重庆市南开中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷

这是一份重庆市南开中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷，共20页。

1．（4分）下列代数式中属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）使分式有意义的x的取值范围为（ ）
A．x＞﹣3B．x≠3C．x≠﹣3D．x＜3
3．（4分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a（x+y）＝ax+ayB．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
4．（4分）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中∠BAC＝∠EAD＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°，AE与BC相交于点F，若AB∥DE，则∠EFB的大小是（ ）
A．75°B．90°C．105°D．120°
5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：3，且△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．8B．10C．16D．36更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
6．（4分）估计（﹣2）的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
7．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形
8．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．3B．C．D．
10．（4分）在多项式a+b+c+d+e中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有k（2≤k≤5）项，并把绝对值符号内最右边项的“+”改为“﹣”，称此为“绝对操作”．最后将绝对值符号打开并化简，得到的结果记为M．例如：将原多项式添加绝对值符号后，可得|a+b|+c+d+e，此时k＝2．再将“+b”改为“﹣b”，可得|a﹣b|+c+d+e．于是同一种“绝对操作”得到的M有2种可能的情况：M＝a﹣b+c+d+e或M＝﹣a+b+c+d+e．下列说法正确的个数为①若k＝5，M＝0，则e＝a+b+c+d；②共有2种“绝对操作”，可能得到M＝a+b﹣c+d+e；③共有3种“绝对操作”，使得可能得到的M中有且只有2个“﹣”（ ）
A．0B．1C．2D．3
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：+（2021﹣π）0﹣（）﹣1＝ ．
12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 ．
13．（4分）有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，0，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则a≤0的概率是 ．
14．（4分）如图，直线OA解析式为y＝x，AB⊥x轴于点B，反比例函数过AB中点C，若△AOB的面积为2，则k的值为 ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝10，点D为边AC的中点，点E在边AB上，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，连接AF，CF，若CF＝6，则△FDE的面积是 ．
17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于y的分式方程3﹣有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ．
18．（4分）对于四位数M＝，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），则＝ ；若一个四位数M＝1201+1000a+100b+30c+d（0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且F（M）除以13余1，则满足条件的M的最大值为 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，珈珈的思路是：过点A作BE的垂线AG，垂足为G，交线段BC于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．
证明：用直尺和圆规过点A作BE的垂线AG交BE于点G，交BC于点F，连接EF（只保留作图痕迹）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① ，∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴② ，
∴AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∠AGB＝∠FGB＝90°，
又∵BG＝BG，
∴△ABG≌△FBG（ASA），
∴③ ，
∵AB＝AE，AF⊥BE，
∴AF垂直平分BE，
∴④ ，
∴BF＝BA＝EF＝AE，
∴四边形ABFE是菱形．
20．（10分）计算：
（1）（a﹣2b）2﹣（a﹣b）（﹣b﹣a）+3a•2b； （2）．
21．（10分）入学考试前，某语文老师为了了解所任教的甲、乙两班学生暑假期间的语文基础知识背诵情况，对两个班的学生进行了语文基础知识背诵检测，满分100分．现从两个班分别随机抽取了20名学生的检测成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为五组：
A.0≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
甲班20名学生的成绩为：
乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：93，91，92，94，92，92，92
甲、乙两班抽取的学生成绩数据统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班中哪个班的学生基础知识背诵情况较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若甲、乙两班总人数为120，且都参加了此次基础知识检测，估计此次检测成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
22．（10分）如图1，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着BA运动到A点停止，作DE⊥AB交直线AC于E，设AD+CE＝y，点D的运动时间为t．
（1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围；
（2）在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质；
（3）结合图象直接写出y＝5时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2）
23．（10分）2022年夏天，重庆多地高温，露营广受市民喜爱．某电商购进一批A型帐篷和B型帐篷，已知一顶A型帐篷的进价比一顶B型帐篷的进价多80元，购买40顶A型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同．
（1）每顶A型帐篷和B型帐篷的进价分别是多少元？
