，P(MN)=35，显然P(MN)≠P(M)P(N)，故M，N不相互独立，故 D错误．
故选：ABC
12.【答案】ABC
【解析】【分析】运用赋值法结合函数性质逐个判断即可得．
【详解】对A：令x=y=0，则有f0=f0e0+f0e0，即f0=0，故 A正确；
对B：x=1、y=−1，则有f1−1=f1e−1+f−1e1，即f0=ef1+f−1e，
由f0=0、f1=1，故0=e+f−1e，即f−1=−e2，故 B正确；
对C：令y=−x，则有fx−x=fxe−x+f−xex，即f0=exfx+e−xf−x，
即exfx=−e−xf−x，又函数fx的定义域为R，则函数exfx的定义域为R，
故函数exfx为奇函数，故 C正确；
对D：令y=x，则有fx+x=fxex+fxex，即f2x=2fxex，
即有f2xfx=2ex，则当x=ln2时，有f2ln2fln2=2eln2=1，即f2ln2=fln2，
故fx在0,+∞上不具有单调性，故 D错误．
故选：ABC．
13.【答案】145 或2.8
【解析】【分析】根据方差的定义求解即可．
【详解】因为x=1+2+3+3+65=3，
所以s2=(3−1)2+(3−2)2+3−32+3−32+6−325=145．
故答案为：145
14.【答案】9
【解析】【分析】结合对数运算性质计算即可得．
【详解】由alg3a=81，则lg3a=lga81=4lga3=4lg3a，
即有lg3a2=4，故lg3a=±2，则a=9或a=19，
又a>1，故a=9．
故答案为：9．
15.【答案】0.76或3850
【解析】【分析】根据对立事件的概率求法以及独立事件概率乘法公式运算求解．
【详解】北京这3天至少有一天不下雨的概率为1−0.8×0.5×0.6=0.76．
故答案为：0.76．
16.【答案】12 或0.5
【解析】【分析】由y=−lg9x与y=(19)x的图象关于直线y=x对称，得出函数y=(19)x与y=3 4−x−a(13)x的图象在x≤0时有交点，a=3x+1 4−x−(13)x在x≤0时有解，令g(x)=3x+1 4−x−(13)x(x≤0)，由单调性求出g(x)的范围或最大值即可得．
【详解】y=−lg9x与y=(19)x的图象关于直线y=x对称，因此函数y=f(x)的图象上存在关于直线y=x的对称点，
则函数y=(19)x与y=3 4−x−a(13)x的图象在x≤0时有交点，
即3 4−x−a(13)x=(19)x在x≤0时有解，a=3x+1 4−x−(13)x在x≤0时有解，
令g(x)=3x+1 4−x−(13)x(x≤0)，设x1(13)x2，
0<3x1+1<3x2+1， 4−x1> 4−x2>0，∴3x1+1 4−x1<3x2+1 4−x2，
从而3x1+1 4−x1−(13)x1<3x2+1 4−x2−(13)x2，∴g(x)在(−∞,0]上是增函数，
由题意g(x)≤g(0)=32−1=12，所以a的最大值是12．
故答案为：12．
【点睛】方法点睛：两个函数的图象关于直线y=x对称，则它们互为反函数，而函数图象上存在两个点关于直线y=x对称可以转化为反函数(需有反函数的部分)的图象与函数图象(函数的另一部分)有公共点，从而转化为方程有解．
17.【答案】解：(1)由x2−9x+18≤0，解得3≤x≤6，
所以B=x∣3≤x≤6，
所以∁RB={x∣x<3或x>6}；
(2)由A∪B=A，得B⊆A，
于是m<3m+7>6,
解得−1所以m的取值范围为−1,3．

【解析】(1)解出集合B后，结合集合的运算性质运算即可得；
(2)由A∪B=A可得B⊆A，结合子集性质计算即可得．
18.【答案】解：(1)因为fx=ax+b的图象过坐标原点，
所以f0=1+b=0，解得b=−1．
(2)若0所以m=f−1,n=f1，所以f−1+3f1=0，即1a−1+3a−1=0，
解得a=13或a=1(舍去)；
若a>1，则fx=ax−1在−1,1上单调递增，
所以m=f1,n=f−1，所以f1+3f−1=0，即a−1+31a−1=0，
解得a=3或a=1(舍去)；
综上，a的值为13或3．

