中考数学一轮复习考点精讲与分层训练专题03 整式及因式分解（2份，原卷版+解析版）

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借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义
能分析具体问题中简单数量关系，并用代数式表示
会求代数式的值，根据特定问题找到所需要的公式，代入具体的值进行计算
理解整式的概念
掌握合并同类项的法则
掌握去括号的法则
会进行简单的整式加减运算
能进行简单的整式乘法运算
能进行简单的整式除法运算
能推导乘法公式，了解几何背景，并能进行简单的计算
会用提取公因式法、公式法进行因式分解
★简单； ★★易错； ★★★中等； ★★★★难； ★★★★★压轴
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc29985" 考点1：代数式及其相关概念 PAGEREF _Tc29985 \h 3
\l "_Tc4353" 考点2：整式的相关概念 PAGEREF _Tc4353 \h 12
\l "_Tc25577" 考点3：整式的运算 PAGEREF _Tc25577 \h 18
\l "_Tc32135" 考点4：幂的运算及整式乘除 PAGEREF _Tc32135 \h 27
\l "_Tc10205" 考点6：整式的化简求值 PAGEREF _Tc10205 \h 44
\l "_Tc30910" 考点7：因式分解 PAGEREF _Tc30910 \h 49
\l "_Tc13855" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc13855 \h 58
\l "_Tc20193" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc20193 \h 59
考点1：代数式及其相关概念
（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．
（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．
（3）书写要求：此题考查代数式的书写要求：
1.在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；
2.数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
3.在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．

｛代数式的书写★｝下列代数式符合规范书写要求的是
A．B．C．D．
｛代数式的意义★｝代数式的正确解释是
A．与的倒数的差的立方B．与的差的倒数的立方
C．的立方与的倒数的差D．的立方与的差的倒数
｛列代数式★｝某企业今年1月份产值为万元，2月份比1月份减少了，3月份比2月份增加了，则3月份的产值为
A．万元B．万元
C．万元D．万元
｛代数式求值★★｝若当时，代数式的值为13；则当时，代数式的值为
A．0B．C．1D．
｛代数式-新定义★｝大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是
A．9B．10C．11D．12
｛代数式的书写★｝下列代数式书写规范的是
A．B．C．D．
｛代数式求值★｝当时，代数式的值为4，则当时，的值是
A．B．C．4D．6
｛列代数式★｝如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有
①小长方形的较长边为；②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；
③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；④当时，阴影和阴影的面积和为定值．
A．1个B．2个C．3个D．4个
｛列代数式★｝做完了一天的功课，立新老师组织学生乘坐小船泛游包河公园，若租用10座的小船艘，则余下8人无座位；若租用16座的小船则可少租用1艘，且最后一艘小船还没坐满，则乘坐最后一艘16座小船的人数是
A．B．C．D．
（2021•贺州）如，2，，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，1，，我们说．已知集合，0，，集合，，，若，则的值是
A．B．0C．1D．2
（2021•自贡）已知，则代数式的值是
A．31B．C．41D．
（2019•永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，各基地之间的距离之比（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为
A．甲B．乙C．丙D．丁
（2020•连云港）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是 ．
考点2：整式的相关概念
（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.
（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.
（3）整式：单项式和多项式统称为整式.
（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.

｛单项式的概念★｝下列代数式，，，10，，，中，单项式有 个．
A．3B．4C．5D．6
｛单项式的概念★｝下列说法中正确的是
A．不是单项式 B．的系数是
C．的系数是，次数是4D．的系数为0，次数为2
｛单项式的概念★｝的系数是 ，次数是 ．
｛多项式的概念★｝多项式是 次 项式，其中二次项是 ．
｛整式的概念★｝（2018•荆州）下列代数式中，整式为
A．B．C．D．
｛同类项★｝已知代数式与是同类项，那么，的值分别为
A．，B．，C．，D．，
｛单项式的概念★｝在代数式，，0，，，中，单项式有
A．1个B．2个C．3个D．4个
｛单项式的概念★｝（2021秋•越秀区校级期中）下列说法正确的是
A．代数式是系数为的4次单项式
B．两个数的差一定小于被减数
C．一定是正数
D．两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数
｛多项式的概念★｝是 次 项式，常数项是 ．
｛整式的概念★｝在代数式：，，，，，，中，整式有
A．4个B．5个C．6个D．7个
｛同类项★｝下列各组是同类项的一组是
A．与B．与C．与D．与
（2019•淄博）单项式的次数是 ．
（2020•绵阳）若多项式是关于，的三次多项式，则 ．
（2021•青海）已知单项式与是同类项，则 ．
（2020•黔西南州）若与的和为单项式，则 ．
考点3：整式的运算
（1）合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（2）去括号法则: 若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号.
（3）整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.

