重庆市万州区2024—2025学年九年级上学期数学期末模拟(1)（解析版）-A4

这是一份重庆市万州区2024—2025学年九年级上学期数学期末模拟(1)（解析版）-A4，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（40分）
1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≥3B. x≤3C. x＞3D. x＜3
【答案】D
【解析】
【分析】如果一个式子中含有二次根式，那么二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴＞0，
解得x＜3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中被开方数的取值范围的求法，即二次根式中的被开方数是非负数．
2. 2024年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A. 鱼戏莲叶东B. 大漠孤烟直C. 手可摘星辰D. 黄河入海流
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此逐项分析即可．
【详解】解：A、是随机事件，故不符合题意；
B、是随机事件，故不符合题意；
C、是不可能事件，故符合题意；
D、是必然事件，故不符合题意；
故选：C．
4. 反比例函数经过点，则反比例函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将点代入，求出k的值即可．
详解】解：将点代入得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求解反比例函数表达式的方法．
5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）

A. 8B. 16C. 24D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质，解题关键是掌握位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．由可得，从而和的相似比为，即可求出的周长．
【详解】解：∵，，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，，
∴和的相似比为，
∵的周长为8，
∴的周长为24．
故选：C
6. 估算的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和3之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，先根据二次根式的运算法则把化简，再对结果估算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴．
故选B．
7. 如图是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第9个化合物的分子式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查规律型−数字的变化类,列代数式等知识点，观察图形，发现其中的规律即可得到答案，观察图形得到规律是解题关键．
【详解】观察图形可得C右下角的数字是从1开始连续的正整数，H右下角的数字是从4开始的偶数，
∴第n个化合物的分子式为，
∴第9个化合物分子式为，
故选：D．
8. 已知实数满足，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识，由题意得到是一元二次方程的两个实数根，再由根与系数的关系得到，再化简代值即可得到答案．
【详解】解：实数满足，，
是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：B．
9. 如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，，连接， 若为的中点，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．先有正方形的性质和勾股定理得到，推出，延长到，使，连接，过点作的垂线，垂足为，再证明为的中位线，接着证明是等腰直角三角形，进而由勾股定理得到，则，由勾股定理得，最后由得到答案．
【详解】解：延长到，使，连接，过点作的垂线，垂足为
四边形是正方形
，
在中，
为的中点，为的中点
为的中位线
四边形是正方形
是等腰直角三角形
，
在中，由勾股定理得
故选：C．
10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：
①方程倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程；
其中正确的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
①解方程即可判断；
②解方程可知，，由题意可知，或，然后依次将其分别代入
可判断；
③由题意可知，，由可转化车，由十字相乘法，可知，解得，，从而判断其符合倍根方程的定义．
【详解】解：
解得，
①错误；
解，可知，，由题意可知，或
当时，，将其代入
可知
当时，，将其代入
可知
可知②正确；
点在反比例函数的图象上
将其代入，整理得，由十字相乘法，可知，解得，，从而判断其符合倍根方程的定义．
故③正确．
所以正确的个数为2个
故选：C．
二、填空题（32分）
11. 计算：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值，化简二次根式，零次幂和负整数指数幂．先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查画树状图法求等可能事件的概率；画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图：
由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等．
两本是《三国演义》和《西游记》的结果有2种，
所以P（两本是《三国演义》和《西游记》）．
故答案为：．
13. 一个多边形的内角和与外角和的差是，则它的边数为______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和及外角和．根据边形的内角和公式及外角和为，结合题意列式计算即可求解．
【详解】解：设多边形的边数为，由题意得
，
解得：，
故答案为：7．
14. 2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（），欣欣家国”“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈，某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为115件，3月份销售量为216件，设该款上衣销售量的月平均增长率为，则可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该款上衣3月份销售量＝该款上衣1月份销售量×（1＋该款上衣销售量的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】根据题意得：，
故答案为：．
