2022-2023学年河南省焦作市普通高中高二下学期开学诊断考试数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省焦作市普通高中高二下学期开学诊断考试数学试题

一、单选题

1．已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算求得，确定复数对应的点的坐标，即可求得答案.

【详解】，

故复数z在复平面内所对应的点位于第二象限,

故选：B

2．若双曲线的焦距为4，则（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】D

【分析】根据双曲线的性质求解即可.

【详解】由题可知，即，

又，所以，，且，

所以双曲线的焦点在轴上，

所以，所以．

故选：D.

3．已知在长方体中，，则（    ）

A．3 B．2 C．1 D．

【答案】C

【分析】利用空间向量的运算法则即可求解.

【详解】依题知，，

∴，

∴．

故选：C.

4．已知变量y与x线性相关，且变量x，y之间有如下对应数据：

若回归方程为，则a的值为（    ）A．3.4 B．6.2 C．7.5 D．8.6

【答案】A

【分析】利用回归方程过定点，可得答案.

【详解】因为，因回归方程过定点，将其代入，得，解得．

故选：A

5．已知函数的图象经过点，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数、指数的运算性质，以0与1为“桥梁”比较大小即可.

【详解】∵的图象经过点，

∴，则，，，

∴．

故选：C

6．已知点A是抛物线上的点，点，则的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】设为抛物线上一点，由两点间距离公式及二次函数求最值即可.

【详解】设，则，则，

所以当时，取得最小值．

故选：A

7．已知直线，点和到直线l的距离分别为且，则直线l的方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】∵点到直线l的距离为，

点到直线l的距离为，而，

∴，可得，解得或，

故直线l的方程为或．

故选：C

8．某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布，且，则（    ）

A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.09

【答案】D

【分析】先计算，再结合计算即可.

【详解】∵，∴，

∴．

故选：D.

9．已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可求出，根据全概率公式直接求解即可.

【详解】由题意知，，

所以

.

故选:B.

10．某社区组织体检活动，项目有抽血、彩超、胸透、尿检四项，共有5名医护人员执行任务，每个项目至少需要1名医护人员，且每个医护人员只参与一个项目．其中有3名医护人员四个项目都能胜任，有2名医护人员既不会彩超也不会胸透，其他两个项目都能胜任，则这5名医护人员的不同安排方案有（    ）

A．36种 B．48种 C．52种 D．64种

【答案】B

【分析】安排方案有两种：第一种，先从四个项目都能胜任的3人中选2人安排1人做彩超，1人做胸透，再将再将余下的3人安排到剩下的2个岗位上；

第二种，安排四个项目都能胜任的3人中的2人做彩超、胸透，再安排既不会彩超也不会胸透的2名医护人员做抽血、尿检.

【详解】分两种情况：第一种，先从四个项目都能胜任的3人中选2人安排1人做彩超，1人做胸透，有种方案，再将余下的3人安排到剩下的2个岗位上，有种方案，故共有种方案；

第二种，安排四个项目都能胜任的3人中的2人做彩超、胸透，有种方案，再安排既不会彩超也不会胸透的2名医护人员做抽血、尿检，有种方案，故共有种方案．

则这5名医护人员的不同安排方案有种．

故选：B

11．把函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再把图象向右平移2个单位长度,此时图象对应的函数为,则（    ）

A． B． C．0 D．

【答案】C

【分析】先根据图象变换得到解析式,进而得到最小正周期为8,先求出的值,则,代入即可.

【详解】解:由题知,函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍,

可得的图象,再把图象向右平移2个单位长度,

可得,

即的图象,故最小正周期,

,

则

,

.

故选:C

12．甲乙两人玩闯关游戏,该游戏一共要闯三关,每个人每一关能否闯关成功是相互独立的,甲第一,第二,第三关闯关成功的概率分别是,乙第一,第二,第三关闯关成功的概率都是.规定每一关闯关成功记1分,未闯关成功记0分,用表示甲在闯关游戏中的得分,用表示乙在闯关游戏中的得分,则在“”的条件下,“”的概率为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设事件为“”,事件为“”,则,,先利用已知条件分别求出,，，，，，再利用条件概率公式求解即可得到结果.

【详解】设事件为“”,事件为“”,

所以,

又,,

,

所以,

所以.

故选:D.

二、填空题

13．已知圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积为___________．

【答案】

【分析】先计算底面圆的周长，再计算母线长，即可计算圆锥的侧面积.

【详解】设圆锥的母线长为l，底面圆的周长为C，则，

∴，

于是圆锥的侧面积为．

故答案为：.

14．的展开式中的系数为______________．

【答案】24

【分析】的展开式中来自于三类:①中的二次项与的常数项的乘积;②中的常数项与的二次项的乘积;③中的一次项与的一次项的乘积.

【详解】展开式中项为，

∴的系数为24．

故答案为:24

15．某中学统计了一个班40名学生中每一个学生的英语成绩与语文成绩，并制成了一个不完整的列联表如下：

则____________（填“有”或“没有”）的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】有

【分析】先将列联表填写完整，再计算进行判断.

【详解】由题意可得列联表如下：

则，

因此有的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关．

故答案为：有.

16．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线C右支上位于第一象限的一点，，则双曲线C的离心率为______________．

【答案】

【分析】由题意可得为等腰三角形，设的中点为E，则，根据双曲线的定义结合直角三角形可求解.

