江苏省南通市如东县2023-2024学年高二上学期期末学情检测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南通市如东县2023-2024学年高二上学期期末学情检测数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则的子集个数为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】由已知，共2个元素，因此其子集有4个．
故选：C．
2. 若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为直线和直线平行，
所以，解得，
所以直线：，直线：，
直线与之间的距离为.
故选：B.
3. 已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A. 36B. 54C. 64D. 108
【答案】B
【解析】由题意，解得，
所以.故选：B.
4. 设正方体的棱长为，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】建立如下图所示空间直角坐标系，以为坐标原点，
所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴.
因为正方体的边长为4，所以，，，，
，所以，，，
设平面的法向量，所以，，
即，设，所以，，即，
设点到平面的距离为，所以，
故选：D.
5. 对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意知对任意，均有成立，
所以在区间上单调递增，
由幂函数的性质知其为增函数，因为，所以，
又因为，所以，则，即，故C正确.
故选：C.
6. 为进一步在全县掀起全民健身热潮，如东县于年月日在如东小洋口旅游度假区举办大运河自行车系列赛．已知本次比赛设有个服务点，现将名志愿者分配到个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排名志愿者，共有（ ）种不同分配方式．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，分步进行分析：
先在人中选出人，安排在最后一个服务点，
则有种安排方法；
将剩下的人安排到其他个服务点，
则有种安排方法，
故共有种安排方法.
故选：B
7. 已知数列满足，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，当为奇数时，，
此时为偶数，则 ，所以，
即，
所以，
即，即.
故选：B.
8. 设拋物线焦点是,直线与抛物线相交于两点，且,线段的中点到拋物线的准线的距离为，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】设，，
过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如下所示：
则，，
因为点为线段的中点，根据梯形中位线定理可得，点到抛物线的准线的距离为，
因为，所以在中，由余弦定理得，
所以，
又因为，所以，当且仅当时，等号成立，（显然存在），
所以，则的最小值为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 为数列的前n项和，已知对任意的，，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】数列中，对任意的，，
，，AC正确；
由，知的值无法确定，则通项也无法确定，BD错误.
故选：AC
10. 已知名同学排成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 甲不站两端，共有种排法
B. 甲、乙必须相邻，共有种排法
C. 甲、乙不相邻，共有种排法
D. 甲不排左端，乙不排右端，共有种排法
【答案】AD
【解析】A选项：甲不站两端，甲有种，剩余6人全排，共有种排法，正确；
B选项：甲、乙必须相邻，甲、乙捆绑有种，作为整体和剩余5人全排，共有种排法，错误；
C选项：甲、乙不相邻，先排其他5人有种，再把甲、乙插入6个空中，共有种排法，错误；
D选项：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排减去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在左端同时乙在右端的，
共有种排法，正确.
故选：AD.
11. 在空间直角坐标系中，，则（ ）
A.
B. 点B到平面的距离是2
C. 异面直线与所成角的余弦值
D. 点O到直线的距离是
【答案】BD
【解析】因为，所以，A错误．
在空间直角坐标系中，结合A与C两点坐标可知y轴与平面垂直，所以为平面的一个法向量，则点B到平面的距离是，B正确．
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，C错误．
因为，所以，所以点O到直线的距离是．D正确．
故选：BD.
12. 已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A. 离心率的取值范围为
B. 当时，的最大值为
C. 存在点，使得
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A项：因为点在椭圆内部，
所以，得，
，故A项正确；
对于B项： ，
当在轴下方时，且，，三点共线时，有最大值，
由，得，，所以得，
所以最大值，故B项正确；

