2024~2025学年陕西省宝鸡市陈仓区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年陕西省宝鸡市陈仓区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：A、不是整式方程，本选项不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
C、，即是一元二次方程，本选项符合题意；
D、不是一元二次方程，本选项不符合题意；
故选：C．
2. 满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形B. 有三个角是直角的四边形
C. 有一组邻边相等的平行四边形D. 对角线相等的菱形
【答案】D
【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意；
故选：D．
3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：利用配方法如下：
．
故选D．
4. 某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：把“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容分别记为，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有种
∴他们两人选取的主题不同的概率是，
故选：．
5. 若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A. k＞﹣B. k≥﹣C. k＜﹣D. k≤﹣
【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根，
，，，
∴，
∴k＞．
故选：A．
6. 如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 12
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
7. 如图，点是等边的边上的一点；下面四个条件不能判定是（ ）
A. B.
C. ，D.
【答案】D
【解析】解：已知是等边三角形，
∴，
A、，
∴，
在中，，
∴，
∴，且，
∴，
∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意；
B、，
根据比例的性质可得，，且，
∴根据两边对应成比例，且两边夹角相等，两三角形相似可得，
∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意；
C、，
∴，，，
∴，或者，或者，
∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意；
D、，
两边对应成比例，其夹角不确定是否相等，不能判定两三角形相似，
∴原选项不能判定两三角形相似，符合题意；
故选：D ．
8. 如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于（ ）

A. 25：24B. 16：15C. 5：4D. 4：3
【答案】A
【解析】∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠HEF=90°，
同理四边形EFGH的其它内角都是90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴EH=FG（矩形的对边相等），
又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠5（等量代换），
同理∠5=∠7=∠8，
∴∠1=∠8，
∴Rt△AHE≌Rt△CFG，
∴AH=CF=FN，
又∵HD=HN，
∴AD=HF，
在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理得HF==5，
又∵HE•EF=HF•EM，
∴EM=，
又∵AE=EM=EB（折叠后A、B都落在M点上），
∴AB=2EM=，
∴AD：AB=5：==25：24．
故选A
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
9. 一元二次方程的解为__________．
【答案】x=或x=2
【解析】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x=,
故答案为:x=或x=2．
10. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走____________米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）

【答案】
【解析】由题意知 米，
，
，
米，
故主持人从舞台一侧点 进入，则他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，
故答案为：．
11. 陕西眉县是全国最大的优质猕猴桃生产基地，被誉为“中国猕猴桃之乡”．眉县某猕猴桃果园2021年猕猴桃单位面积产量为，由于引进了新的种植技术，该果园的猕猴桃产量在逐年增加，2023年猕猴桃单位面积产量达到了．这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为________．
【答案】
【解析】解：设这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为．
根据题意，得，
解得：(不合题意，舍去)，，
答：这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为．
故答案为：．
12. 如图，在矩形中，，，平分交于点，点为的中点，则线段的长为_________________．
【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
平分，
，
，
，
，
在中，，
点为的中点，
，
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，，，、分别是、边上的动点，，则的最小值为__________．
【答案】5
【解析】解：设，则；过点作，且连接，当点、、三点共线时，的最值小；如图：
四边形是平行四边形：
由点、、三点共线，
由四边形是矩形．
四边形平行四边形．
又
在中，由勾股定理得：
又∵，则，
解得∶，
在中，由勾股定理得：
又
又
故答案为：5．
三、解答题（共计81分）
14. 计算：.
解：
．
15. 解方程：．
解：
，
，
，
，
，.
16. 解方程：.
解：，
，
，
，
∴．
17. 若，求
解：∵，
∴设，
则．
18. 如图，在中，，请你利用尺规作图，在求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，点D即为所求．
理由：由作图可知，
∴，
∵，
∴，
∴．
19. 已知和中，有．且和的周长之差为15厘米，求和的周长．
解：设和的周长分别是厘米和厘米，
∵，
∴，
∴
由题意可得：
由式得
将式代入式得：，
∴，
将代入式得：，
答：和的周长分别是厘米和厘米．
20. 为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙两位班干部准备从A．牛郎织女传说、B．蔡伦造纸传说、C．仓颉传说、D．陕北民谚、E．三顾茅庐这五个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了5张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这5个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这5张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的卡片中随机抽取一张，以所抽取的卡片正面内容为准进行讲解．
（1）甲所抽取的卡片正面是C（仓颉传说）的概率为________；
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙二人中，有一个讲解E（三顾茅庐）这个故事传说的概率．
解：（1）∵一共有A．牛郎织女传说、B．蔡伦造纸传说、C．仓颉传说、D．陕北民谚、E．三顾茅庐这五个故事传说，
∴甲所抽取的卡片正面是C．仓颉传说的概率为，
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，有一个人讲解E．三顾茅庐的结果数为种，
∴有一个人讲解E．三顾茅庐的概率为．
21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，试求出此时方程的解．
解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，解得，
的取值范围为；
（2）的最大整数为3，则方程为：，
，
，．
22. 如图，在中，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒．
（1）为何值时，；
（2）是否存在某一时刻，使，若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，，，
∵，，
∴，，
若，则有，
∴，
即，
解得，
∴当时，；
（2）解：存在．
∵，
∴，
要使，只需，
即，
解得，
∴．
23. 如图，在矩形中，，BD相交于点，平分交于点，连接，若，，求CE的长．
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴的长为．
24. 某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元．
（1）平均每天的销售量为 本（用含x的代数式表示）；
（2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？
解：（1）由题意可知，每天的销售量为本．
故答案为：．
（2）由题意可得，
，
整理得，
解得，，
∵要求每本售价不低于55元，
∴符合题意．
故每本画册应降价4元．
25. 问题提出：
（1）如图1，为直线上方两点，，垂足分别为为直线上一点，且点到两点距离相等，已知：，求的长；
问题解决：
（2）某市进行河滩治理，优化生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上修建一个五边形河畔公园．按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点分别在边上，且满足．已知五边形中，．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，要让人工湖形状为矩形．请问，是否存在符合设计要求的四边形人工湖若存在，求此时四边形面积及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．

解：（1）设，则．
∵
∴
∵．
解之，得
的长为15．
（2）存在，如图，过点A作于F，连接，

由题知，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形
设米，则米，米，米，
，
过点M作，
∵，
∴，
∵
∴四边形为矩形．
，
，
要使四边形矩形，只要使，
，
（舍）或，即米；
由勾股定理，得，
∴
符合设计要求的四边形面积为平方米，此时，点到点的距离为米．