湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，羊二，直金十九两；牛二，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分.）
1. 下列四个数中，是负数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：、，结果为正，不符合题意；
、，结果为正，不符合题意；
、，结果为正，不符合题意；
、，结果为负，符合题意；
故选：．
2. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：将31536000用科学记数法表示为．
故选B．
3. 下面运算正确的是（ ）
A. 7a2b-5a2b=2B. x8÷x4=x2C. (a-b)2=a2-b2D. (2x2)3=8x6
答案：D
解析：A.7a2b-5a2b=2a2b，故该选项错误；
B.x8÷x4=x8-4=x4，故该选项错误；
C.(a-b)2=a2-2ab+b2，故该选项错误；
D.(2x2)3=23(x2)3=8x6，故该选项正确．
故选：D．
4. 如图所示物体的左视图是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：从左边看，为一个长方形，中间有两条横线，如下图所示：
，
故选B．
5. 已知点与点关于轴对称，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵点与点关于轴对称，
∴与互为相反数，
∴，
故选：A．
6. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( )
A. 10°B. 15°C. 18°D. 30°
答案：B
解析：解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故选：B．
7. 下列说法错误的是( )
A. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
B. 矩形的对角线相等
C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D. 对角线相等的菱形是正方形
答案：C
解析：A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；
C、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；
故选C．
8. 已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：圆锥的侧面积是．
故选：C．
9. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：设1头牛两银子，1只羊两银子，
由题意可得：，
故选：A．
10. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）
11. 分解因式：______________．
答案：
解析：解：；
故答案为．
12. 为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是_____．
答案：3
解析：解：2，3，3，4，3，5这组数据中，3出现了3次，出现的次数最多，
∴2，3，3，4，3，5这组数据的众数为3，
故答案为：3．
13. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是 _____．
答案：
解析：解：设的两个实数根为，，其中，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
14. 一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为________．
答案：10
解析：解：设这个多边形边数为，
则，
解得．
故答案为：10．
15. 若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为___________．
答案：
解析：解：正比例函数与反比例函数图象均关于原点对称，
两函数的交点关于原点对称，
一个交点的坐标是，
另一个交点的坐标是．
故答案为：．
16. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为_____．
答案：30°
解析：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝120°，
∴∠ODC＝180°−∠A＝60°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝60°，
∴∠DOC＝180°−2×60°＝60°，
∴∠P＝90°−∠DOC＝30°；
故填：30°．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分.）
17. 计算：﹣（2019﹣π）0﹣4cs45°+（﹣）﹣2
答案：8
解析：解：原式＝2﹣1﹣2+9
＝8．
18. 先化简再求值：4（m+1)2－（2m+5）（2m-5），其中m=－3．
答案：5
解析：原式=
当m=-3时，原式.
19. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向．
（1）求点到的距离．
（2）求的长度．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
如图所示．
根据题意可知，点到的距离为线段的长度．
在中
．
小问2解析：
在中
．
根据题意可知．
在中
．
．
20. 某校为组织代表队参加县知识竞赛，校级初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分），A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角度数是 ，E组人数占参赛选手的百分比是 ；
（3）学校准备组成8人代表队参加县级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
答案：（1）40，频数分布直方图见详解；
（2）108°，15%；
（3）
小问1解析：
参加初赛的选手共有：8÷20%=40（人），
B组有：40×25%=10（人）．
频数分布直方图补充如下：
故答案为40；
小问2解析：
C组对应的圆心角度数是：360°×=108°，
E组人数占参赛选手的百分比是：×100%=15%；
小问3解析：
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，
∴抽取两人恰好是一男生和一女生的概率为．
21. 在中，是斜边上的高．

（1）证明：；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
小问2解析：
∵
∴，
又
∴．
22. 数学于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍．
（1）求每套《古今数学思想》的价格；
（2）学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？
答案：（1）125元
（2）20套
小问1解析：
解：设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每套《古今数学思想》的价格是125元；
小问2解析：
解：设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为20．
答：《古今数学思想》最多能买20套．
23. 如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于点C，交⊙O于D．
（1）求证AE平分∠BAC；
（2）若OA＝5，EC＝4，求AD的长．
答案：（1）见解析 （2）6
小问1解析：
如图1，连接，
由题意知，
∴
∵
∴
∴
∴
∴AE平分∠BAC．
小问2解析：
如图2，连接交于点
∴，
∵
∴
∴垂直平分
∴
∵
∴四边形是矩形
∴
∴
在中，由勾股定理得
∴AD的长为6．
24. 定义：若直线：与函数交于、两点，将叫做函数在直线上的弦长，且，其中叫做函数在直线上的截距．
（1）求出在轴上的截距；
（2）若直线过定点，抛物线在该直线上的弦长等于，求直线的解析式；
（3）若二次函数与反比例函数在第一象限交于点，在第三象限交于、两点．
若、两点的横纵坐标均为整数，请直接写出正整数的值；
若，求该二次函数在直线上的截距的取值范围．
答案：（1）；
（2）；
（3）或；．
小问1解析：
令，
解得：或，
则截距；
小问2解析：
设直线的表达式为：，
联立直线和抛物线的表达式得：，即，
则，，
则弦长
解得：；
则直线表达式为：；
小问3解析：
联立两个函数表达式得：，
整理得：，
∵两个函数在第三象限交于、两点，则，
若、两点的横纵坐标均为整数，则
或，则，解得：，
或，则，解得：，
或，则，解得：（舍去），
或，则，解得：（舍去），
综上可知：或；
由知，，，
设二次函数在直线上的截距 ，
∵，
则．
25. 已知直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求的度数；
（2）如图，连接、、，点在直线上运动，若和相似，求点的坐标；
（3）点为线段上任意一点（不与、重合），经过三点的圆交直线于点，当面积最大时，求出面积的最大值及此时点的坐标．
答案：（1）；
（2）或或；
（3）面积，的坐标．
小问1解析：
如图，过作轴于点，则，
由得，当时，，当时，，
∴点，，
∴，
∴，
∵的坐标为，
∴，，
∴，
∴
∴；
小问2解析：
如图，由（）得，点，，，
由勾股定理得，
，
设，则，
当，
∴，即，
∴，
解得：，，
∴,
∴，
同理，
当，
∴，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴，
综上可知：或或；
小问3解析：
如图，设经过三点的圆的圆心为，由（）得，
∴为直径，
由面积为，要使面积最大则，
当轴时，面积最大，
∴，
∵，
∴，
∴的坐标，面积．