对于C项：设，若，即：，
则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，
又由A项知，得，又因为，得，
所以得，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误；
对于D项： ，
，
当且仅当时取等号，故D项正确.故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若，则abc=____.
【答案】
【解析】由平行六面体ABCD-A1B1C1D1（如下图），
可得，
又，
所以
解得，
所以．
故答案为．
14. 设双曲线C:（）的左、右焦点分别为，离心率为，是上一点，且. 若的面积为，则双曲线的方程为______.
【答案】
【解析】方法一：不妨设在双曲线左支上，，则，
∵，
∴①，且②，
又∵离心率为，∴③；
解①②③得，
则.
∴双曲线方程为.
方法二:，
又∵离心率为，
∴ ，
∴，则双曲线方程为.
故答案为：.
15. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的“曼哈顿距离”为，已知动点N在圆上，定点，则M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为______．
【答案】
【解析】由题意，不妨设，
则M，N两点的“曼哈顿距离”为，
所以，当且仅当等号成立，
即当且仅当，即，
综上所述，M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为.
故答案为：.
16. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网．如图，是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形的四条边的三等分点上,设外围第一个正方形的面积为,往里第二个正方形的面积为，……，往里第个正方形的面积为．则数列的通项公式为______．已知满足，则数列的最大项的值为______．

【答案】;
【解析】设第个正方形的边长为，
则，
且每一个正方形四个顶点都恰在它的外边最近正方形四条边的三等分点上，
所以，，
又，
所以，
即，
同理可得，
即数列是首项为，公比为的等比数列，
所以第个正方形面积为；
因为满足，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以数列的最大项为.
故答案为：；
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列满足，，且数列是等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）因为是等差数列，且数列满足，，
设数列的公差为，则，
所以，所以，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，可得，
所以
.
18. 如图，在三棱柱中，平面平面，边长为4的正方形，，．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
解：（1）因为四边形是正方形，则，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面ABC；
（2）因为，，则，所以，
以点A为原点，的正方向分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系如图，

则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
故平面的一个法向量，所以，
由图可知二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
19. 已知椭圆的左、右顶点为，点G是椭圆C的上顶点，直线与圆相切，且椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点的直线l交E于M，N两点，若，求直线l的方程．
解：（1）由以及可得：①，
因，，
则即：，
又因直线与圆相切，则，
化简得：②，
联立①②，可解得：，
所以椭圆E的方程为．
（2）设过点的直线l交E于，两点，
①当直线轴，则，，所以不满足题意；
②当直线l斜率存在，设直线方程为，
联立方程，化简得，；
因为，且，
若，则，
所以，代入；
化简得，解得，
所以直线l的方程为或．
20. 如图，在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为的中点，点在上，满足.
（1）求点到平面的距离;
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
解：（1）连接，因为，故；由面，面，故，
故两两垂直，则以为坐标原点，建立如下所示空间直角坐标系：
则，
，设，，，
因为，故可得，
解得，故，
设平面的法向量，因为
故，
令，则，故；
故点到平面的距离=.
（2）设平面的法向量，因为，
故，令，则，故；
设直线与平面所成角为，因为,
故，故.
故直线与平面所成角的余弦值为.
21. 记数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取值范围.
解：（1），
当时，，
两式相减，得，整理得，
当时，，
经检验，满足，
数列是以为首项，2为公比的等比数列，
.
（2）由（1）得，
，
，
两式相减得，
，
又对于且恒成立，即，
等价于对于且恒成立，
令，则，
则有，
所以当时，，当时，，
所以，则.
22. 已知双曲线C：（，）的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且．
（1）求C的方程．
（2）过点的直线交C于，两点，直线AP，AQ分别交y轴于点G，H，试问在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为FN的斜率为1，且，
所以，即，因为，则，
所以，由，则，
所以双曲线C的方程为；

（2）设直线AP的方程为，AQ的方程为，
则，，设存在定点，使得，
则，所以．
当PQ不垂直于x轴时，设直线PQ的方程为，
联立方程组，消去y得，
，
所以，．
因，
所以，
所以，即存在定点，使得；
当PQ垂直于x轴时，直线PQ的方程为，联立方程组，
解得，设，由，得，
所以存在定点，使得；
综上，在x轴上存在定点，使得.