四川省部分名校2024届高三(上)期末联合考试文科数学试卷(解析版)

这是一份四川省部分名校2024届高三(上)期末联合考试文科数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合的一个真子集可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，故A错误；
，故B错误；
因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；
是集合的真子集，故C正确.
故选：C.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A
3. 某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（ ）
A. 28B. 30C. 32D. 36
【答案】A
【解析】由题意可知抽取到的男性职工人数为，女性职工人数为，
则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多．
故选：A
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
故选：D
5. 某咖啡店门前有一个临时停车位，小轿车在此停车时长超过10分钟就会被贴罚单．某顾客将小轿车停在该车位后，来到该咖啡店消费，忽略该顾客从车内到咖啡店以及以从咖啡店回到车内的时间，若该顾客上午10：02到达咖啡店内，他将在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，则他的车不会被贴罚单的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】他在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，
其中在10：08至上午10：12的任意时刻离开咖啡店回到车内，他的车不会被贴罚单，
故由几何概型可知他的车不会被贴罚单的概率为．
故选：C
6. 若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设该圆锥的高为，依题意有，则，
解得.
故选：A
7. 已知向量，满足，，且，则（ ）
A. 5B. C. 10D.
【答案】C
【解析】由题意可知，且，
则，，
所以．
故选：C
8. 在梯形中，，是边长为3的正三角形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为是边长为3的正三角形，
所以，
又，所以，
由正弦定理得，
则．
故选：B
9. 设，满足约束条件其中．若的最大值为10，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】作出可行域（阴影部分），

当直线经过点时，取得最大值，且最大值为，解得．
故选：A
10. 若函数的图象关于直线对称，且是大于的最小正数，则数列的前10项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数图象关于直线对称，
所以，得．
又是大于的最小正数，所以，
所以数列的前10项和为．
故选：C
11. 已知为定义在上奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意作出的大致图象，如图所示，

令，得，
当时，，
又时，，易知在区间上单调递增，
又，所以时，，又为奇函数，
所以由图可知，当时，直线与的图象有5个公共点，从而有5个零点，
故选：D.
12. 已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，取线段的中点，连接，
因为，，
所以，且，
所以
，
设，则，
所以的离心率
．
故选：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 若，则______．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
14. 已知圆经过抛物线的焦点，点A在上，若点A到的距离为6，则点A的纵坐标为______．
【答案】
【解析】依题意可得，由焦半径公式可得，解得
故答案为：
15. 函数的极大值为______．
【答案】
【解析】，当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为．
故答案为：
16. 在长方体中，，侧面的面积为6，与底面所成角的正切值为，则该长方体外接球的表面积为____________．
【答案】
【解析】在长方体中，因为侧面的面积为6，
所以，
因为与底面所成角的正切值为，
所以，结合，可得，
所以该长方体外接球的半径为，
表面积．
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某校有3名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的时间（单位：s）的数据如下表：
（1）计算甲这10次百米短跑的时间的平均数与方差；
（2）经过计算，乙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12，0.08，丙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12.4，0.08，若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比赛，请判断该选择谁，说明你的理由．
解：（1）甲这10次百米短跑的时间的平均数为，
方差为
．
（2）因为百米短跑的时间越短，成绩越好，
所以从数据的平均水平看，甲与乙的成绩更好．
因为方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小，所以从数据的波动情况看，
甲的成绩波动最大，乙和丙的波动水平相当，所以应该选乙参加市区的百米短跑比赛．
18. 在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1）设的公差为，则，
解得，
所以；
（2）由（1）知，
所以
．
19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，是边长为2的正三角形，延长至点，使得为线段的中点．

（1）证明：平面．
（2）若，求四棱锥的体积．
证明：（1）连接，交于点，连接，
因为底面为矩形，所以为线段的中点．
又为线段的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
解：（2） 记的中点为，连接，，
因为是边长为2的正三角形，所以．
又平面平面，且平面平面，且平面，
所以平面，则．
又，，所以平面，
则．
因为四边形为矩形，所以，
则，
即，解得．
因为为线段的中点，所以到的距离等于到的距离的2倍，
所以四棱锥的体积．
20. 已知椭圆长轴为线段，短轴为线段，四边形的面积为4，且的焦距为．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与相交于两点，点，且的面积小于，求的取值范围．
解：（1）由题意可得，解得，
所以的标准方程为；
（2）点到直线的距离，
设，联立方程组，
整理得，
则，即，
，
所以，
则的面积，
得，又，（由三点不共线可得），
所以的取值范围是．
21. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：.
解：（1），则，
因为，所以曲线在点处的切线方程为，
即.
证明：（2）的定义域为，要证明，
只需证.
设函数，则.
当时，；当时，.
所以.
设函数，则，
所以恒成立，从而，故
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）点的极坐标为，为曲线上任意一点，为线段的中点，求动点的轨迹的直角坐标方程．
解：（1）由，得，
则，
所以，所以直角坐标方程为；
（2）点的极坐标为，，
所以点的直角坐标为．
设，则，得，
因为在曲线上，所以，所以，
即，所以动点的轨迹的直角坐标方程为．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知．
（1）若，证明与中至少有一个小于0；
（2）若均为正数，求的最小值．
证明：（1）假设与中没有一个小于0，即，
因为，所以，
这与矛盾，所以假设不成立，
所以与中至少有一个小于0；
解：（2），
因为均为正数，所以由柯西不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
第9次
第10次
时间/s
12
12.4
12
12.5
12
11.8
12.2
11.5
11.6
12