江苏省宿迁市宿城区2024-2025学年九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份江苏省宿迁市宿城区2024-2025学年九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上．）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A．，是一元一次方程，不符合题意；
B．，是分式方程，不符合题意；
C．有两个未知数，是二元一次方程，符合题意；
D、，是二元一次方程，不符合题意；
故选：D．
2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：，
，
∴．
故选：B．
3. ⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
【答案】A
【解析】解：∵⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，
∴d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交；
故选A．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆
B. 三角形的外心到三角形三边的距离
C. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
D. 平分弦的直径垂直于弦
【答案】C
【解析】解：A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；
B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，不符合题意；
C．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，说法正确，符合题意；
D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
5. 如图，点，，在上，若，则的度数是（ ）
A. 18°B. 36°C. 54°D. 72°
【答案】B
【解析】解：∵点A，B，C在⊙O上，∠BOC=72°，
∴∠BAC=∠BOC=36°．
故选：B．
6. 某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：依题意，得：．
故选：D．
7. 如图，内接于，是的直径．若，的度数为，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图，连接，
由题意知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8. 如图，正方形的边长是4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为G，连接，则长的最小值为（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】解：如图，连接，设交与点O，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
取中点M，连接，，则，为定长，
∵，
∴，
∴，
如图，过点M作于点N，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当A，M，G三点共线时，，
故选：B．

二、填空题（体大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 关于x的方程的一个根为3，则________．
【答案】
【解析】解：∵关于x的方程的一个根是3，
∴，
解得：，
故答案为：．
10. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是______．
【答案】10
【解析】解：在中，，，，
，
其外接圆的直径为10．
故答案为：10．
11. 若，是方程的两个实数根，则的值为________；
【答案】
【解析】解：∵若，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为______．

【答案】8
【解析】解：如图，

根据题意得，D在上，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（负值已舍），
∴，
故答案为：8．
13. 如图，、是的切线，切于点E，的周长为12，则______．
【答案】6
【解析】解：∵、是的切线，切于点E，
∴，，
∵的周长为12，
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
故答案为：6．
14. 如图，、是的弦，延长、相交于点P，已知，，则的度数是______．
【答案】20
【解析】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的度数是．
故答案为：20．
15. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________．
【答案】2
【解析】∵母线长为，扇形的圆心角
∴圆锥的底面圆周长
∴圆锥的底面圆半径
故答案为：2．
16. 已知在半径为3的⊙O中，弦AB=3，弦AC=3，则∠BAC的度数为________．
【答案】105° 或15°
【解析】解：有两种情况：
①如图，连接OA，过O作OE⊥AB，OF⊥AC
∴∠OEA=∠OFA=90°
由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，
∴，
∴∠OAE=45°，∠OAF=60°，
∴∠BAC=∠OAE+∠OAF=45°+60°=105°；
②如图，连接OA，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，
∴，
∴∠OAE=45°，∠OAF=60°，
∴∠BAC=∠OAF-∠OAE=60°-45°=15°，
故答案为105°或15°．
17. 如图，正的边长为，边长为的正的顶点R与点A重合，点P，Q分别在上，将沿着边连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为_________cm．（结果保留π）
【答案】
【解析】解：从图中可以看出第1次翻转后点P在边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是3，
所以弧长=，
第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在边上，
在边，第一次，第二次同样没有路程，边上也如此，
点P运动路径的长为．
故答案为：．
18. 如图，正方形和，，，连接．若绕点A旋转，当最大时，_______．

【答案】30
【解析】解：过作于，如图所示：
，
当绕点旋转时，点在以为圆心，12为半径的圆上，
当为此圆的切线时，最大，
，
在中，由勾股定理得：，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：30．

三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
，
∴或，
∴，；
（2）；
，
，
或，
∴，．
20. 如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．

（1）点M的坐标是 ；
（2）判断与y轴的位置关系，并说明理由．
解：（1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，如图所示：

根据网格的特征可得：点M的坐标为，
故答案为：．
（2）相交．
根据网格特征可得：
的半径
圆心M到y轴的距离
∴
∴与y轴相交．
21. 如图，中，，以为直径作，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
解：（1）证明：连接，如图1所示：
是的直径，
，
，
，
，
．
（2）解：连接，如图2所示：
是的直径，
是半径，
，
，
．
22. 如图，是的外接圆，，P是上一点．请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
解：如图①，连接，即为所求角平分线；

如图②，连接并延长，与交于点D，连接，即为所求角平分线．

23. 关于x一元二次方程，
（1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
解：（1）证明：关于x的一元二次方程，
，
△
，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得：，，
，
，即．
解得．
24. 某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元．
（1）平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）：
（2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？
解：（1）由题意可知，平均每天的销售量为套，
故答案为：；
（2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
答：每套纪念品应定价50元．
25. 如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为，求圆中阴影部分的面积．
解：（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
（2）解：过点C作于点E，
∵，，
∴，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
26. 如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，为等腰三角形；
（2）是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵，，，
∴，
∵两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，
∴，，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，
∴当时，为等腰三角形；
（2）假设存在x的值，使得四边形的面积等于，
则，
解得．
假设成立，所以当时，四边形面积的面积等于．
27. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．
解：（1），
，
或，
所以，，
，，
所以一元二次方程为“限根方程”，
故答案为：是；
（2）根据根与系数的关系得，，
，
，即，
解得，，
当时，方程化为，
解得，，
，，
方程是“限根方程”，
当时，方程化为，
解得，，
，
方程化不是“限根方程”，
综上所述，的值为9；
（3）解：，
，
或，
解得或，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上所述，的取值范围为或．
28. 【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和．
是的中点，
，
又，，
，
，
又，
，
即．

（1）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ；
（2）【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
（3）【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ．
解：（1）由题意可得，即，
，
，
．
（2）．
证明：在上截取，连接、、、，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即．
（3）如图，当点在下方时，过点作于点，
是圆的直径，
，
，圆的半径为5，
，
，
，
，
．
当点在上方时，，同理易得．
综上所述：的长为或．
四、附加题（本大题共有1小题，共10分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
29. 《朗读者》自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，某中学开展“朗读”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）根据图示填写表格．
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）如果规定成绩较稳定班级胜出，你认哪个班级能胜出？请说明理由．
解：（1）九（1）班5位同学的成绩为75、80、85、85、100，
∴其中位数为85分；九（2）班5位同学的成绩为70、100、100、75、80，
∴九（2）班的平均数为（分），其众数为100分．
补全表格如下：
（2）九（1）班成绩好些，理由如下：
∵两个班的平均数都相同，而九（1）班的中位数高，
∴在平均数相同的情况下，中位数高的九（1）班成绩好些．
（3）九（1）班的成绩更稳定，能胜出．
∵
，
，
∴，
∴九（1）班的成绩更稳定，能胜出．
平均数
中位数
众数
九（1）班
85
85
九（2）班
80
平均数
中位数
众数
九（1）班
85
85
85
九（2）班
85
80
100