2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷

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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．寿州大鼓是流行于安徽寿县、颍上、凤台、霍邱、正阳关一带的传统说唱艺术，是安徽大鼓的一个重要流派．如图是寿州大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）．
正面
A．B．
C．D．
2．已知，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ）
A．B．8C．D．4
5．下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（ ）
A．B．C．D．
6．给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心到三个顶点的距离相等
D．任意三个点都可确定一个圆
7．已知反比例函数y=﹣，下列结论正确的是（ ）
A．y的值随着x的增大而减小B．图象是双曲线，是中心对称图形但不是轴对称
C．当x＞1时，-1＜y＜0D．图象可能与坐标轴相交
8．如图，在中，点、分别在、边上，，若 ， 则等于（ ）
A．B．C．D．
9．雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2022年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2024年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x，根据题意，所列方程为（ ）．
A．B．
C．D．
10．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点P为线段AB上的动点，E为AD的中点，射线PE交CD的延长线于点Q，过点E作PQ的垂线交CD于点H、交BC的延长线于点F，则以下结论：①∠AEP=∠CHF；②ΔEHQ≅ΔCHF；③当点F与点C重合时3PA=PB；④当PA=PB时，CF=22．成立的是( )
A．①③④B．②③④C．①③D．②④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
11．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则__________cm．
12．如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是__________（只写一个）．
13．为了鼓励学生培养创新思维，某校为1000名学生各准备了一件创新作品盲盒，小星为了估计汽车模型盲盒的个数，对30位同学的盲盒统计，发现有9位同学抽中小汽车模型，由此可估计小汽车模型的总数为__________件．
14．如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，其纵坐标为4，过点P作轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为__________．
15．如图，正方形ABCD的边长为cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以0.5cm/s的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为__________cm．
三、解答题（本大题共10小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题7分）用适当的方法解方程：
；；．
17．（本题7分）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．

（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
18．（本题7分）为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树AB的高度．
19．（本题8分）已知，在中，，分别是边，上的点，连接，，，和相交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
20．（本题8分）已知关于x的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值．
21．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．
(1)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为；
(2)求四边形的面积．
22．（本题10分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，且点在第二象限，点的横坐标为，过作垂直轴，垂足为，的面积为2．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)若点是这个反比例函数图象上的点，且的面积为4，求点坐标．
23．（本题10分）为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生.某镇统计了该镇今年1-5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：

（1）某镇今年1-5月新注册小型企业一共有 家.请将折线统计图补充完整.
（2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业.现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率.
24．（本题12分）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答：
(1)降价后每件商品可盈利______元，商场日销售量增加______件．（用含x的代数式表示）；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元，商场日盈利可达到元；
(3)当降价多少元时，商场的日盈利最多，最多为多少元．
25．（本题12分）如图1，正方形和正方形，连接，．
(1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是______；位置关系是______；
(2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)[应用]：在（2）情况下，连接（点E在上方），若，且，，求的长．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11．4 12．（答案不唯一）13．300
14. 15.
三、解答题（共90分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．），
，
所以，；（2分）
，
，
x=0或，
所以，；（5分）
，
所以方程没有实数解．（7分）
17．（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，
∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2，
∴△ABD与△BCD都是等边三角形，∴∠BDE＝∠C＝60°，
∵AE+CF＝2，∴CF＝2﹣AE，
又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE，∴DE＝CF，
在△BDE和△BCF中， ，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；（4分）
（2）解：△BEF是等边三角形．理由如下：
由（1）可知△BDE≌△BCF，∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，
∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF．（7分）
18．根据题意，得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，（2分）
则△ABE∽△CDE，则，即，
解得：AB＝6米．（6分）
答：树AB的高度为6米．（7分）
19．（1）∵，，∴．（4分）
（2）∵，∴．∴．
∵，∴．（8分）
20．（1）证明：根据题意可知：，
∴方程有两个不相等的实数根；（4分）
（2）解：由题意得：，∴，解得．（8分）
21．（1）解：如图所示，即为所求，（4分）
（2）解：，
∵与位似，且位似比为；则，∴．
．（9分）
22．（1）解：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，
点与点关于原点对称，，
，，而，，
反比例函数解析式为；
把代入得，点坐标为，
设正比例函数解析式为，
把代入得，正比例函数解析式为；（5分）
（2）解：设点坐标为，
点坐标为，，
的面积为4，，解得或，
当时，，此时点坐标为；
当时，，此时点坐标为，
综上所述，点坐标为或．（10分）
23．（1）根据统计图可知，3月份有4家，占25%，
所以某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有：4÷25%=16（家），
1月份有：16﹣2﹣4﹣3﹣2=5（家）．
折线统计图补充如下：

故答案为16；（4分）
（2）设该镇今年3月新注册的小型企业为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙为餐饮企业．画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，甲、乙2家企业恰好被抽到的有2种，
∴所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率为=．（10分）
24．（本题12分）【解析】（1）解：设每件降价元，
则商场日销售量增加多件，每件商品盈利元，
故答案为：（）；．（4分）
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∴每件商品降价元或元时，商场日盈利可达到元．（8分）
（3）解：由（2）得：（0≤x≤40），
当时，最大，且，
∴当降价元时，商场的日盈利最多，最多为元．（12分）
25．（本题12分）【解析】（1），．
理由如下：延长，交于点N，交于点P，
∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
在和中，，
∴，∴，，
∵，，
∴，∴，∴．
故且．（4分）
（2）解：，．
理由如下：延长，交于点H，交于点I，
∵四边形，四边形是矩形，∴，
∴，
∵，，∴，，
∴，∴，
∴．
∴，，∴，
∵，，
∴，∴，∴．
故且．（8分）
（3）解：设与交的交点为M，
∵，∴，
在中，，∴，
根据勾股定理得：，
∵，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，∴，
由（2）知，，∴．（12分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
D
A
D
C
C
B
B
C