湖北省十堰市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试卷（解析版）

这是一份湖北省十堰市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知是椭圆上一点，分别为的左、右焦点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知点在椭圆上，所以由椭圆的定义可得．故D正确.
故选：D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，
得．
故选：B
3. 直线与圆的公共点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 不确定
【答案】C
【解析】因为直线可化为，
所以直线过定点，
而，所以该定点在圆的内部，故直线与圆有2个公共点.故选：C.
4. 数列满足，且，则（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】A
【解析】由题意知，所以，
所以可得是周期为2的周期数列，则．故A正确.
故选：A.
5. 过点作圆的两条切线，两条切线的夹角的余弦值为，则（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】将的方程转化为，可知的半径为．
设两切点分别为，，连接，如图，
由两切线夹角的余弦值为，则夹角，且，
所以在中，即．故A正确.
故选：A.

6. 已知，点在平面内，则的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为点在平面内，
所以，得，
对于选项A，由，得无解，故选项A错误，
对于选项B，由，得无解，故选项B错误，
对于选项C，由，得无解，故选项C错误，
对于选项D, ，得，故选项D正确，
故选：D.
7. 已知是抛物线的焦点，的准线与轴的交点为，点在上，且，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，过点B作准线垂线，垂足为，则，设，
则，则．
设点到直线的距离为，则，又，则．
故选：B.
8. 若是函数两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 24
【答案】D
【解析】由题可知，，则，这三个数可适当排序后成等比数列，
则3必是等比中项，则，这三个数可适当排序后成等差数列，
则3必不是等差中项，若是等差中项，则，又，
解得，则，故，
若是等差中项，则，又，解得，
则．故．
故选：D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知等差数列的公差为，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】由题知数列为等差数列，
所以可知得，解得，
所以，故A、D正确.
故选：AD.
10. 点到直线的距离相等，则的值可能为（ ）
A. －2B. 2C. 9D. 11
【答案】BD
【解析】①若点在的同侧，则直线，
即，解得，
②若在的两侧，则经过线段的中点，
即，故选：BD.
11. 在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（ ）
A. 若为的中点，则
B. 若为的中点，则到的距离为
C. 若，则平面
D. 的周长的最小值为
【答案】BCD
【解析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
可得平面的一个法向量为．
若为的中点，则，
，，
则到的距离，A不正确，B正确．
若，则，则，
因为平面，所以平面，C正确．
将平面沿着翻折至与平面共面，
当三点共线时，周长最小，此时，
翻折前，故的周长的最小值为，D正确．
故选：BCD
12. 某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格．从第0格起跳，记跳到第格的概率为，则（ ）
A. B.
C. 数列为等差数列D.
【答案】ACD
【解析】两枚骰子的点数均为奇数的概率，
故玩家每次往前跳两格的概率为，
往前跳一格的概率为，则，A正确，B不正确．
由题可知，，
则，
故数列为常数列，也是等差数列，C正确．
又，得，
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，则，D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 向量在向量方向上的投影向量的模为______．
【答案】
【解析】向量在向量方向上的投影向量的模为
,
故答案为：.
14. 用1，2，5这三个数字组成无重复数字的三位数，则这个三位数比215大的概率为______．
【答案】
【解析】构成三位数的试验的样本空间，有6个样本点，
比215大的事件，共3个样本点，
所以所求的概率．
故答案为：
15. 已知正项等比数列的前项和为，且，则______．
【答案】160
【解析】因为为正项等比数列，所以也成等比数列，
则，解得或（舍去），
则，
解得．
故答案为：160
16. 是双曲线的左焦点，是右支上一点，过作与直线夹角为的直线，并与相交于点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】过作的垂线，垂足为，如图，
因为与的夹角为，所以，
设的右焦点为，则，
到的距离，
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立．
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线，圆．
（1）求与垂直的的直径所在直线的一般式方程；
（2）若圆与关于直线对称，求的标准方程．
解：（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4．
因为，
所以可设的一般式方程为，
将代入，解得，
故的一般式方程为．
（2）设的圆心为，由与关于直线对称，
可得，
解得
所以的标准方程为．
18. 甲、乙、丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为，其中．
（1）若，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；
（2）当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率．
解：（1）因为，
所以这三人中恰有一人答对该试题的概率．
（2）这三人都没答对该试题的概率，
当且仅当时，等号成立，
此时这三人中恰有一人答对该试题的概率，
这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，
三人至少有两人答对该试题的概率．
19. 在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）若是上两点，且线段的中点为，求．
解：（1）设，
则．
由，可得，
整理得的方程为．
（2）设，
因为线段的中点为，所以，
则，则．
所以，
则直线的方程为，显然直线经过点．
由（1）可知，是以为焦点的抛物线，所以．
20. 在等差数列中，，若数列对任意，都有，成立，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和分别为，若，求的最小值．
解：（1）设数列的公差为，由，得，
则，解得，
所以，即，
由，两式相减得，
又，得，所以，得到，
所以数列是首项为2，公比为的等比数列，
故.
（2）由，得，
所以，
所以，得，
因为，所以当时，，
当时，，故的最小值为64．
21. 在图1所示的平面多边形中，四边形为菱形，与均为等边三角形．分别将沿着，翻折，使得四点恰好重合于点，得到四棱锥．
（1）若，证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
解：（1）因为，所以为的中点．
由题可知，，
所以．
又，平面，
所以平面．
取，如图，
则．由平面，可得，则．
（2）连接，易证得平面，过点作，垂足为，
则平面．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如上图所示的空间直角坐标系．
由，得，
从而，
则，
则，
，．
设平面的一个法向量为，
则由得
令，得．
由图可知，平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，
所以，解得．
故的值为.
22. 已知是椭圆上一点．
（1）求的离心率；
（2）过点作两条互相垂直且斜率均存在的直线与交于两点，与交于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．
解：（1）由题可知，则，解得，
则，
故的离心率．
（2）为定值，且该定值是．
求解过程如下：
设方程为，
联立方程组整理得，
则，
则同理可得
因为三点共线，所以，
则，
则，即为定值，且该定值是．