15. 如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为DE，，得到，若厘米，则的边的长为______厘米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、折叠的性质等，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．过点作于，由，可求得的长，由翻折可知、，根据，将数据代入相加即可得．
【详解】解：过点作于，
∵，，
∴，
由翻折得，，
∴，
故答案为：
16. 若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的和为 _______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，一元二次方程的判别式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．先求得不等式组的解集为；由不等式有且只有四个整数解，则，解得，那么可以为，，，，然后根据一元二次方程的判别式进行判断即可．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
；
不等式组有且仅有四个整数解，
，
解得：；
关于的一元二次方程有实数根，
，，
，；
为整数，且，
可以是，，，
则符合条件的所有整数的和为；
故答案为：0．
17. 如图，在菱形中，点为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，交于点，连接，交于点，已知，则_______，=______．
【答案】 ①. ②. 23
【解析】
【分析】过点B作于点M，然后利用勾股定理计算即可得到长；过点F作交AD、的延长线于点P、Q，在PD上截取，连接，可以得到，进而求得，，然后根据平行线分线段成比例解题即可．
【详解】解：过点B作于点M，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
过点F作交AD、的延长线于点P、Q，在PD上截取，连接，
∵是菱形，
∴，，，
由旋转可得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴DP=2，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，菱形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18. 一个四位数，其中均为两位数，的十位数字相同且，则的最小值是_____；将放在的左边形成一个新的四位数，我们称为的“合构数”，若的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除，且能被17整除，则满足条件的的最小值是_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，整除，根据当最大数不超过时，，当时，，根据能被17整除，可知，中必有一个是的整数倍，即为，68，，然后根据“的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除”逐一检验即可解题．
【详解】解：设较大的两位数是，则较小的两位数是，
则，
∵A是四位数，
当时，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴ 的最小值是，
∵能被17整除，
∴，中必有一个是的整数倍，即为，68，；
当时，，数，这时不能被整除，不符合题意；
当时，，数，这时不能被整除，不符合题意；
当时，，数，这时能被整除，不符合题意；
当时，，数，这时能被整除，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，数，这时能被整除，不符合题意；
故满足条件的的最小值是，
故答案为：1023，．
三、解答题（19题8分，其余各题每题10分，共78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据单项式乘以多项式以及平方差公式展开，再进行合并同类项，即可作答；
（2）先将除以，改为乘以，再根据多项式乘以单项式法则，分别进行计算，最后再进行同分母的分式的加减法即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
20. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
【答案】（1）7.5，8，8
（2）200人 （3）八年级的学生成绩更优异，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，中位数、众数，利用样本估计总体等：
（1）根据中位数、众数的定义求解；
（2）利用样本估计总体思想求解；
（3）从合格率或中位数方面进行比较．
【小问1详解】
解：七年级抽取的20名学生中，将成绩按从小到大的顺序排列，由条形统计图可知，第10位学生的成绩是7分，第11位学生的成绩是8分，
∴七年级抽取学生的成绩的中位数是，即；
同理可求得八年级抽取学生成绩的中位数是8，即；
八年级抽取的学生成绩中，8分出现的次数最多，
∴众数是8，即，
故答案为：7.5，8，8；
【小问2详解】
解：（人），
即该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的约有200人；
【小问3详解】
解：八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异，因为八年级的中位数高于七年级的中位数．
21. 在学习了菱形的相关知识后，小明同学进行了关于菱形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意平行四边形，满足对角线平分其中一个内角，则该平行四边形是菱形．可利用三角形的全等和菱形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空．
（1）尺规作图：在四边形中，作的角平分线，交于点，在上取一点、使得，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）：
（2）在（1）所作的图中，其中，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：，_____①_____，
四边形是平行四边形，
平分，
_____②_____，
，
，
_____③_____，
，
平行四边形是菱形．
请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：_____④_____是菱形．
【答案】（1）见解析 （2），，，对角线平分其中一个内角的平行四边形
【解析】
【分析】本题考查了作角平分线，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定；
（1）根据题意作出的角平分线，作
（2）根据平行四边形的判定，角平分线的定义，等角对等边，完成填空，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：对角线平分其中一个内角的平行四边形是菱形．
故答案为：，，，对角线平分其中一个内角的平行四边形．
22. 为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加，求a的值．
【答案】（1）A品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．
【解析】
【分析】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意分别表示A品种、B品种今年的收入，利用总收入等于A品种、B品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案．
