2022-2023学年安徽省六安市霍邱县九年级上学期数学第三次月考试题及答案

这是一份2022-2023学年安徽省六安市霍邱县九年级上学期数学第三次月考试题及答案，共22页。
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 若∠A为锐角，且sinA＝，则csA的值是( )
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由正弦求出∠A，再求出∠A的余弦．
【详解】因为，sinA＝，
所以，∠A=60°
所以，csA=cs60°=
故选D
2. 对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线x＝﹣2
C. 顶点坐标是（2，1）D. 与x轴有两个交点
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用3（x﹣2）2+1＝0的实数解的个数对D进行判断．
【详解】解：二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），
当y＝0时，3（x﹣2）2+1＝0，整理得：，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3. 在中，，，．下列四个选项，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】解：如图，
在中，，，
∴根据勾股定理得：，
∴，，，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
4. 如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC=8cm，内部△DEF的各边与△ABC的各边分别平行，且它的斜边EF=4cm，则△DEF 的面积与阴影部分的面积比为（ ）
A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：8
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知把向两边延长，交 于点，交于点，先证明，然后求出它们的面积比即可解答．
【详解】解：把向两边延长，交于点，交于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
的面积与阴影部分的面积比为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，解题的关键是根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线．
5. 如图，DE∥BC，且：：，，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论．
【详解】解：，
，
即，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
6. 一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为（ ）
A. 3＜x＜－4B. x＜－4C. －4＜x＜3D. x ＞3或x＜－4
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象结合不等式ax2+bx+c＞mx+n可直接进行求解．
【详解】解：由图象可知二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y1=mx+n(m≠0)的交点横坐标分别为，
∵不等式ax2+bx+c＞mx+n，即二次函数的图象要在一次函数的图象的上方，
∴不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为－4＜x＜3；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
7. 已知，则锐角A的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题主要考查了余弦函数的增减性及互余三角函数之间的关系，尤其余弦函数的增减性容易出错．
8. 如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点固定，且始终有，当顶点C在函数的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则ABC的面积大小变化情况是（ ）
A. 先减小后增大B. 先增大后减小C. 一直不变D. 先增大后不变
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形ABC的面积是点C的横坐标与纵坐标的乘积除以2，和点C在函数的图象上，可以解答本题．
【详解】解：∵等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数的图象上运动，且AC=BC，
设点C的坐标为，
∴，
即△ABC的面积不变，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是将反比例的系数k与三角形的面积联系在一起．
9. 将进货单价为30元的某种商品按零售价100元1件卖出时，每天能卖出20件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大的利润，则应降价（ ）
A. 5元B. 15元C. 25元D. 35元
【答案】C
【解析】
【分析】设应降价元，利润为,根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：设应降价元，根据题意得，
．
∵，
∴ 当时，取得最大值，
为了获得最大的利润，则应降价25元．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
10. 如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ）

A. B. 3C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．
【详解】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得,
过点D作于点E，如图，

∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴,
在中,
∴
∵
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若，则＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】设a=3k，b=2k，将a，b代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴设a=3k，b=2k，
将a=3k，b=2k代入，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，把a，b换元是解本题的关键．
12. 若三角形三个内角的比为，则它的最长边与最短边的比为________．
【答案】##2
【解析】
【分析】先根据三个内角的度数之比为利用设k法求出三个内角的度数，是含的直角三角形性质即可解答．
【详解】解：根据题意，设三个内角分别是，
则，
解得，
∴这个三角形的三个内角分别是，
∴它的最长边与最短边之比为：（角所对的直角边等于斜边的一半）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的边的关系，求出三角形三个内角的度数是解题的关键，也是突破口．
13. 如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，利用勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图：连接，
由题意得：
，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4．则：（1）________；（2）________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据两个正方形面积可得，设，则，由勾股定理得，，解方程可得x的值，从而解决问题．
【详解】解：∵大正方形的面积是，
∴，
∵小正方形的面积是4，
∴小正方形的边长为，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
解得或（负值舍去），
∴，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出的长是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】将各特殊角的三角函数值代入化简求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】有关三角函数值的计算是一种重要题型，解这类问题时，要在熟记各种特殊角的三角函数值的基础上，先将各角的三角函数值代入，然后化简计算或者先根据代数式的特点，化简整理后再代入求值．
16. 如图，是△中边上的高，且，，．求的长．
【答案】
【解析】
【分析】解，得出，解，得出，根据，即可求解．
【详解】是中边上的高，
，
．
在中，
，
．
在中，
，
．
∴，
即的长为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于x轴对称的，点的坐标为 ；
（2）以原点O为位似中心，在x轴上方画出放大2倍后的，点的坐标为 ．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；．
【解析】
【分析】（1）分别确定A，B，C关于x轴对称的对称点，，，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标；
（2）分别确定A，B，C关于原点O的位似对应点，，，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标；
小问1详解】
解：如图，，即为所求作的三角形，
由图象可得，
【小问2详解】
如图，，即为所求作，
由图象可得，
【点睛】本题考查的是画关于x轴对称的三角形，画关于原点位似的三角形，以及确定对称与位似的对应点的坐标，掌握“轴对称与位似的性质进行画图”是解本题的关键．
18. 如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°和北偏东15°．
（1）求∠C度数；
（2）求B处船与小岛C的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）30° （2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）过点B作BD⊥AC与点D，根据已知可求得BD的长，再根据三角函数即可求得BC的长．
【小问1详解】
解：由题意可知∠ABC＝90°＋15°＝105°，
∴∠C＝180°－105°－45°＝30°．
【小问2详解】
解：作BD⊥AC于D点，则∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△ABD中，，∠BAC＝45°，
∴，
在Rt△CBD中，∠C＝30°，
∴．
即B处船与小岛C的距离为海里．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是把一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，是等腰直角三角形，，，，抛物线过点C．求抛物线的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作轴于点D，证明得到点C坐标，代入抛物线表达式中求解即可．
【详解】解：过点C作轴于点D，则,即，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴， 又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴点C的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形，添加辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．
20. 如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．
（1）若，，，试比较、的大小；
（2）若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义，分别表示出，进而根据角度比较函数值的大小即可求解；
（2）同（1）的方法，即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，
，
在中，，
，
又，
；
【小问2详解】
解：由（1）得，，
，
，
．
【点睛】本题考查了正弦的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 在2022年北京冬奥会上，为了得出一名滑雪运动员从山坡滑下时滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的函数关系式，测得一组相关数据如下表．
（1）以为横坐标，为纵坐标建立平面直角坐标系（如图所示）．请描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；
（2）观察图象，请你选用恰当的函数模型近似地表示与之间的函数关系，并求出这个函数关系式；
（3）如果该滑雪运动员滑行了，请你用（2）中的函数模型推算他滑行的时间．（参考数据：）
【答案】（1）见解析 （2）
（3）20秒
【解析】
【分析】（1）描点，连线，画出函数图象，
（2）由图象可得出与的关系可近似看成二次函数，再根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可；
（3）把代入（2）中解析式，解方程即可得出结论．
【小问1详解】
解：描点，连线，如图所示：
【小问2详解】
观察函数图象，与的关系可近似看成二次函数，
设关于的函数关系式为，将，代入，得：
，解得，
∴近似地表示关于的函数关系式为；
【小问3详解】
把代入得：，解得：，（舍去），
∴滑雪者滑行的时间是20秒．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且的面积为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？
【答案】（1）
（2）m的值为1或9
【解析】
【分析】（1）由一次函数解析式求得的坐标，根据三角形面积求得的纵坐标，代入一次函数解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）由于将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，则直线与反比例函数有且只有一个公共点，即方程只有一组解，再根据判别式的意义得到关于的方程，最后解方程求出的值．
【小问1详解】
解：一次函数中，
令，解得，
，
，
作于，
的面积为，
，即，
，
点的纵坐标为1，
代入中，求得，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，
直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，
，
整理得，
，
解得或，
即的值为1或9．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是将求反比例函数与一次函数的交点坐标问题，转化为将两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
八、（本题满分14分）
23. 在四边形中，，为对角线，．
（1）如图1，求证：平分；
（2）如图1，求，，求的长；
（3）如图2，若，E为的中点，连接、，与交于点F，，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，，可得，从而证明结论；
（2）根据，得，代入计算即可；
（3）由直角三角形斜边上中线的性质得，再运用勾股定理得，由，求得，再证明，从而解决问题．
【小问1详解】
证明：∵,
∴
又∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，解得
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵，点E为的中点，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
由（1）知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，运用前面探索的结论解决新问题是解题的根据．滑行时间
0
1
2
3
4
滑行距离
0
4.5
14
28.5
48