2025长春东北师大附中高三上学期第二次摸底考试数学试题含解析

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高三年级第二次摸底考试
注意事项：
1.答题前，考生需将自己的姓名､班级､考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸､本试题卷上书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄皱､弄破，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第五卷（非选择题）两部分.总分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的图象大致为（ ）
A B.
C. D.
4. “碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 31
5. 已知，且，则（ ）
A B.
C. D.
6. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. 2C. D.
7. 已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，角的对边分别为的面积为，则的最大值为（ ）
A B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期为B. 函数在上有2个零点
C. 函数的图象关于对称D. 函数的最小值为
11. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 复数满足，则________.
13. 已知函数定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为_____________．
14. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，若．
（1）求的大小；
（2）若，求的最大值．
16. 已知数列的首项，且满足，设．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最小正整数．
17. 记的内角的对边分别为，已知，是边上的一点，且.
（1）证明：；
（2）若，求.
18. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
19. 置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合的函数称为次置换.满足对任意的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于，我们可用列表法表示此置换：，记.
（1）若，计算；
（2）证明：对任意，存在，使得为恒等置换；
（3）对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.