2025届广东省普通高中毕业班高三(上)第二次调研数学试卷(解析版)

这是一份2025届广东省普通高中毕业班高三(上)第二次调研数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由解得或，因为是或的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
2. 若双曲线满足，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，
即.
故选：C.
3. 设全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，则，即，因为.
故选：A
4. 已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四棱锥的体积，得，
直线与平面所成角的正弦值为，
故选：B.
5. 设，，分别为函数，，零点，则，，的大小关系为( ).
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为时，，又因为单调递增，所以；
若，则，所以时，，即；
若，则，所以时，，即.
综上所述，，
故选：D.
6. 已知向量，，，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，所以四边形为直角梯形.
，，，则面积，
故选：B.
7. 已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，则，
因为，所以，又因为在区间上单调，
所以，解得，则的最大值为.
故选：B.
8. 一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 24
【答案】C
【解析】样本空间，这是一个古典概型，可得，，
即，，从而且.
由可得事件；又因为，所以1或2.
(1)若，则，即，，
此时不满足；
(2)若，则，且，又因为，
所以或，即或3；
①若，，此时或或或
，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本
点，即有个满足条件的事件；
②若，，同理有个满足条件的事件；
③若，，此时或或或，
即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，即有个满足条件的事件；
④若，，同理有个满足条件的事件；
综上所述，满足条件的事件共计个.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 已知复数满足，则（ ）
A. 可以是
B. 若为纯虚数，则的虚部是2
C.
D.
【答案】AC
【解析】当时，，选项A正确；
若为纯虚数，则，选项B错误；
易知，选项C正确；
由可知，在复平面上，复数对应的点在以点为圆心，2为半径的圆上，
的几何意义是点到点的距离，可得，选项D错误，
故选：AC.
10. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A.
B.
C 当时，取得最小值
D. 记，则数列前项和为
【答案】BCD
【解析】设公差为，因为，则，
解得.由得，选项A错误；
，则，选项B正确，
二次函数性质知道时，最小，选项C正确；
，所以为等差数列，，
前项和为，选项D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，在上的最大值为
B. 在上单调递增
C. 当时，
D. 当且仅当时，曲线与轴有三个交点
【答案】ABD
【解析】（1）当时，可得则；
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减，如图（a）；
当时，，选项A正确；
（2）当时，易知
①当时，恒成立，单调递增，如图（b）；
②当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，如图（c）；
（3）当时，易知
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；如图（d）
综上所述，在上单调递增，选项B正确；
当时，不一定成立，比如时，，选项C错误；
只有时，的图象与轴可能有三个交点，
此时解得，选项D正确，
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.
12. 在中，，，，则________.
【答案】
【解析】由正弦定理，得，
解得，
又，所以，即.
故答案为：
13. 若函数的图象与直线有两个交点，则的最小值为________.
【答案】3
【解析】函数是偶函数，且，
当且仅当时等号成立，此时，
因为的图象与直线有两个交点，所以的最小值为.
故答案为：.
14. 已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则________；若没有经过点，则的周长为_________.
【答案】；
【解析】设，易知长半轴长，离心率；
设与圆相切于点，若垂直于轴，此时与重合，则有，
所以，得，
此时直线，将代入得，所以.
若没有经过点，设Ax1,y1，Bx2,y2，
由椭圆性质和题意可知，，所以，
.
由椭圆方程得，
代入上式有.
，
则，
同理，所以的周长.
故答案为：，.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下：
用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行：
（1）若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和；
（2）据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.
解：（1）记“低碳出行”为事件，估计.
则，，
；
（2）由（1）知，则有，
记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件，
由题意，，
所以.
16. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：.
解：（1），
，则，
曲线在点处的切线方程为.
（2）解法1：定义域为.
①当时，，，则，即；
②当时，.
设，，
由于均在上单调递增，故在上单调递增，，
所以，
所以在上单调递增，，，即，
所以在上单调递增，，则，
综上所述，.
解法2：定义域为.
要证，只需证，只需证，
令，，，
当，，单调递减；
当，，单调递增，
，
，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
，
综上所述，，也就是，即
17. 如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点.
（1）求证；平面；
（2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值.
解：（1）取的中点为，连接，.
点，分别是，的中点，
是的中位线，即，，
在菱形中，，.
，，即四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，平面.
（2）连接，，
，，，平面，平面，
平面，
又平面，，
，
又，则，所以.
即直线，，两两垂直.
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，.
设平面的法向量为，平面的法向量为，
由得取
由得取.
设平面与平面所成角为，则
，
即平面与平面所成角的余弦值为.
18. 在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.
（1）求，，，；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
解：（1）由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4.
则，，，.
（2）由题意，.
当，时，
，
且满足上式，所以当为奇数时，.
当时，.
所以
（3）存在时，使得，，，成等比数列
证明如下：
由（2）可得，，，
假设，，成等比数列，
则，
化简得，所以，即，
此时，所以当时，，，，成等比数列.
19. 已知集合，，设函数.
（1）当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由；
（2）已知，求函数是常数函数的概率；
（3）写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由.
解：（1）当时，，
此时是常数函数；
当时，
，此时不是常数函数.
（2）设，不妨令.
.
若函数是常数函数，则
则，
得，所以，
得或，，所以或，，
同理或，，或，，
则①
集合共有13个元素，从中任取3个元素组成集合，
共个，
而满足①的集合有，，，，，共5个，
则使得函数是常数函数的概率为.
（3）不妨令，
因为
，
若函数是常数函数，则
得，所以，
得，，所以，，
①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值，
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是
②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和与组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值，
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是
.
综上所述，
当为偶数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
；
当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
.图（a）
图（b）
图（c）
图（d）
出行方式
地铁
公交车
出租车
自驾
骑行
步行
频数
54
27
38
42
18
21