｛合并同类项★｝多项式的值是
A．只与有关B．只与有关C．与，都有关D．与，都无关
｛合并同类项★｝计算机的某种运算程序如图：
已知输入3时输出的运算结果是5，输入4时输出的运算结果是7．若输入的数是时输出的运算结果为，输入的数是时输出的运算结果为，则
A．B．
C．D．
｛整式加减-去括号★｝下列计算正确的是
A． B．
C．D．
｛整式的加减★｝若，，则整式的值为
A．B．C．9D．0
｛整式的加减★｝已知代数式，．
（1）若的值与的取值无关，求的值；
（2）若，求代数式的值．
｛合并同类项★｝（2021秋•天心区期中）下面运算一定正确的是
A．B．C．D．
｛合并同类项★｝已知单项式与的和仍然是单项式，则式子的值为
A．B．C．D．
｛整式的加减★｝如图，两个三角形的面积分别是9和7，对应阴影部分的面积分别是和，则等于
A．1B．2C．3D．不能确定
｛整式的加减★｝将教材中“整式及整式加减”单元建立如图所示的知识结构图，图中和分别表示的是
A．单项式，因式分解B．单项式，合并同类项
C．多项式，因式分解D．多项式，合并同类项
｛整式的加减★｝多项式的值与字母的取值无关，则的值是
A．B．C．D．7
｛整式的加减★｝若多项式与多项式相加后，结果不含项，则常数的值是
A．B．2C．5D．6
｛整式的加减★｝先化简，再求值：，其中，．
｛整式的加减★｝已知，是关于的整式，其中，．
（1）若化简的结果是，求，，的值．
（2）若的值与的取值无关，求的值．
（2021•阿坝州）下列计算正确的是
A．B．C．D．
（2020•牡丹江）若与的差仍是一个单项式，则 ．
（2021•常州）计算： ．
（2020•长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给、、三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：
第一步，同学拿出二张扑克牌给同学；第二步，同学拿出三张扑克牌给同学；
第三步，同学手中此时有多少张扑克牌，同学就拿出多少张扑克牌给同学．
请你确定，最终同学手中剩余的扑克牌的张数为 ．
（2021•嘉峪关）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则
A．B．C．2D．3
考点4：幂的运算及整式乘除
幂的运算：
(1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n；
(2)幂的乘方：(am)n＝amn；
(3)积的乘方：(ab)n＝an·bn；
(4)同底数幂的除法：am÷an＝am－n (a≠0)
整式乘除：
(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．
(2)单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb.
(3)多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
(4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.
(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．

｛幂的运算★｝已知，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
｛幂的运算★｝已知，，，为正整数，则的值为 ．
｛幂的运算★｝已知，，则的值等于
A．108B．36C．31D．27
｛幂的运算★｝如果，，则等于
A．108B．36C．D．
｛幂的运算★｝计算： ．
｛幂的运算★｝定义一种新运算：，其中，．
例如，．若，则的值为 ．
｛单项式乘多项式★｝（2021•奉化区）若中不含的一次项，则的值为 ．
｛多项式除法★｝老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，所捂多项式是 ．
｛幂的运算★｝（2021•德阳）下列运算正确的是
A． B．C． D．
｛幂的运算★｝（2019•潍坊）若，，则 ．
（2021秋•仓山区校级期末）计算 ．
（2021秋•鼓楼区校级期末）已知，，则的值为 ．
（2021秋•台儿庄区期中）已知，，则 ．
（2021秋•鼓楼区校级期末）已知，，则 ．
（2021秋•南安市期中）计算： ．
｛多项式乘多项式★｝若展开后不含和项，则的值为 ．
｛多项式乘多项式★｝已知，则 ．
（2021•攀枝花）计算的结果是
A．B．C．D．
（2021•陕西）计算：
A．B．C．D．
（2021•台湾）是的多少倍？
A．2B．3C．25D．125
（2021•陕西）计算：
A．B．C．D．
（2019•台湾）计算的结果，与下列哪一个式子相同？
A．B．C．D．
考点5：乘法公式及其几何意义
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
完全平方公式的变式：a2+b2=(a±b)22ab ab=[(a+b)2－（a2+b2）]÷2

