2023~2024学年陕西省安康市石泉县迎丰九年制学校九年级(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年陕西省安康市石泉县迎丰九年制学校九年级(上)期末数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 真实情境 下面四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：C．
3. 关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k≤﹣4B. k＜﹣4C. k≤4D. k＜4
【答案】C
【解析】根据题意得∆=42﹣4k≥0，
解得k≤4．
故选C．
4. 将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ）
A. y＝x2﹣8x＋22B. y＝x2﹣8x＋14
C. y＝x2＋4x＋10D. y＝x2＋4x＋2
【答案】D
【解析】将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1＋3）2＋2，即y＝（x＋2）2＋2；
再向下平移4个单位为：y＝（x＋2）2＋2﹣4，即y＝（x＋2）2﹣2＝x2＋4x＋2．
故选：D．
5. 将10枚黑棋子5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：取出的棋子是黑棋子的概率为：
故选：D．
6. 如图，是的弦，C是上一点，，垂足为D，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 已知关于x的方程，若该方程的一个根为3，则a的值为 _____．
【答案】
【解析】将 代入方程，得：，
解得：，
故答案为：．
8. 抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为_____．
【答案】（﹣2，4）．
【解析】∵y=2（x+2）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（-2，4），
故答案为（-2，4）．
9. 一元二次方程的两根分别为________．
【答案】，
【解析】，
x=0或，
解得：，．
故答案为：，．
10. 如图，是的切线，是切点，连接，．若，则的度数是______．

【答案】
【解析】∵是的切线，是切点，
∴，
∴，
故答案为∶．
11. 已知，抛物线上的两点，关于它的对称轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】∵抛物线的对称轴为直线，点P的坐标为，
设点，
∴点P和点Q关于直线对称，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标为：，
故答案为：．
12. 如图，点按顺时针旋转到，若点A恰好在上，则的度数为_________．

【答案】
【解析】∵绕点C按顺时针旋转得到，
∴，，,
∴,
∴
∵，
∴，
∴．
∵,
∴．
13. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的概率稳定在0.2，则袋中有绿球______个．
【答案】3
【解析】设绿球的个数为x，根据题意，得：=0.2，解得：x=3，经检验x=3是原分式方程的解，即袋中有绿球3个，故答案为3．
14. 刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知的半径为2，则的内接正六边形的面积为________．
【答案】6
【解析】如图，连接、，
由题意可得：，
，
为等边三角形，
，
过点作于点，则，
在中，，
，
的面积约为．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 解方程：．
解：，
，
，
，．
16. 已知二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的表达式．
解：将点和的坐标分别代入表达式，得
解这个方程组，得
所以，所求二次函数表达式为．
17. 月日卡塔尔世界杯闭幕小明搜集到三张如图所示的不透明的卡片，正面图案分别是吉祥物，足球和大力神杯，依次记为、、，卡片除正面图不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀小明从中随机抽取一张，记录图案放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张用画树状图或列表的方法，求小明两次抽到图案不相同的概率．

解：画树状图如下：

从树状图中可知，一共有种等可能的结果，其中两次抽到图案不相同的结果数有种可能，
两次抽到图案不相同．
18. 如图，、是的两条弦，延长、交于点P，连接、交于点E，，，求的度数.

解：∵为的外角，，，
∴，
∵，
∴．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好友方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值．
解：解方程x2﹣2x=0，得：x1=0，x2=2．
①若x=0是两个方程相同的实数根．
将x=0代入方程x2+3x+m﹣1=0，得：m﹣1=0，∴m=1，此时原方程为x2+3x=0，解得：x1=0，x2=﹣3，符合题意，∴m=1；
②若x=2是两个方程相同的实数根．
将x=2代入方程x2+3x+m﹣1=0，得：4+6+m﹣1=0，∴m=﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10=0，解得：x1=2，x2=﹣5，符合题意，∴m=﹣9．
综上所述：m的值为1或﹣9．
20. 某花卉种植基地准备围建一个面积为100平方米的矩形苗圃园园种植玫瑰花，其中一边靠墙，另外三边用29米长的篱笆围成．已知墙长为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门（如图所示），求这个苗圃园垂直于墙的一边长为多少米？
解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边为（29+1-2x）米，
由题意得： x（30-2x）=100，
-2x+30x-100=0，x-15x+50=0
（x-5）（x-10）=0，
或，
当x=5时，则平行于墙的一边为20米＞18米，不符合题意，
取x=10，
答:垂直于墙的一边长为10米.
21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点式网格线的交点），，，．
（1）先将竖直向下平移5个单位，再水平向右平移2个单位得到，请画出；
（2）将绕A点逆时针旋转，得到，请画出．
解：（1）如图所示即为所求；
（2）如图所示即为所求．
22. 如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．
（1）求直径AB的长．
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
解：（1）∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，
∴AB=2AC，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AB2+62，
∴AB=4．
（2）连接OD．
∵AB=4，
∴OA=OD=2，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，
∴S△AOD=OA•OD=×2×2=6，
∴S扇形△AOD=•π•OD2=•π•（2）2=3π，
∴阴影部分的面积=S扇形△AOD-S△AOD=3π-6．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）.
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3得：0=+3m+3，
解得：m=2，∴y=+2x+3=，∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
24. 如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若的直径是10，，求的长．
解：（1）连接OD交BC于点F，如图，
∵点是的中点，
∴OD⊥BC，
∵DE//BC
∴OD⊥DE
∵OD是的半径
∴直线与相切；
（2）∵AC是的直径，且AC=10,
∴∠ABC=90°，
∵OD⊥BC
∴∠OFC=90°
∴OD//AB

∴
∵
∴
∴
由勾股定理得，
∴．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. （1）如图，在中，，以点为中心，把逆时针旋转，得到；再以点为中心，把顺时针旋转，得到，连接，则与的位置关系为______；
（2）如图，当是锐角三角形，时，将按照（1）中的方式旋转，连接，探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图，在图的基础上，连接，若，的面积为，则的面积为______．
（1）解：以点为中心，把逆时针旋转，得到；再以点为中心，把顺时针旋转，，，
，，四边形是平行四边形，
．
故答案为：平行；
（2）证明：如图，过作，交于，则，
由旋转的性质知，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（3） 解： 由（2）知，
设与之间的距离为，
，
，
，，
，
的面积为，
的面积为，
故答案为：．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围；
（3）若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．
①求的值；
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．
解：（1）将点代入得：，
解得，
则此抛物线的解析式为．
（2）对于二次函数，
当时，，解得或，
则此抛物线与轴的另一个交点坐标为，
画出函数图象如下：
则当点在轴上方时，的取值范围为或．
（3）①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
即，
（Ⅰ）如图，当时，
当时，随的增大而减小，
则此时点即为最低点，
所以，
解得或（不符题设，舍去）；
（Ⅱ）如图，当时，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则此时抛物线的顶点即为最低点，
所以，
解得，符合题设，
综上，的值为或3；
②设点坐标为，
由题意，分以下两种情况：
（Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点，
则在等腰中，只能是，
垂直平分，且，
（等腰三角形的三线合一），
，
解得，
则此时点的坐标为或；
（Ⅱ）当时，
由（3）①可知，此时，
则点，
，
，
，
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
综上，点的坐标为或或．