湖南省常宁市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省常宁市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点E是的中点已知，，，则( )
A.B.C.D.
2．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A.B.C.D.
3．已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，则( )
A.28B.30C.32D.35
4．已知向量，，则在上的投影向量为( )
A.B.
C.D.
5．已知数列是等差数列，且，将，，，去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则( )
A.B.C.D.
6．如果数列满足，，，是首项为1,公比为2的等比数列，那么( )
A.B.C.D.
7．已知圆，过直线上的一点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为( ).
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线，则下列结论正确的是( )
A.直线l的倾斜角是
B.过与直线l平行的直线方程是
C.点到直线l的距离是2
D.若直线，则
10．如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别为棱BC，的中点，则以下四个结论正确的是( )
A.
B.
C.直线与所成角的余弦值为
D.Q到平面的距离为
三、填空题
11．直线与两坐标轴相交于A，B两点，则线段的垂直平分线的方程为__________.
12．已知数列满足，则__________.
四、双空题
13．已知函数，若是R上的增函数，则实数a的取值范围是__________；若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值范围是__________.
五、解答题
14．化简：.
15．已知数列的前n顶和为.且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列中，，求数列的前n项和.
参考答案
1．答案：B
解析：由已知，，
则，
故选：B.
2．答案：B
解析：抛物线的焦点为，
双曲线的一条渐近线可设为，
即，
焦点到的距离为.
故选：B.
3．答案：D
解析：设公差为d且，由，
得，
故，
故选：D
4．答案：A
解析：根据题意在上的投影向量为，
，
故选：A.
5．答案：C
解析：在等差数列中，，
解得，而，
即有公差，
等差数列的通项，
则，，，显然去掉，
，，成等比数列，
则数列的首项为，公比，
所以.
故选：C
6．答案：B
解析：依题意有,
则
故选B.
7．答案：A
解析：由题意可得，，
，，
所以，
因此，则；
为使取得最小值，只需最大，
即只需最大，
因此只需取得最大值；
又，
所以当且仅当取得最小值时，最大；
而的最小值为，
所以此时，
则
即的最小值为；
故选：A.
8．答案：A
解析：由，
得,
即,
所以,
所以中,边上的中线等于的一半,
则.
即,
又,
解得，
又.
所以.
故选：A
9．答案：ABC
解析：A选项：直线的斜率为，
故倾斜角是，故A正确；
B选项：过与直线l平行的直线方程为，
整理得，故B正确；
C选项：点(到直线l的距离，故C正确；
D选项：直线的斜率为，
所以，故l与m不垂直，故D不正确
故选：ABC.
10．答案：ABD
解析：以D为原点，以，，所在直线为x，y，z轴，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
所以，
则，
因为，所以，A正确；
因为，
所以，则，B正确；
因为
由，
所以直线与所成角的余弦值为，C不正确；
设平面的法向量为，
因为，
则，
所以，
令，则，
所以点Q到平面的距离为，D正确
故选:ABD.
11．答案：
解析：由直线可得，
所以直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
令可得；
令可得；
即，，
所以线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得.
故答案为：.
12．答案：
解析：由
可得当时，，
所以，
满足，
故，.
令
，
则，
两式相减得：
，
所以.
故答案为：
13．答案：；
解析：当时，函数是单调递增函数
，解得
当时，函数是单调递增函数
又当时，一次函数的取值要小于或等于指数式的值
，解之得
综上所述，得实数a的取值范围是，
若数列满足，
且是递增数列，所以，
即，
解得，即
故答案为：；.
14．答案：
解析：原式
15．答案：(1)
(2)，
解析：(1)当时，
可得：；
当时，，，两式相减，
得：，即，
所以：.
(2)当时，；
当时，，
所以，
所以：
，
时，，上式也成立
所以：，