｛乘法公式-完全平方★★｝已知，，则的值为 ．
｛乘法公式-完全平方★★｝已知，则 ．
｛乘法公式-完全平方★★｝已知，，则 ．
｛乘法公式-完全平方★★★｝已知满足，则的值是 ．
｛乘法公式-完全平方★★★｝小明将展开后得到；小红将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值是 ．
｛乘法公式-完全平方★★｝若是一个完全平方式，则实数 ．
｛乘法公式-平方差★｝计算： ．
｛乘法公式-完全平方★★★｝已知：，则的值为
A．7B．8C．9D．12
｛乘法公式-完全平方★★★｝若，则的值为
A．9B．7C．11D．6
｛乘法公式-几何意义★★｝（2021春•丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号）
｛乘法公式-完全平方★★｝已知：、为常数），则常数的值为 ．
｛乘法公式-完全平方★★｝已知，，则 ．
｛乘法公式-完全平方★★｝如果是完全平方式，则的值是 ．
｛乘法公式-完全平方★★★｝已知满足，则的值是 ．
｛乘法公式-完全平方★★｝若是完全平方式，则的值为 ．
｛乘法公式★★｝若，，，比较，，大小（用“”连接） ．
｛乘法公式★｝计算： ．
｛乘法公式-完全平方★★★｝（2021秋•连江县期末）若，则 ．
｛乘法公式-几何意义★★｝如图，已知正方形与正方形的边长分别为、，如果，，则阴影部分的面积为 ．
｛乘法公式-几何意义★★｝（2021春•海陵区期末）育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为 ．
（2021•福建）下列运算正确的是
A．B．C．D．
（2021•台州）已知，，则
A．24B．48C．12D．
（2021•奉化区）有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为
A．3B．3.5C．4D．4.5
（2021•奉化区）若是完全平方式，则 ．
（2021•扬州）计算： ．
考点6：整式的化简求值
注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算．

｛整式乘除★｝计算的结果是
A．B．C．D．
｛整式的化简求值★｝先化简，再求值：，其中，．
｛整式的化简求值★｝先化简，再求值：，其中，．
｛整式乘除★｝下列计算正确的是
A．B．
C．D．
｛整式的化简求值★｝已知，则代数式的值为 ．
｛整式的化简求值★｝先化简，再求值：，其中、满足．
｛整式的化简求值★｝先化简，再求值：，其中，．
｛整式的化简求值★｝先化简，再求值：，其中，．
｛整式的化简求值★｝先化简，再求值：，其中，．
（2019•玉林）下列运算正确的是
A．B．C．D．
（2021•赤峰）下列计算正确的是
A． B．C．D．
（2020•牡丹江）先化简，再选取一个你喜欢的数代替求值．
考点7：因式分解
(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．
(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解.

