江苏省南通市如东县2023-2024学年高一下学期期中学情检测数学试卷(解析版)

这是一份江苏省南通市如东县2023-2024学年高一下学期期中学情检测数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 单位向量都相等B. 任一向量与它的相反向量不相等
C. 平行向量不一定是共线向量D. 模为的向量与任意非零向量共线
【答案】D
【解析】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，
故A错误；
对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误；
对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误；
对于D：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故D正确.
故选：D．
2. 若三角形中，，，则边的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】在三角形中，，，，
由正弦定理得：，所以.
故选：C.
3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得的面积为.
故选：B.
4. 已知，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，即，
可得，由正切的倍角公式可得．
故选：D．
5. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，则，
因为三点共线，所以，解得，
则，
所以.
故选：A.
6. 已知，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，解得，
所以，
又，所以，所以.
故选：A.
7. 已知中边，若P为边BC上的动点，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】设，则，，
所以，
因为，所以，
所以.
故选：B.
8. 在中，已知，，，若，且，，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由余弦定理得，
解得，
因为，由勾股定理逆定理得⊥，
，
则，
因为，，所以，
，
在上的投影向量为，故，
令，则，
令，
因为，所以，故当时，，
当时，，，
故.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列等式成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，
，D错误.
故选：AC.
10. 下列说法中错误的为（ ）
A. 已知，且与夹角为锐角，则
B. 点O为的内心，且，则为等腰三角形；
C. 两个非零向量，若，则与共线且反向
D. 若非零向量满足，则与的夹角是
【答案】AD
【解析】对于A，， 与夹角为锐角，
所以，则，
当与同向共线时，，则当与夹角为锐角时，且，
所以，故A错误；
对于B，
，则，
所以为等腰三角形，故B正确；
对于C，，两边平方得，
所以，即，则，
所以，则与共线且反向，故C正确；
对于D，，两边平方得，
则，，，
，
，
因为，所以，故D错误.
故选：AD.
11. 已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，则（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则周长的最大值为6
D. 若的取值范围为
【答案】BC
【解析】由余弦定理得，
A选项错误；
若，则，由余弦定理，
得，所以有，B选项正确；
若，，由余弦定理得，解得，
所以，解得，当且仅当时等号成立，
则周长，所以周长的最大值为6，故C选项正确；
若，，
，
由，得，
因此的取值范围为，D选项错误.
故选：BC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
12. 设为锐角，若，则______．
【答案】
【解析】因为为锐角，由，得，
.
故答案为：.
13. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则__________．
【答案】
【解析】在中，，则，
由余弦定理得，
由正弦定理得，所以.
故答案为：.
14. 如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为__________．
【答案】
【解析】以为坐标原点，所在直线为轴建系，如图所示：
设等边三角形边长为，
可得：，，，，
设直线的方程为：，则有，解得，
直线的方程为：，
可设：，则有，
即有：，
，解得（负舍）.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，且与共线.
（1）求的值；
（2）若与垂直，求实数的值.
解：（1），
因为与共线，所以，
解得.
（2）由（1）知，所以，
由与垂直，得，
所以，解得.
16. 已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
17. 已知在中，所对的边分别为a，b，c，，且．
（1）求角C的大小；
（2）D为AB中点，若的面积等于，求的周长的最小值．
解：（1），，
由正弦定理得，
，，
.
（2）依题意，即，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
，当且仅当时取等号，
所以的周长的最小值为6．
18. 已知.
（1）若，求的值；
（2）在三角形ABC中，若，求的最大值；
（3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）函数，
因为，所以，
所以，
.
（2）由，
而，可得，即，
所以，
因为，所以，
则，
故当时，取最大值，最大值为．
（3）由（1）可知
，
令，因为，所以，从而，
则即为：在上恒成立，
所以在在上恒成立，
又，当且仅当时等号成立．
所以，即实数a的取值范围为.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且设点为的费马点．
（1）若，．
①求角；
②求．
（2）若，，求实数最小值．
解：（1）①因为
，
，
又，
所以，
即．因为，所以，
因为，所以．
②由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知点一定在的内部．
由余弦定理可得，即，
又，解得．
所以
，
所以，
所以
．
（2）由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即，
点为的费马点，则，
设，，，，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为．