【详解】设双曲线的半焦距为,

∵，∴为等腰三角形．

设的中点为E，连接，则．

由双曲线定义可得，

∴，∴．

又，∴，解得．

故答案为：.

三、解答题

17．已知直线被圆截得的弦长为．

(1)求圆C的方程；

(2)若直线l的方程为，试确定直线l与圆C的位置关系．

【答案】(1)；

(2)相交.

【分析】（1）根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式进行求解即可；

（2）根据直线方程的特征求出直线l所过的定点，结合该点到圆心的距离与圆半径大小关系进行求解即可.

【详解】（1）由题可得圆的圆心C的坐标为，半径为．

∵圆心C到直线的距离为，

直线被圆C截得的弦长为，

∴，解得或1．

∵，∴，

故圆C的方程为；

（2）∵l的方程可化为，

∴

解得即l恒过定点．

∵圆心为，

∴点A在圆C内，从而直线l与圆C恒相交．

18．已知的角，，的对边分别为，，，且．

(1)求的值；

(2)若，，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式得到，再由正弦定理将边化角，最后结合诱导公式及两角和的正弦公式计算可得；

（2）由（1）求出，再由余弦定理计算可得.

【详解】（1）解：∵，

∴，

即，

由正弦定理可得，

∵，则，所以，

∴，

∴．

∵，∴．

（2）解：由（1）可知，

而，∴．

∵，，

∴由余弦定理可得，

整理得，解得或（舍去），

∴．

19．某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔．

(1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率；

(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；

(3)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）设事件“2个盲盒都是钢笔盲盒”，事件“2个盲盒都是圆珠笔盲盒”，根据古典概型的概率公式求出，，又与为互斥事件，根据和事件的概率公式计算可得；

（2）设事件“第次取到的是钢笔盲盒”，，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得；

（3）设事件“第次取到的是圆珠笔盲盒”，，求出，，，再根据全概率的概率公式计算可得.

【详解】（1）解：设事件“2个盲盒都是钢笔盲盒”，事件“2个盲盒都是圆珠笔盲盒”，则与为互斥事件，

∵，

∴2个盲盒为同一种笔的概率．

（2）解：设事件“第次取到的是钢笔盲盒”，．

∵，，

∴，

即第次、第次取到的都是钢笔盲盒的概率为．

（3）解：设事件“第次取到的是圆珠笔盲盒”，．

∵，，，

∴由全概率公式，可知第次取到的是圆珠笔盲盒的概率为

．

20．已知一个盒子里装有两种颜色的小球，其中有红球6个，黄球3个．

(1)现从中每次随机取出一个球，且每次取球后都放回盒中，求事件“连续取球三次，至少两次取到黄球”发生的概率；

(2)若从盒中一次随机取出3个小球，记取到黄球的个数为X，求随机变量X的数学期望．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先计算取到黄球的概率为，再计算连续取球三次，至少两次取到黄球的概率；

（2） X的所有可能取值为0，1，2，3，分别计算对应概率，再对应写出分布列及数学期望．

【详解】（1）由题可知，从盒子中随机取出1个球，取到黄球的概率为．

设连续从盒中取球三次，取到黄球的次数为，则，

∴．

（2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

∴X的分布列为：

∴．

21．在如图所示的几何体中，底面，底面是边长为4的正方形，其中心为P，．

(1)求三棱锥的体积；

(2)求二面角的平面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先证明平面，再以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出点F到平面的距离，再根据棱锥的体积公式计算即可；

（2）利用向量法求解即可.

【详解】（1）解：∵底面是边长为4的正方形，∴，

∵底面底面，∴，

又平面，∴平面，

又平面，∴，

以D为坐标原点，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

∴，

设平面的法向量为，

则，可取．

设点F到平面的距离为，

则，

∵，∴，

∴，

∴三棱锥的体积；

（2）解：设平面的法向量为，

则，可取，

∴．

∵二面角的平面角为锐角，

∴二面角的平面角的余弦值为．

22．已知椭圆的离心率,且椭圆C的右顶点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆C的方程．

(2)若椭圆C的左、右顶点分别为,直线与椭圆C交于E,D两点,且点E的纵坐标大于0,直线与y轴分别交于两点,问:的值是否为定值？若是,请求出该定值;若不是,请说明理由．

【答案】(1)

(2)是,

【分析】(1) 椭圆C的右顶点与抛物线的焦点重合,即可求得,根据离心率即可求得,进而求得椭圆方程;

(2)设两点坐标,联立直线与椭圆方程,得,进而得到之间的关系,根据两点坐标,根据两点式求出直线方程,使即可求得,同理求得,写出,将代入化简即可求得.

【详解】（1）解:由题知,椭圆,

设椭圆的焦距为,

因为椭圆C的离心率,所以,

又椭圆C的右顶点与抛物线的焦点重合,

而抛物线的焦点为,

所以,则,

故椭圆C的方程为;

（2）由题意可知直线l的斜率不为0,

故直线l的方程可化为,

与椭圆方程联立得,

消去x,整理可得,

设,

则,

所以,

因为所以,

由题可知,且直线的斜率存在,

所以直线的方程为,

令,可得,

即,同理可得,

于是

,

故的值是定值,定值为.

【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用中的定值问题,属于难题,关于定值的问题思路有:

(1)先根据题意考虑特殊情况,斜率不存在,或斜率为零;

(2)根据特殊情况求出定值;

(3)设普通的直线方程,联立方程组;

(4)判别式大于零,韦达定理;

(5)写出所求的式子,用代换,化简即可.