【解析】(1)利用fx的图象过坐标原点得到关于b的方程，解之即可得解；
(2)利用指数函数的单调性，分类讨论a的取值范围，从而得到关于a的方程，解之即可得解．
19.【答案】解：(1)(a+0.008+2a+0.012+0.015+4a+0.03)×10=70a+0.65=1，解得a=0.005，
(2)这次竞赛成绩平均数的 估计值为x=50×0.05+60×0.08+70×0.12+80×0.15+90×0.3+100×0.2+110×0.1=85.7．
不低于85分的三组频率之比为3:2:1，用分层随机抽样的方法抽取12人，应从第六组和第七组分别抽取4人和2人，
设第六组的4人为A，B，C，D，第七组的2人为甲、乙，
于是从这6人中任选2人的所有情况为：甲乙，甲A，甲B，甲C，甲D，乙A，乙B，乙C，乙D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，共15种，
其中甲、乙至少有1人被选中的有9种，
所以至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率为915=35．

【解析】(1)利用频率之和为1，列式求解a，利用平均数的计算公式求解即可；
(2)根据分层抽样确定第六组和第七组分别抽取的人数，利用古典概型的概率公式计算．
20.【答案】解：(1)因为fx的定义域为−∞,0∪0,+∞，关于原点对称，
且f−x=−x+a−x=−x+ax=−fx，
则fx是R上的奇函数，从而f−b=−fb，
因为gx=fx−4，所以gb=fb−4=−8，得fb=−4，
所以g−b=f−b−4=−fb−4=0．
(2)若a≤0，则fx=x+ax在4,+∞上单调递增，
因为fx≥a在x∈4,+∞时恒成立，所以f(x)min=f4=4+a4≥a，解得a≤163，所以a≤0．
若a>0，由x>0可得fx=x+ax≥2 a，当且仅当x=ax，即x= a时等号成立，
则fx在0, a上单调递减，在 a,+∞上单调递增．
若a>16，则f(x)min=f a=2 a≥a，解得016矛盾；
若0综上所述，a的取值范围是−∞,163．

【解析】(1)根据函数的 奇偶性进行求解；
(2)分类讨论，分别求出f(x)在[4,+∞)上的最小值，从而得出结论，注意利用勾形函数的性质得出单调性．
21.【答案】解：(1)根据相互独立事件的概率公式，可得两人均击中目标的概率为23×34=12．
(2)甲击中2次，乙击中1次的概率为232×2×34×14=16，
甲击中1次，乙击中2次的概率为2×23×13×342=14，
故在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率为16+14=512．
(3)由题意知，第三轮和第四轮甲均未击中目标，乙均击中目标，
若乙击中3次，甲击中2次，则前两轮乙击中1次，甲击中2次，概率为2×14×343×232×132=196，
若乙击中2次，甲击中1次，则前两轮甲击中1次，乙均未击中，概率为
2×23×133×342×142=1576，
故所求概率为196+1576=7576．

【解析】(1)根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解；
(2)根据题意，分为甲击中2次，乙击中1次和甲击中1次，乙击中2次，两种情况，分别求得相应的概率，结合互斥事件的概率公式，即可求解；
(3)根据题意，分为乙击中3次，甲击中2次和乙击中2次，甲击中1次，结合概率的乘法公式，即可求解．
22.【答案】解：(1)依题意，f(−12)=lga12=−1，解得a=2，则f(x)=lg2(x+1)，
f(2x+3)f(x2)=lg2(2x+4)lg2x+22=[lg2(x+2)+1][lg2(x+2)−1]=[lg2(x+2)]2−1，
不等式f(2x+3)f(x2)<3，即[lg2(x+2)]2−4<0，解得−2则有14所以原不等式的解集为(−74,2)．
(2)当k∈(0,2),x∈[m,8]时，|kx2−1x−1|≥0,2−kx>0，又f(x)在[0,+∞)上单调递增，
则当x∈[m,8]时，不等式f(|kx2−1x−1|)即k−2设函数g(x)=k2x2−x−1，其图象开口向上，对称轴方程为x=1k∈(3,317)，
而g(1k)−(k−2)=1−k−12k≤1−2 k⋅12k=1− 2<0，即g(1k)又k−2于是g(x)在[m,8]上的最小值为g(m)=k2m2−m−1，
原问题转化为：存在k∈(731,13)，使得g(m)>k−2，即(m22−1)k−m+1>0，
由于m>1k>3，则m22−1>0，要使(m22−1)k−m+1>0成立，只需(m22−1)⋅13−m+1>0，
解得m>3+ 5，又m∈N∗，所以m的最小值为6．

【解析】(1)根据给定条件，求出a值及函数f(x)，再解对数不等式即得．
(2)利用函数f(x)的单调性脱去法则并变形，转化为一元二次不等式恒成立求解即得．
【点睛】结论点睛：函数y=fx的定义区间为D，①若∀x∈D，总有mf(x)成立，则m>f(x)max；③若∃x∈D，使得mf(x)成立，则m>f(x)min．