（2）7月份该电商以300元每顶售出A型帐篷120顶，以200元每顶售出B型帐篷150顶．8月份电商决定调整价格，每顶A型帐篷的售价不变，每顶B型帐篷的售价在7月的基础上下降了m元，由于气温持续攀升，8月份A型帐篷的销量比7月份增加了0.2m顶，B型帐篷的销量比7月份增加了m顶，商家在8月份获利10840元，求m的值．
24．（10分）夜晚，小明站在两路灯AB、CD之间的点F处，小明身高EF＝1.5m，如图，若BD＝10m，他在路灯AB下的影子为FM，在路灯CD下的影子为FN．
（1）若FB＝4m，FN＝3m，求路灯CD的高度？
（2）若AB和CD的高度都恰好等于（1）中CD的高度，小明在两路灯AB、CD之间行走（不包括点B，点D），则线段NM的长是否为定值？若是，请求出NM的长；若不是，请说明理由．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣6，0），点B的坐标是（4，0）．等腰Rt△BOC的顶点C在y轴正半轴．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，点D为线段BC上一动点，E为直线AC上一点，连接DE且满足DE平行于y轴，连接BE，求△BDE面积取得最大值，并求出此时E的坐标；
（3）在第（2）问△BDE面积取得最大值条件下，如图3，将△AOC绕点O顺时针旋转得到△A1OC1，点C1恰好落在直线DE上，将△A1OC1沿着直线AC平移得到△A2O2C2，平移过程中是否存在某一时刻，使得△A2O2C是以O2C为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点O2的坐标；若不存在，说明理由．
26．（10分）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，点E在边BC上，且AE⊥CD交CD于点F．
（1）如图1，当∠ACB＝60°时，若CD＝，求AF的长；
（2）如图2，当∠ACB＝45°时，连接BF，求证：CD+DF＝AF+BF；
（3）如图3，当∠ACB＝75°时，直接写出的值．
重庆市南开中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试模拟
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列代数式中属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）使分式有意义的x的取值范围为（ ）
A．x＞﹣3B．x≠3C．x≠﹣3D．x＜3
3．（4分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a（x+y）＝ax+ayB．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
4．（4分）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中∠BAC＝∠EAD＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°，AE与BC相交于点F，若AB∥DE，则∠EFB的大小是（ ）
A．75°B．90°C．105°D．120°
5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：3，且△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．8B．10C．16D．36
6．（4分）估计（﹣2）的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
7．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形
8．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．3B．C．D．
10．（4分）在多项式a+b+c+d+e中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有k（2≤k≤5）项，并把绝对值符号内最右边项的“+”改为“﹣”，称此为“绝对操作”．最后将绝对值符号打开并化简，得到的结果记为M．例如：将原多项式添加绝对值符号后，可得|a+b|+c+d+e，此时k＝2．再将“+b”改为“﹣b”，可得|a﹣b|+c+d+e．于是同一种“绝对操作”得到的M有2种可能的情况：M＝a﹣b+c+d+e或M＝﹣a+b+c+d+e．下列说法正确的个数为①若k＝5，M＝0，则e＝a+b+c+d；②共有2种“绝对操作”，可能得到M＝a+b﹣c+d+e；③共有3种“绝对操作”，使得可能得到的M中有且只有2个“﹣”（ ）
A．0B．1C．2D．3
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：+（2021﹣π）0﹣（）﹣1＝ ．
12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 ．
13．（4分）有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，0，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则a≤0的概率是 ．
14．（4分）如图，直线OA解析式为y＝x，AB⊥x轴于点B，反比例函数过AB中点C，若△AOB的面积为2，则k的值为 ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝10，点D为边AC的中点，点E在边AB上，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，连接AF，CF，若CF＝6，则△FDE的面积是 ．
17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于y的分式方程3﹣有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ．
18．（4分）对于四位数M＝，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），则＝ ；若一个四位数M＝1201+1000a+100b+30c+d（0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且F（M）除以13余1，则满足条件的M的最大值为 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，珈珈的思路是：过点A作BE的垂线AG，垂足为G，交线段BC于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．
证明：用直尺和圆规过点A作BE的垂线AG交BE于点G，交BC于点F，连接EF（只保留作图痕迹）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① ，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴② ，
∴AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∠AGB＝∠FGB＝90°，
又∵BG＝BG，
∴△ABG≌△FBG（ASA），
∴③ ，
∵AB＝AE，AF⊥BE，
∴AF垂直平分BE，
∴④ ，
∴BF＝BA＝EF＝AE，
∴四边形ABFE是菱形．
20．（10分）计算：
（1）（a﹣2b）2﹣（a﹣b）（﹣b﹣a）+3a•2b；
（2）．
21．（10分）入学考试前，某语文老师为了了解所任教的甲、乙两班学生暑假期间的语文基础知识背诵情况，对两个班的学生进行了语文基础知识背诵检测，满分100分．现从两个班分别随机抽取了20名学生的检测成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为五组：
A.0≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
甲班20名学生的成绩为：
乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：93，91，92，94，92，92，92
甲、乙两班抽取的学生成绩数据统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班中哪个班的学生基础知识背诵情况较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若甲、乙两班总人数为120，且都参加了此次基础知识检测，估计此次检测成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
22．（10分）如图1，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着BA运动到A点停止，作DE⊥AB交直线AC于E，设AD+CE＝y，点D的运动时间为t．
（1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围；
（2）在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质；
（3）结合图象直接写出y＝5时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2）
23．（10分）2022年夏天，重庆多地高温，露营广受市民喜爱．某电商购进一批A型帐篷和B型帐篷，已知一顶A型帐篷的进价比一顶B型帐篷的进价多80元，购买40顶A型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同．
（1）每顶A型帐篷和B型帐篷的进价分别是多少元？
（2）7月份该电商以300元每顶售出A型帐篷120顶，以200元每顶售出B型帐篷150顶．8月份电商决定调整价格，每顶A型帐篷的售价不变，每顶B型帐篷的售价在7月的基础上下降了m元，由于气温持续攀升，8月份A型帐篷的销量比7月份增加了0.2m顶，B型帐篷的销量比7月份增加了m顶，商家在8月份获利10840元，求m的值．
24．（10分）夜晚，小明站在两路灯AB、CD之间的点F处，小明身高EF＝1.5m，如图，若BD＝10m，他在路灯AB下的影子为FM，在路灯CD下的影子为FN．
（1）若FB＝4m，FN＝3m，求路灯CD的高度？
（2）若AB和CD的高度都恰好等于（1）中CD的高度，小明在两路灯AB、CD之间行走（不包括点B，点D），则线段NM的长是否为定值？若是，请求出NM的长；若不是，请说明理由．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣6，0），点B的坐标是（4，0）．等腰Rt△BOC的顶点C在y轴正半轴．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，点D为线段BC上一动点，E为直线AC上一点，连接DE且满足DE平行于y轴，连接BE，求△BDE面积取得最大值，并求出此时E的坐标；
（3）在第（2）问△BDE面积取得最大值条件下，如图3，将△AOC绕点O顺时针旋转得到△A1OC1，点C1恰好落在直线DE上，将△A1OC1沿着直线AC平移得到△A2O2C2，平移过程中是否存在某一时刻，使得△A2O2C是以O2C为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点O2的坐标；若不存在，说明理由．
26．（10分）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，点E在边BC上，且AE⊥CD交CD于点F．
（1）如图1，当∠ACB＝60°时，若CD＝，求AF的长；
（2）如图2，当∠ACB＝45°时，连接BF，求证：CD+DF＝AF+BF；
（3）如图3，当∠ACB＝75°时，直接写出的值．
重庆市南开中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试模拟
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列代数式中属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
2．（4分）使分式有意义的x的取值范围为（ ）
A．x＞﹣3B．x≠3C．x≠﹣3D．x＜3
【答案】B
3．（4分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a（x+y）＝ax+ayB．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【答案】B
4．（4分）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中∠BAC＝∠EAD＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°，AE与BC相交于点F，若AB∥DE，则∠EFB的大小是（ ）
A．75°B．90°C．105°D．120°
【答案】C
5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：3，且△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．8B．10C．16D．36
【答案】D
6．（4分）估计（﹣2）的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【答案】B
7．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】C
8．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
9．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
10．（4分）在多项式a+b+c+d+e中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有k（2≤k≤5）项，并把绝对值符号内最右边项的“+”改为“﹣”，称此为“绝对操作”．最后将绝对值符号打开并化简，得到的结果记为M．例如：将原多项式添加绝对值符号后，可得|a+b|+c+d+e，此时k＝2．再将“+b”改为“﹣b”，可得|a﹣b|+c+d+e．于是同一种“绝对操作”得到的M有2种可能的情况：M＝a﹣b+c+d+e或M＝﹣a+b+c+d+e．下列说法正确的个数为①若k＝5，M＝0，则e＝a+b+c+d；②共有2种“绝对操作”，可能得到M＝a+b﹣c+d+e；③共有3种“绝对操作”，使得可能得到的M中有且只有2个“﹣”（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：+（2021﹣π）0﹣（）﹣1＝ ﹣4 ．
【答案】﹣4．
12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 7 ．
【答案】见试题解答内容
13．（4分）有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，0，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则a≤0的概率是 ．
【答案】．
14．（4分）如图，直线OA解析式为y＝x，AB⊥x轴于点B，反比例函数过AB中点C，若△AOB的面积为2，则k的值为 2 ．
【答案】2．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 8﹣2π ．
【答案】见试题解答内容
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝10，点D为边AC的中点，点E在边AB上，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，连接AF，CF，若CF＝6，则△FDE的面积是 ．
【答案】．
17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于y的分式方程3﹣有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ﹣13 ．
