2025无锡澄宜六校高三上学期12月联考试题数学含解析

澄宜六校阶段性联合测试 高三数学 2024.12一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共计40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1． 已知集合，则A． B． C． D． 2． 已知i为虚数单位，复数z满足，则 A． 5 B． C． 2 D． 3． “直线与圆相交”是“”的A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件4． 已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是A． B． C． D． 5． 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是A． 4 B． 3 C． 2 D． 16． 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是A． B． C． D． 7． 已知是等比数列，且，则能使不等式成立的最大正整数n的值为A． 5 B． 6 C． 7 D． 88． 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为A． 2 B． 3 C． D． 4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9． 已知（，，）的部分图象如图所示，则A． B． 的最小正周期为C． 在内有3个极值点 D． 当时，与y = cosx的图象有3个交点10．已知函数及其导函数的定义域均为R，记．若，均为奇函数，且，则A． 关于直线对称 B． 关于点对称C． 的周期为4 D． 11．如图，在平行四边形ABCD中，，且，BF为的中线，将沿BF折起，使点C到点E的位置，连接AE，DE，CE，且，则A． EF⊥平面ABCD B． BC与DE所成的角为 C． AE与平面BEF所成角的正切值是D． 点C到平面BDE的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知等比数列的前n项和为，若，则 ．13．已知函数的两个极值点为，且，则实数a的最小值是 ．14．已知向量，，，，则的取值范围是 ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）已知数列的前n项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，设数列的前n项和，求证：．16．（本题满分15分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C；（2）求的取值范围．17．（本题满分15分）已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，点M是椭圆C的上顶点，以点M为圆心且过F的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴的交点分别是P，Q，求证：线段PQ中点的横坐标为定值．18．（本题满分17分）如图，在三棱锥中，侧面PAC是边长为2的正三角形，，，E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l．（1）证明：l∥平面PBC．（2）已知平面PAC⊥平面ABC，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角为，异面直线PQ，EF所成角为，且满足，求|AQ|．19．（本题满分17分）定义运算：，已知函数．（1）若函数的最大值为0，求实数a的值；（2）证明：；（3）若函数存在两个极值点，证明：．澄宜六校阶段性联合测试高三数学参考答案一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共计40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1． 已知集合，则A． B． C． D． 【答案】D2． 已知i为虚数单位，复数z满足，则 A． 5 B． C． 2 D． 【答案】B3． “直线与圆相交”是“”的A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件【答案】A4． 已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是A． B． C． D． 【答案】C5． 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是A． 4 B． 3 C． 2 D． 1【答案】D6． 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是A． B． C． D． 【答案】D7． 已知是等比数列，且，则能使不等式成立的最大正整数n的值为A． 5 B． 6 C． 7 D． 8【答案】C8． 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为A． 2 B． 3 C． D． 4【答案】B【解析】由题知，由正弦定理得，即，因为，所以，又，所以，得，所以最多有一个是钝角，所以，因为，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3．故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9． 已知（，，）的部分图象如图所示，则A． B． 的最小正周期为C． 在内有3个极值点 D． 当时，与y = cosx的图象有3个交点【答案】ABD10．已知函数及其导函数的定义域均为R，记．若，均为奇函数，且，则A． 关于直线对称 B． 关于点对称C． 的周期为4 D． 【答案】BCD【解析】因为为奇函数，所以，即，所以所以关于对称，故，A错误同时，又奇函数，则，所以关于对称，故B正确关于对称，结合，所以，所以，又，所以，所以 ，也即，所以所以是周期为4的函数，故C正确，， ，，，，故，D正确故选：BCD11．如图，在平行四边形ABCD中，，且，BF为的中线，将沿BF折起，使点C到点E的位置，连接AE，DE，CE，且，则A． EF⊥平面ABCD B． BC与DE所成的角为 C． AE与平面BEF所成角的正切值是D． 点C到平面BDE的距离为【答案】ACD【解析】因为，且，所以，．又为的中线，所以，．因为，所以．由题意，知，所以．又，且，平面，所以平面，故A正确；因为，所以或其补角即为与所成的角，连接，在中，，，，所以由余弦定理，得．在中，由勾股定理，得．所以在中，，．由余弦定理的推论，得，所以，所以与所成的角为，故B错误；因为，，，所以平面．又，所以平面．所以与平面所成的角为．中，，．所以，故C正确；因为，且，所以．又，所以．因为点到平面的距离为，所以由等体积法，得点到平面的距离为，故D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知等比数列的前n项和为，若，则 ．【答案】13．已知函数的两个极值点为，且，则实数a的最小值是 ．【答案】214．已知向量，，，，则的取值范围是 ．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）已知数列的前n项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，设数列的前n项和，求证：．【解析】（1）当时，，解得． …………………2分当时，，即．因为，且，所以，所以，…………………5分所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以． …………………6分（2）由（1）知：， …………………8分所以， …………………10分所以 …………………12分因为， 所以，． …………………13分16．（本题满分15分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C；（2）求的取值范围．【解析】（1）由，结合正弦定理可得，即， …………………3分所以，又，故； …………………5分（2）由（1）有由正弦定理可得： …………………7分 …………………9分 …………………11分因为△ABC是锐角三角形，故，解得， …………………13分则，所以，，所以，即的取值范围为． …………………15分17．（本题满分15分）已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，点M是椭圆的上顶点，以点M为圆心且过F的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴的交点分别是P，Q，求证：线段PQ的横坐标为定值．【解析】（1）设椭圆焦距为2c（）点M为圆心且过F的圆恰好与直线相切∴， ∴∴椭圆C的方程为 …………………5分（2）设直线l：，，，联立方程，得因为，直线l交椭圆C于A，B两点 所以， …………………7分所以，， …………………8分直线MA：令y = 0 得： …………………10分同理， …………………13分 所以，PQ中点的横坐标为． …………………15分18．（本题满分17分）如图，在三棱锥中，侧面PAC是边长为2的正三角形，，，E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l．（1）证明：l∥平面PBC．（2）已知平面PAC⊥平面ABC，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角为，异面直线PQ，EF所成角为，且满足，求|AQ|．【解析】（1）因为分别为的中点，所以，．又平面，平面，所以，平面． …………………2分又平面，平面与底面的交线为，所以，． …………………4分从而，．而平面，平面，所以，平面． …………………6分（2）取的中点记为，连接，因为是边长为2的正三角形，所以，．由（1）可知，在底面内过点A作的平行线，即平面与底面的交线．因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC = ACPD⊥AC，PD平面PAC所以平面．取AB的中点记为，连接，则．因为AC⊥BC，所以DM⊥AC．以为坐标原点，为正交基底，建立空间直角坐标系（如图所示），………9分则，，，，，，设．于是，，，．设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，即是平面的一个法向量，…………………11分所以．又直线与平面所成角为，于是． …………………13分又，而异面直线所成角为，于是． …………………15分假设存在点满足题设，则，即，所以．综上所述，|AQ| = 1． …………………17分19．（本题满分17分）定义运算：，已知函数．（1）若函数的最大值为0，求实数a的值；（2）证明：；（3）若函数存在两个极值点，证明：．【解析】（1）由题意知：，，①当时，f'x