2025届广东省东莞市七校联考高三上12月月考数学试卷（解析版）

这是一份2025届广东省东莞市七校联考高三上12月月考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得：，即，.
故选：B.
2. 已知复数满足，则（ ）
A 0B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】因为，
所以，所以．
故选：A．
3. 已知，满足，，，则，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，
由于，所以.
故选：B
4. 已知，，则sin（α＋β）=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，，
两式相加可得：，
所以
，
所以，解得，
故选：C.
5. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥和圆柱的底面半径为，
因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，
则圆锥和圆柱的高为，
所以圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，
所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,
故选:C.
6. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，从上到下，顶上一层1个球，第二层3个球，第三层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为（ ）

A. 190B. 171C. 153D. 136
【答案】B
【解析】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下各层球的个数形成数列，
，…，
由此得，
即，则，
所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为171.
故选：B.
7. 对任意两个实数，，定义，若，，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数图象与轴有三个交点
D. 函数最大值为2
【答案】C
【解析】由题意可得：，
令；解得或；
令；解得；
所以，
即，
作出函数的图像如下:

对于选项A：由图像可知为偶函数，故选项A错误.
对于选项B：由图像可知在区间上单调递增，
但.
可得在区间上不单调递增，故选项B错误.
对于选项C：由图像可知：函数图象与轴有三个交点，故选项C正确.
对于选项D：由图像可知：当时，函数最大值为1，故选项D错误.
故选：C.
8. 定义在R上的函数满足，若且，则（ ）
A. B.
C. D. 与的大小不确定
【答案】B
【解析】因为，
所以函数的图象关于直线对称，
又因为，
所以在上递增，在上递减，
当时，，
当时，因为，所以，
所以，
所以，
综上：.
故选：B.
二、多项选择题
9. 甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布其正态分布的密度曲线如图所示，
则下列说法中正确的是（ ）
附：若随机变量X服从正态分布，则.
A. 乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B. 甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C. 甲同学成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
D. 若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587
【答案】ACD
【解析】由图象可知，甲的图象关于对称，乙的图象关于对称，
所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，
故选项A正确，B错误；
因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，
所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，
则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，
故选项C正确；
若，则甲同学成绩高于80分的概率约为，
故选项D正确．
故选：ACD．
10. 对于函数，给出下列结论，其中正确的有（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数在区间上的值域为
C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D. 曲线在处的切线的斜率为1
【答案】BD
【解析】由题意知，
对于A，，
故函数的图象不关于点对称，A错误；
对于B，因为，所以，
则，B正确；
对于C，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，C错误；
对于D，，则，
故曲线在处的切线的斜率为1，D正确，
故选：BD
11. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ）
A. 双曲线C的实轴长为
B. 双曲线C的离心率为
C. 若，则三角形的周长为
D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】根据题意可知，所以，设，则，
将分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出，
对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误；
对B，根据离心率，将代入可得，故B正确；
对C，根据，可知，则
，可求得，
所以三角形的周长为，故C正确；
对D，设与双曲线联立可得，若有解，
需要解之可求出或，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 过点引圆的切线，则切线方程为__________．
【答案】或
【解析】圆心坐标，半径，∵直线与圆相切，∴圆心到直线距离，
若直线无斜率，其方程为符合题意，
若直线存在斜率，设其方程为，
即，，
解得，∴切线方程为或，
故答案为x=2或.
13. 在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为_______．
【答案】
【解析】因，由正弦定理可得，
即，所以，又，
所以，，设边上的中线为，
则，则，
所以，当且仅当时等号成立，
所以.
故答案为：.
14. 已知函数为奇函数，则函数在上的最小值为______.
【答案】
【解析】令，即，解得，，，
因为函数为奇函数，
则函数图象关于原点对称，又，
即、中必有一个为，则另一个为，
所以，
则，符合题意；
则，
所以当时，当时，
所以上单调递减，在上单调递增，
又，所以函数在上的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值.
附：.
解：（1）零假设为：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得
，
根据的独立性检验，我们推断不成立，认为数学成绩与语文成绩有关.
（2）表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”，
利用样本数据，则有，，
所以，
则估计的值为.
16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点．
（1）证明：平面．
（2）若平面与平面的夹角为，求的长．
（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，如图，
因为O为BD的中点，E为PD的中点，所以．
又平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC．
（2）解：因为平面ABCD，AD，平面ABCD，
所以，．
又，所以PA，AD，AB两两互相垂直，
故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图所示，
设，则，，，，,
所以，．
显然为平面DAE的一个法向量．
设平面ACE的一个法向量为n=x,y,z，
则，即
令，得，
因为平面DAE与平面AEC的夹角为，
所以，
解得或（舍去），即·
17. 已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若对于任意正整数，都有，求实数的最小值.
解：（1）数列是以1为公差的等差数列，且，
，，
当时，；
经检验，当时，满足上式.
（2）由，
则
，
而，
所以，即的最小值为.
18. 已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个不同的零点，.
①求实数a的取值范围；
②证明：.
（1）解：当时，，，
，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程是.
（2）函数有两个不同的零点，，
等价于方程有两个不同实根，.
①解：令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
由于，当时，；
当，，
的大致图象如图所示：
所以，当，即时，
函数有两个不同的零点，.
②证明：不妨设，，，
两式相加得，
两式相减得，
所以.
要证，只需证.
即证.
设，令，
则，
所以函数在上单调递增，且，
所以，即.
19. 通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P，
（1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标：
（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
解：（1）由已知可得，则，
设，则，
所以，，即点P的坐标为；
（2）（i）由与交点为和，则，
由与交点为和，
则，所以，；
（ⅱ）法一：设直线：，、Nx2,y2，
与斜椭圆联立：，
有，
∵，，
∴
，
设直线：，代入斜椭圆，
有，
∴，∴，
故.
法二：将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为，
点Q旋转后的坐标为，
当直线旋转后斜率不存在时，，，，
当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，
旋转后、Nx2,y2，
与椭圆方程联立，即，
可得，
，，
，
设直线旋转后为，代入椭圆方程中，
有，，
.
综上所述，.
语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828