【答案】﹣13．
18．（4分）对于四位数M＝，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），则＝ 82 ；若一个四位数M＝1201+1000a+100b+30c+d（0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且F（M）除以13余1，则满足条件的M的最大值为 6939 ．
【答案】82；6939．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，珈珈的思路是：过点A作BE的垂线AG，垂足为G，交线段BC于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．
证明：用直尺和圆规过点A作BE的垂线AG交BE于点G，交BC于点F，连接EF（只保留作图痕迹）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① AD∥BC ，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴② ∠ABE＝∠AEB ，
∴AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∠AGB＝∠FGB＝90°，
又∵BG＝BG，
∴△ABG≌△FBG（ASA），
∴③ AB＝BF ，
∵AB＝AE，AF⊥BE，
∴AF垂直平分BE，
∴④ BF＝EF ，
∴BF＝BA＝EF＝AE，
∴四边形ABFE是菱形．
【答案】AD∥BC，∠ABE＝∠AEB，AB＝BF，BF＝EF．
20．（10分）计算：
（1）（a﹣2b）2﹣（a﹣b）（﹣b﹣a）+3a•2b；
（2）．
【答案】（1）2a2+2ab+3b2；
（2）．
21．（10分）入学考试前，某语文老师为了了解所任教的甲、乙两班学生暑假期间的语文基础知识背诵情况，对两个班的学生进行了语文基础知识背诵检测，满分100分．现从两个班分别随机抽取了20名学生的检测成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为五组：
A.0≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
甲班20名学生的成绩为：
乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：93，91，92，94，92，92，92
甲、乙两班抽取的学生成绩数据统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值：a＝ 40 ；b＝ 92.5 ；c＝ 91 ；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班中哪个班的学生基础知识背诵情况较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若甲、乙两班总人数为120，且都参加了此次基础知识检测，估计此次检测成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
【答案】见试题解答内容
22．（10分）如图1，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着BA运动到A点停止，作DE⊥AB交直线AC于E，设AD+CE＝y，点D的运动时间为t．
（1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围；
（2）在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质；
（3）结合图象直接写出y＝5时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）y＝；
（2）画出函数图象见解答过程；当t＝3时，y取最小值3（答案不唯一）；
（3）t≈2.3或t≈5.0．
23．（10分）2022年夏天，重庆多地高温，露营广受市民喜爱．某电商购进一批A型帐篷和B型帐篷，已知一顶A型帐篷的进价比一顶B型帐篷的进价多80元，购买40顶A型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同．
（1）每顶A型帐篷和B型帐篷的进价分别是多少元？
（2）7月份该电商以300元每顶售出A型帐篷120顶，以200元每顶售出B型帐篷150顶．8月份电商决定调整价格，每顶A型帐篷的售价不变，每顶B型帐篷的售价在7月的基础上下降了m元，由于气温持续攀升，8月份A型帐篷的销量比7月份增加了0.2m顶，B型帐篷的销量比7月份增加了m顶，商家在8月份获利10840元，求m的值．
【答案】（1）每顶A型帐篷进价240元，B型帐篷的进价160元；
（2）20．
24．（10分）夜晚，小明站在两路灯AB、CD之间的点F处，小明身高EF＝1.5m，如图，若BD＝10m，他在路灯AB下的影子为FM，在路灯CD下的影子为FN．
（1）若FB＝4m，FN＝3m，求路灯CD的高度？
（2）若AB和CD的高度都恰好等于（1）中CD的高度，小明在两路灯AB、CD之间行走（不包括点B，点D），则线段NM的长是否为定值？若是，请求出NM的长；若不是，请说明理由．
【答案】（1）4.5m；
（2）线段NM的长是定值，NM的长5m．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣6，0），点B的坐标是（4，0）．等腰Rt△BOC的顶点C在y轴正半轴．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，点D为线段BC上一动点，E为直线AC上一点，连接DE且满足DE平行于y轴，连接BE，求△BDE面积取得最大值，并求出此时E的坐标；
（3）在第（2）问△BDE面积取得最大值条件下，如图3，将△AOC绕点O顺时针旋转得到△A1OC1，点C1恰好落在直线DE上，将△A1OC1沿着直线AC平移得到△A2O2C2，平移过程中是否存在某一时刻，使得△A2O2C是以O2C为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点O2的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝；（2）面积最大值为；E（2，）；（3）存在，点O2的坐标为（6，4）或（）或（）．
26．（10分）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，点E在边BC上，且AE⊥CD交CD于点F．
（1）如图1，当∠ACB＝60°时，若CD＝，求AF的长；
（2）如图2，当∠ACB＝45°时，连接BF，求证：CD+DF＝AF+BF；
（3）如图3，当∠ACB＝75°时，直接写出的值．
【答案】（1）．（3）．甲班
82
85
96
73
91
99
87
91
86
91
87
94
89
96
96
91
100
93
94
99
班级
甲班
乙班
平均数
91
92
中位数
91
b
众数
c
92
方差
41.2
27.3
甲班
82
85
96
73
91
99
87
91
86
91
87
94
89
96
96
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100
93
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班级
甲班
乙班
平均数
91
92
中位数
91
b
众数
c
92
方差
41.2
27.3
甲班
82
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73
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班级
甲班
乙班
平均数
91
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中位数
91
b
众数
c
92
方差
41.2
27.3