｛因式分解的定义★｝下列各式中，正确的因式分解是
A．B．
C． D．
｛因式分解的运用★★★｝（2021•奉化区）已知为自然数，且与都是一个自然数的平方，则的值为 ．
｛因式分解-公因式★｝单项式与的公因式是 ．
｛因式分解★｝分解因式： ．
｛因式分解★｝分解因式： ．
｛因式分解★｝因式分解： ．
｛因式分解-十字相乘法*｝分解因式： ．
｛因式分解的定义★｝下列各式从左到右的变形是因式分解的是
A．B．
C．D．
｛因式分解的定义★｝下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A．B．
C．D．
｛因式分解-公因式★｝多项式的公因式是
A．B．C．D．
｛因式分解-公因式★｝多项式，的公因式是 ．
｛因式分解的运用★｝若，则的值为 ．
｛因式分解★｝分解因式： ．
｛因式分解★｝分解因式： ．
｛因式分解-十字相乘法*★｝因式分解： ．
（2020•河北）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是
A．都是因式分解B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
（2021•奉化区）下列各式：①；②； ③； ④；⑤，可以用公式法分解因式的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
（2021•朝阳）因式分解： ．
（2021•乐山）因式分解： ．
（2021•连云港）分解因式： ．
（2021•绥化）在实数范围内分解因式： ．
（2021•奉化区）已知，，，则 ．
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是
A．B．
C．D．
2．单项式的系数、次数分别是
A．2，5B．，5C．2，6D．，6
3．已知，则的值为
A．13B．8C．D．5
4．下列计算正确的是
A．B．
C．D．
5．下列计算正确的是
A．B．C．D．
6．下列运算正确的是
A．B．C．D．
7．下列运算正确的是
A．B．C．D．
8．下列运算正确的是
A．B．
C．D．
9．若二次三项式是一个完全平方式，则的可能值是
A．B．12C．6D．
10．对于任意实数和，如果满足那么我们称这一对数，为“友好数对”，记为．若是“友好数对”，则
A．B．C．D．
11．某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形的面积为
A．1B．C．2D．
12．下列运算正确的是
A．B．
C．D．
13．计算的结果是
A．B．C．D．
14．有两个正方形，．现将放在的内部得图甲，将，并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形和两个正方形，如图丙摆放，则阴影部分的面积为
A．28B．29C．30D．31
15．墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是
A．B．C．D．
16．下列说法正确的是
A．的系数是3B．的次数是3
C．的系数是D．的次数是2
17．在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分的面积和为，则的值表示正确的是
A．B．C．D．
18．如图（1），边长为的正方形剪去边长为的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论
A．B．
C．D．
19．已知三个实数，，满足，，，则
A．，B．，C．，D．
20．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是
A．B．
C．D．
21．下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
22．已知，，，则的值为
A．16B．12C．10D．无法确定
23．把分解因式，正确的是
A．B．C．D．
24．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为
A．B．C．D．
25．计算：
A．100B．150C．10000D．22500
26．因式分解： ．
27．因式分解： ．
1．下列各组整式中，不是同类项的是
A．与B．与C．与D．5和0
2．下列运算正确的是
A．B．
C．D．
3．计算的结果是
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是
A．B．C．D．
5．若整式是完全平方式，下列不满足要求的是
A．B．C．D．
6．若，则的值为
A．B．C．3D．
7．已知，，则
A．B．C．2D．3
8．下列等式成立的是
A．B．
C．D．
9．下列正确的个数是
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知，，则的值为
A．1B．9C．3D．
11．已知，，则的值为
A．40B．80C．160D．240
12．把分解因式正确的是
A．B．C．D．
13．对于任意实数，，恒成立，则下列关系式正确的是
A．B．
C．D．
14．若把多项式分解因式后含有因式，则的值为
A．2B．C．4D．
15．因式分解：，其中，是常数，则
A．B．C．3D．4
16．下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
17．若一个整数能表示成，是正整数）的形式，则称这个数为“和平数”．例如，因为，所以2是“和平数”．已知是任意整数，是常数），若为“和平数”，则下列值中不符合要求的是
A．5B．10C．15D．17
18．若，，则的值为 ．
19．已知，同时满足与，则的值是 ．
20．计算的结果是 ．
21．若，则 ．
1．若代数式的值是5，则代数式的值是
A．4B．7C．5D．不能确定
2．当时，代数式的值是，则当时，该代数式的值为
A．B．10C．4D．
3．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如，，即8，16均为“和谐数”．在不超过2022的正整数中，所有“和谐数”之和等于
A．255054B．255064C．250554D．255024
4．今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案，小刚做对的题数是
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．计算：
A．B．C．D．
6．下列正确的个数是
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．从前，一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加5米，相邻的另一边减少5米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会
A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
8．若，则的值为
A．B．C．0D．1
9．下列四种说法中正确的有
①关于、的方程存在整数解．
②若两个不等实数、满足，则、互为相反数．
③若，则．
④若，则．
A．①④B．②③C．①②④D．②③④
10．已知，，则的值为
A．1B．9C．3D．
11．对于任意实数和，如果满足那么我们称这一对数，为“友好数对”，记为．若是“友好数对”，则
A．B．C．D．
12．已知实数，同时满足，，则的值是
A．2或B．2C．或6D．
13．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且，6能被6整除；643不是“好数”，因为，10不能被3整除．则百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是
A．8B．7C．6D．5
14．若一个整数能表示成，是正整数）的形式，则称这个数为“和平数”．例如，因为，所以2是“和平数”．已知是任意整数，是常数），若为“和平数”，则下列值中不符合要求的是
A．5B．10C．15D．17
15．已知、、均为实数，且满足，，则的值为
A．5B．C．5或D．3或 7
16．若，则
A．12B．11C．10D．9
17．已知能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数的个数有
A．0B．2C．4D．6
18．计算： ．
19．分解因式： ．
计算：①；②；③；④