安徽省江南十校2023-2024学年高一上学期12月分科诊断模拟联考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.本试卷总分为150分，数学考试总时间为120分钟；
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效；
3.考生作答时，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置.
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求.
1. 下列关系中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据元素与集合、集合与集合之间关系直接判断即可.
【详解】对于A，为无理数，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，，C错误；
对于D，由得：或，不是的子集，D错误.
故选：A.
2. 设命题：，，则命题的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】由题意可知：命题的否定是：，.
故选：D.
3. “，”恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据恒成立求解，即可根据集合间的关系求解.
【详解】若对，恒成立,则，故，
由于是的真子集，所以符合题意，
选项AB是既不充分也不必要条件，D是充要条件，
故选：C
4. 已知实数，，则下列不等式一定成立是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式性质可知A错误，利用特殊值代入可得BC不一定成立，根据不等式性质可证明D正确.
【详解】由题意可知，但不一定成立，即不一定成立，A错误；
不妨取，此时，即不一定成立，B错误；
当时，显然，此时不一定成立，C错误；
由可知，又，所以，即；即D正确.
故选：D
5. 如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A. 9B. 8C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由弧长比可得半径比，结合扇形面积公式求解.
【详解】设，，则，则
∴，故.
故选：B
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，得到函数为偶函数，且，即可求解.
【详解】由函数，可得，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D项；
又由，可排除B项，所以A符合题意.
故选：A.
7. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊角的三角函数值，结合对数函数与指数函数的性质即可得解.
【详解】因为，则，
而，所以，
所以，故.
故选：B.
8. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为，令，结合一元二次不等式的解法，即可求解；
解法2：根据题意，得到，设，得到为偶函数，求得关于对称，且在上单调递增，把不等式转化为，即可求解.
【详解】解法1：由函数，
则不等式，即为，
可得，即，
令，则，即，
解得，即，解得，
所以不等式的解集为.
解法2：由函数，
可得，
设，则，
所以函数为偶函数，即为偶函数，
可得关于对称，且在上单调递增，
所以不等式，即为，
可得，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的有（ ）
A. 是幂函数，且在单调递减，则
B. 的单调递增区间是
C. 的定义域为，则
D. 的值域是
【答案】AD
【解析】
【分析】A由幂函数及其单调性求参数；B由复合函数的单调性和对数函数的性质求增区间；C根据定义域及二次函数性质求参数范围；D换元法及二次函数性质求值域.
【详解】A：是幂函数，则，得或，又在单减，故，对；
B：由复合函数单调性有且，所以单增区间是，错；
C：定义域为，则或，错；
D：令，则，对.
故选：AD
10. 下列选项中，结果为正数的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据角的象限，分别求得其取值范围，结合正弦值与余弦的值关系，逐项判定，即可求解.
【详解】由，可得，所以，所以A正确
由，可得
且，所以，，
所以B正确，C错误；
由，可得，所以，所以D错误.
故选：AB.
11. 已知正数，满足，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为10
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为为正数，
A项，
或（舍去），
当时取等，故A正确；
B项，，
解得或（舍去），即，
当且仅当时取等，故B错误；
C项，，
当且仅当时取等，故C正确；
D项，，
解得（负值舍去），当且仅当，时取等，故D正确.
故选：ACD.
12. 高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉.高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则（ ）
A. 的值域是
B. 方程有无数组解
C. 是单调函数
D. 方程有3个根
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据高斯函数的定义，即可结合选项逐一求解.
【详解】因为表示不超过的最大整数，设，则，
则,，即的值域为,，故A正确．
当，，且时,
，所以，故B正确；
当时，此时，故C错误；
，
当，则，
当，则（不符合题意，舍去），
当，则，
当时，，故D正确，
故选：ABD
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域是，则的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复合函数定义域求解.
【详解】因为函数的定义域是，
即，所以，
若求函数的定义域，
则有，解得，
所以的定义域为.
故答案为：.
14. 已知，则______.
【答案】1012
【解析】
【分析】根据题意，令，求得，代入计算，即可得到结果.
【详解】令，则，
所以
故答案为：
15. 若对恒成立，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，根据恒成立得到，，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】令，对恒成立，
则，即得，
故，又，故（当且仅当时取等），
所以的最大值为.
故答案为：.
16. 已知 若有六个根，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】令，则，作出函数图象，转化为在上有两解，列出不等式组，即可求解.
【详解】令，则，作出函数的图象，如图所示，
设函数的零点分别为，
由图象知，要使得有六个根，转化为在上有两解，
则满足，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，且为第二象限角
（1）求，；
（2）求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的关系，由正切值求正弦值和余弦值；
（2）利用诱导公式化简求值.
【小问1详解】
由得，
代入得，
又为第二象限角，得，
【小问2详解】
由诱导公式，
有.
18. 已知集合，集合
（1）若，求和；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据补集、交集、并集的定义进行求解即可；
（2）根据集合交集的运算性质，结合分类讨论思想进行求解即可.
小问1详解】
当时，，
所以，或，
所以.
【小问2详解】
当时，即，即，满足；
当时，即，
由得或，
解得或；
综上，.
19. 已知函数是上的奇函数
（1）求，的值；
（2）判断并证明在上的单调性.
【答案】（1），
（2）是上单调递增函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可.
【小问1详解】
由是上的奇函数，所以，得
又恒成立，
所以，即，
【小问2详解】
是上的递增函数
证明如下：由（1）知，，在上任取，，
不妨令，则
，因为，
所以，所以，
所以是上单调递增函数
20. 某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约21元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）
（1）写出单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元
【解析】
【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值.
【小问1详解】
由题意可知，，
【小问2详解】
当时，，对称轴，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以的最大值为，
当时，
，
当，即时取等号，有最大值540元，
因为，
所以当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元.
21. 已知定义在上的函数满足，
（1）求，并证明为奇函数；
（2）若是上的单调递增函数，且，解不等式：.
【答案】（1），证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）赋值法求出，再由奇偶函数定义证明奇偶性即可；
（2）根据抽象函数性质化简，再由单调性脱去“”，解一元二次不等式即可得解.
【小问1详解】
令，得，
定义域为，关于原点对称，
令，得，
所以,即，
所以奇函数.
【小问2详解】
因为，
所以原不等式等价于，
又，所以，，
即，
又是上的递增函数，所以，解得或，
原不等式的解集为.
22. 若在上的值域是的子集，则称函数在上是封闭的.
（1）若在上是封闭的，求实数的取值范围；
（2）若在上是封闭的，求实数的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据新定义，即求二次函数在上的值域，利用分类讨论思想可得结果；
（2）根据新的定义，即求二次函数在上的值域，利用分类讨论思想建立不等关系可得结果.
【小问1详解】
函数开口向上，对称轴是，
当时，，
因为在上是封闭的，
则有，解得；
当时，在上为减函数，则有，解得，又，故无解；
综上，的取值范围是
【小问2详解】
函数开口向上，对称轴是，
当时，，
因为在上是封闭的，则有，解得，
依题意有，解得，
所以，
当时，在上为减函数，则有，
所以，即（舍去）
综上，的最大值是.