2024-2025学年广西柳州市高三（上）月考数学试卷（一模）（含答案）

这是一份2024-2025学年广西柳州市高三（上）月考数学试卷（一模）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=1+i，则1z的虚部为( )
A. −12B. 12C. −i2D. 12−i2
2.对于非零向量a，b，“|a+b|=0”是“a//b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知双曲线C：y24−x2m=1的一条渐近线方程为y=− 2x，则m=( )
A. 1B. 2C. 8D. 16
4.若过点(2 3,0)与圆x2+y2=4相切的两条直线的夹角为α，则csα=( )
A. 55B. 2 55C. 13D. 23
5.点A，B的坐标分别是(−5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，则点M的轨迹方程是( )
A. x225+9y2100=1(x≠±5)B. x225+100y29=1(x≠±5)
C. x225−9y2100=1(y≠0)D. x225−100y29=1(y≠0)
6.设函数f(x)=cs(ωx+π6)(ω>0)，已知f(x1)=−1，f(x2)=1，且|x1−x2|的最小值为π4，则ω=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积为7 63，AB=2，A1B1=1，则AA1与底面ABCD所成角的正切值为( )
A. 32B. 3C. 2 3D. 4
8.设函数f(x)=xlnx−(a+b)lnx，若f(x)≥0，则5a+5b的最小值为( )
A. 1B. 2C. 5D. 2 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X服从正态分布，即X～N(3,9)，则( )
A. E(X)=27B. D(X)=9
C. P(X≥8)>P(X≤−1)D. P(X≤1)+P(X≤5)=1
10.过抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交E于A，B两点，经过点A和原点O的直线交抛物线的准线于点D，则下列说法正确的是( )
A. BD//OFB. OA⊥OB
C. 以AF为直径的圆与y轴相切D. |AF||BF|=p2sin2θ
11.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数.已知f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为g(x)，若函数y=f(x+1)−1是奇函数，函数y=g(x+2)为偶函数，则( )
A. f(1)=1B. g(1)=1
C. y=f(x+2)−1为奇函数D. i=12024f(i)=1012
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知x2+2x−1=0，则x2+1x2= ______．
13.在(3x3+x33)8的展开式中，常数项为______．
14.如图，在4×4的格子中，有一只蚂蚁从A点爬到B点，每次只能向右或向上移动一格，则从A点爬到B点的所有路径总数为______，若蚂蚁只在下三角形(对角线AB及以下的部分所围成的三角形)行走，则从A点到B点的所有总路径数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 3sinA−csA=2．
(1)求A；
(2)若a=2， 2bsinC=csin2B，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，B为底面圆周上一点，点D在线段BC上，AC=2AB=4，CD=2DB．
(1)证明：AD⊥平面BOP；
(2)若圆锥PO的侧面积为8π，求二面角O−BP−A的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax−lnx−1a．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
18.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，P为直线y=2上一动点，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为M(− 2,0)，N( 2,0)，上、下顶点分别为T(0,1)，S(0,−1).若直线PT交E于另一点A，直线PS交E于另一点B．
(1)求证：直线AB过定点，并求出定点坐标；
(2)求四边形ASBT面积的最大值．
19.(本小题17分)
某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了A和B两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，如图是该购物平台7天销售优惠券的情况(单位：千张)的折线图：
(1)由折线图可看出，可用回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)假设每位顾客选择A套餐的概率为13，选择B套餐的概率为23，其中A包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为Pn，求Pn；
(3)记(2)中所得概率Pn的值构成数列{Pn}(n∈N∗)，求数列{Pn}的最值．
参考数据：i=17yi=16.17，i=17tiyi=68.35， i=17(yi−y−)2=0.72， 7=2.646．
参考公式：相关系数r=i=1n(ti−t−)(yi−y−) i=1n(ti−t−)2i=1n(yi−y−)2．
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.C
5.C
6.D
7.C
8.D
9.BD
10.ACD
11.BCD
12.6
13.70
14.70 14
15.解：(1)由 3sinA−csA=2，
可得 32sinA−12csA=1，即sin(A−π6)=1，
由于A∈(0,π)，可得A−π6∈(−π6,5π6)，
所以A−π6=π2，故A=2π3；
(2)由 2bsinC=csin2B及正弦定理，
可得 2sinBsinC=2sinCsinBcsB，
又B，C∈(0,π)，则sinBsinC≠0，
故csB= 22，即B=π4，
所以sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB= 6− 24，
由正弦定理得asinA=bsinB=csinC，即2sin2π3=bsinπ4=csinπ12，
解得b=2 63，c= 2− 63，
故△ABC的周长为2+ 2+ 63．
16.解：(1)证明：由题知，PO⊥平面ABC，BA⊥BC，
故以B为坐标原点，BA为x轴正方向，BC为y轴正方向，与OP同向的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．
设|OP|=x，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，O(1, 3,0)，P(1, 3,x)，D(0,2 33,0)，
所以AD=(−2,2 33,0)，BO=(1, 3,0)，BP=(1, 3,x)．
因为AD⋅BO=−2+2=0，AD⋅BP=−2+2=0．
所以AD⊥BO，AD⊥BP，
因为BP∩BO=B，BP，BO⊂平面BOP，所以AD⊥平面BOP；
(2)因为圆锥PO的侧面积S=2π×PA=8π，所以PA=4，所以OP=x= 42−22=2 3，
由(1)可知，AD=(−2,2 33,0)为平面BOP的一个法向量，
因为BA=(2,0,0)，BP=(1, 3,2 3)，
设平面ABP的法向量为m=(a,b,c)，则m⊥BA，m⊥BP，
所以m⋅BA=2a=0m⋅BP=a+ 3b+2 3c=0，令c=−1，得m=(0,2,−1)，
则cs〈m,AD〉=m⋅AD|m|⋅|AD|=−2×0+2 33×2+0×(−1) (−2)2+(2 33)2+02× 02+22+(−1)2= 55，
所以二面角O−BP−A的正弦值为2 55．
17.解：(1)当a=1时，f(x)=x−lnx−1，则f′(x)=1−1x，
所以f(1)=0，f′(1)=0，所以即切点坐标为(1,0)，切线斜率为k=0，
所以切线方程为y=0；
(2)f(x)定义域为(0,+∞)，且f′(x)=a−1x．
若a>0，令f′(x)>0，解得x>1a，令f′(x)