9_江苏省无锡市辅仁高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（原卷及解析版）

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命题人：耿少峰审核人：吴静宇
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于（）
A. B. C. 3D. 5
3. 已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（）
A. B. C. 3D. 4
4. 已知空间三点，，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（）
A. B. C. D.
5. 斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（）
AB. 1C. 2D. 3
6. 在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆（）的面积为，求满足的点所构成的平面图形的面积为（）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，设，，，动点满足，则最大值为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成的基底是（）
A. ，，B. ，，
C，，D. ，，
10. (多选)已知双曲线的离心率为2.若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则（）
A. 双曲线C1的渐近线为
B. 双曲线C1的渐近线为
C. 抛物线C2的方程为x2=8y
D. 抛物线C2的方程为x2=16y
11. 已知，点到直线：的垂足为，，，则（）
A. 直线过定点B. 点到直线的最大距离为
C. 的最大值为D. 的最小值为
12. 过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于、两点，则的内切圆面积可能是（）
A. 1B. C. 2D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知双曲线的方程为,则的取值范围是______.
14. 已知点，，若过点直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______.
15. 在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为______.
16. 已知椭圆：（），、为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线，点.
（1）已知直线与平行，求的值；
（2）求点关于直线的对称点的坐标.
18. 已知过点的圆的圆心在直线上，且与直线相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且被圆截得的弦长为的直线的斜率.
19. 在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，点为棱上靠近的三等分点，点在棱上靠近点的三等分点.
（1）求证：点，，，共面；
（2）求点到的距离.
20. 已知椭圆：，右焦点为，点、分别为左右顶点过点的直线与椭圆交于、两点，其中点在轴上方.
（1）若四边形的面积为，求直线的斜率；
（2）设直线的斜率为，的斜率为，求的值.
21. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点.
（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置.
22. 已知直线方程为，点，点到点距离与到直线的距离之比为，.
（1）求点的轨迹的方程（用表示）；
（2）若斜率为的动直线与（1）中轨迹交于点，，其中，.点（）在轨迹上，且直线、与轴分别交于、两点，若恒有，求的值.