【详解】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
，
解得．
答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得：．
令a%=m，则方程化为：．
整理得10m2-m=0，
解得：m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，
答：a的值为10．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方法与步骤是解题的关键．
23. 如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当它到达点时停止运动；同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，过点作直线平行于，点为直线上的一点，满足的面积为2，设点、点的运动时间为，的面积为，的长度为．
（1）分别求出，与的函数关系，并注明的取值范围；
（2）在坐标系中画出，的函数图象，并写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）
【答案】（1），
（2）见解析 （3）（右端值可为4.6，4.7，4.8，4.9）
【解析】
【分析】本题考查了函数的综合题，函数与动点问题，画函数图象，比较函数值的大小，正确理解图形中的动点问题是解题的关键．
(1)根据三角形面积公式直接求解析式即可；
(2)利用描点法画出函数图象；
(3)当时，即为的图象在图象的上方，观察图象，即可得到答案．
【小问1详解】
解：当点在线段上时，
当点在线段上时，
当点在线段上时，
综上所述，
的面积为2
【小问2详解】
解：函数图象如图所示：
【小问3详解】
解：观察图象可知时，的取值范围为：（右端值可为4.6，4.7，4.8，4.9）．
24. 今年校庆期间，小南和小开相约从宿舍大门出发去参观学校的津之南美术馆．如图，小南选择路线1：，小开选择路线．经勘测，A，D，E三点共线，且点，点在点的北偏东方向上，点在点的正西方向，且在点的北偏西方向；点在点的正北方向，且在点的正东方向，所有点A，B，C，M，D，E都在同一平面内．测量得知，点恰好为中点，米，米．
（1）求A，E两地之间的距离（结果保留根号）；
（2）已知小南的速度为每分钟50米，小开的速度为每分钟60米，小南和小开同时从宿舍大门A出发沿着各自选择的路线匀速前往津之南美术馆M，请通过计算时间说明他们俩谁先到达M（时间精确到0.1）？（参考数据：）
【答案】（1）米
（2）小开先到达M
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质：
（1）作于N，交于H，先证四边形是矩形，推出．设，则，利用锐角三角函数解和求出x的值，进而求出，再解即可；
（2）通过解直角三角形分别计算出和的长度，再结合二人速度求出二人所用时间，比较大小即可．
【小问1详解】
解：如图，作于N，交于H，
由题意知，
，
，
四边形是矩形，
．
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得，即，
，
，
在中，，
A，E两地之间的距离为米；
【小问2详解】
解：在中，，
由（1）知四边形是矩形，
，
等腰中，，
，
，
（米），
（米），
小南所用时间为：（分钟），
小开所用时间为：（分钟），
，
小开先到达M．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点，
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，其中，两点在反比例函数图象上，且点横坐标为，点坐标为，当为直角三角形时，求的值．
【答案】（1）
（2）存在，点的坐标为：或；
（3）
【解析】
【分析】本题为反比例函数综合题，主要考查了反比例函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是构造直角三角形和相似三角形是解本题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）当点在点右侧时，过点作直线，交轴于点，则点为所求点，即可求解；当点在点的左侧时，根据点的对称性即可求解；
（3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，有或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，即可求解．
【小问1详解】
设直线的表达式为：，
由点，点得
，解得
所以直线的表达式为：，
当时，即，则，
即点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
即反比例函数的表达式为：；
【小问2详解】
存在，理由：
点是反比例函数图象上一点，则点，
当点在点右侧时，
过点作直线，交轴于点，则点为所求点，
直线的表达式为：，，
则直线的表达式为：，
令，则，
解得：，则点，
则，
当点在点的左侧时，
则点的坐标为：，
即点，
综上，点的坐标为：或；
【小问3详解】
为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，
，
是直角三角形，
不可能为斜边，即，
或，
如图1，当时，过作轴于，过作轴于，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点坐标为，
，
此时，点不可能在反比例函数上，故该情况不存在；
②如图2，当时，过作轴于，过作轴交于，
，
，
，
，
，
，
，，
设，，
，
，
点坐标，点坐标．
，在上，
，
解得：；
综上，，
则点的坐标为：，
将点的坐标代入函数表达式得：．
26. 在中，，，点为上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接．
（1）如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度；
（2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：；
（3）如图3，与交于点，且平分，点是线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可得，可得，可得结论；
（3）先证明当点，点，点三点共线，且时，有最小值，再证明点，点，点三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解．
【小问1详解】
解：，，
，
，，
，
点为中点，
，
，
将绕着点逆时针方向旋转得到，
，，
；
【小问2详解】
证明：如图1，过点作交于点，
，，
，，
，
，，
，，
，
将绕着点逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
；
【小问3详解】
如图2，在上截取，连接，
平分，
，
又，
，
，
，
当点，点，点三点共线，且时，有最小值，
如图3，
，，
，
将沿直线翻折至所平面内得到，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
点，点，点三点共线，
将沿直线翻折至所在平面内得到，
，
，
，，
，
，
，
，
．
年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
众数
7
合格率
90%