河南省部分名校2024届高三(上)期末检测数学试卷(解析版)

这是一份河南省部分名校2024届高三(上)期末检测数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以．
故选：B
2. 已知集合，若，则的最大值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由，得，即，
由，得，由，
所以，即的最大值为2.
故选：B
3. “是第二象限角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：若是第二象限角，则，，可推出，充分性成立；
必要性：若，即与异号，则为第二象限或第三象限角，必要性不成立；
故选：A
4. 某企业举办冬季趣味运动会，在跳绳比赛中，名参赛者的成绩(单位：个)分别是、、、、、、、、、，则这组数据的中位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将这10个数据从小大大排列为，
所以这组数据的中位数是.
故选：C.
5. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，点在轴上方，且的横坐标为5，则（ ）
A. B. ．C. D.
【答案】C
【解析】如图，设点A，B在抛物线的准线上的投影分别是，作，垂足为D，BD与轴交于点，
由题意可知．设，则，
易证，则，即，整理得，
解得，故．
故选：C
6. 折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为（ ）

A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】如图，设关于对称的点为，则在圆上，连接，，
则有，故.

故选：D
7. 已知双曲线左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点(在轴右侧)．若是线段AF的中点，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点为．因为直线的斜率是，所以，
所以．
因为是线段AF的中点，所以．
因为，所以．
由双曲线的定义可得，则双曲线的离心率．
故选：C
8. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
．
设，
则，从而，
由，得；由，得或；
则在和上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，
即的值域为．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设等比数列的前项和为，且(为常数)，则（ ）
A. B. 的公比为2C. D.
【答案】BC
【解析】因为，所以．
因为an是等比数列，所以，即，解得，则错误；
an的公比，则B正确；
因为，所以，则C正确；
因为，所以，所以，则D错误．
故选：BC
10. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若平面是面积为的等边三角形，则
B. 若，则
C. 若，则球面的体积
D. 若平面直角三角形，且，则
【答案】BC
【解析】若平面是面积为的等边三角形，则，则，.A不正确.
若，则，则.B正确.
若，则，，
则平面的外接圆半径为，则到平面的距离，
则三棱锥的体积，
则球面的体积.C正确.
由余弦定理可知因为，所以，则.
取，，则，，
则.D不正确.
故选：BC
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，的图象关于点对称，则（ ）
A.
B. 为偶函数
C. 的图象关于点对称
D.
【答案】ABD
【解析】由，可得，则，令，得，A正确.
令，则，故为偶函数，B正确.
假设图象关于点1,0对称，则，
则，即关于直线x=1对称，又fx不是常函数，
这与f'x的图象关于点1,0对称矛盾，假设不成立，C不正确.
因为f'x图象关于点1,0对称，所以，
令，则，
则（为常数），则，
从而，即，
由，得，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知单位向量、满足，则______
【答案】
【解析】因为、为单位向量，且，
所以，所以，
因此，.
故答案为：.
13. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看做由上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体ABCDEF中，是棱BC的中点，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是______
【答案】
【解析】取棱AB的中点，连接HG，FG，
因为H，G分别是棱BC，AB的中点，所以，则是异面直线HF与AC所成的角或补角，
设，则，
在中，由余弦定理可得，
则异面直线HF与AC所成角的余弦值是.
故答案为：
14. 将1，2，3，…，9这9个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），记第1行中最大的数为，第2行中最大的数为，第3行中最大的数为，则的填法共有_______种.
【答案】60480
【解析】第3行，，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有种情况.
第2行，取剩下6个数中最大的数为，可选的位置有3个，
其余2个位置任取2个数，共有种情况，
第1行，剩下3个数任意排列，则有种情况，
故共有种填法.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角的对边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
解：（1）由可得：，则.
由，又因，故得：.
（2）由（1）知，又，由正弦定理可得：，则：，
记的面积为，则
，
因，则，故，所以，面积的最大值为.
16. 某学校组织知识竞赛，题库中试题分，两种类型，每个学生选择2题作答，第1题从，两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为.已知学生甲答对种试题的概率均为，答对种试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立.
（1）求学生甲2题均选择种试题作答的概率；
（2）若学生甲第1题选择种试题作答，记学生甲答对的试题数为，求的分布列与期望.
解：（1）若学生甲第1题选择种试题作答并且答对，则第2题选择种试题作答的概率，
若学生甲第1题选择种试题作答并且答错，则第2题选择种试题作答的概率，
故学生甲2题均选择种试题作答的概率.
（2）由题可知，的取值可能为0，1，2，
且，
，
，
故的分布列为
则.
17. 如图，在正三棱柱中，D，E分别为棱的中点，在棱上，且EF平面．

（1）求的值；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
解： (1) 取的中点，连接EG交AD于点，连接．
易证，则．
因为平面，且平面平面，所以，
则四边形为平行四边形，故．
因为为棱AB的中点．所以
所以，所以，即

（2）过点作AC的垂线AM，从而有两两垂直，故以为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，设平面的法向量为，
则令，得．
，,,
所以平面，则平面的一个法向量为．
设平面AEF与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18. 已知椭圆的右焦点与点连线的斜率为2，且点在椭圆上(其中为的离心率)．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）已知点，过点的直线与交于A，B两点，直线DA，DB分别交于M，N两点，试问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）由题意可得，解得
故椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，Ax1,y1，Bx2,y2，，，
则直线DA的方程为．
联立，整理得
则，即．
代入，得．
同理可得．
因为
所以直线MN的斜率为定值，且定值为．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线y=fx在处的切线方程；
（2）当时，证明：恰有三个不同的极值点，，，且.参考数据：取.
解：（1）由，得，则，则，，
故曲线y=fx在处的切线方程为.
（2），令，则.
因为，所以，
则方程存在两个不同的实数根，（设），
则，，则.
当时，，当时，，
则在0,m和上单调递减，在上单调递增.
，，，
令，则在上恒成立，
故hx在上单调递减，故，则，，
不妨令，则，，，，
当时，f'x>0，当时，f'x