2023届吉林省长春市东北师大附中高三上学期第二次摸底考试数学（解析版）

2023届吉林省长春市东北师大附中高三第二次摸底考试数学

一、单选题

1．若集合，集合（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交运算即可求解.

【详解】由得，

故选：D

2．“点A的坐标为”是“点A是函数的对称中心”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据正切函数的性质及充分条件与必要条件的的概念即得.

【详解】若的图象关于点成中心对称，可得对称中心的坐标是，，

若点的坐标是，可得的图象关于点对称，

故“点A的坐标为”是“点A是函数的对称中心”的充分不必要条件.

故选：B.

3．已知函数满足，则（    ）

A．的最小值为2 B．

C．的最大值为2 D．

【答案】B

【分析】首先根据题意得到，再结合二次函数的性质依次判断选项即可.

【详解】因为，，

所以.

所以，所以的最小值，无最大值，为故A，C错误.

对选项B，，

因为，所以，即，

故B正确.

对选项D，，

因为，所以，即，

故D错误.

故选：B

4．函数在单调递增，求a的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复合函数单调性及对数函数定义域得到不等式组，求出a的取值范围.

【详解】在上为增函数，

故要想在单调递增，

所以在上单调递增，且在恒成立，

故且，

解得：，

故选：D

5．已知函数，现将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数，根据函数图象的平移变换与伸缩变换法则，可得到函数，由，可得到，利用正弦函数的单调性即可求出结果.

【详解】将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，

因为，所以，所以，

所以在上的值域为，

故选：A.

6．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先将等式变形为，再将等式平方，即可求得的值.

【详解】，

所以，解得：.

故选：C

7．已知，，，则它们的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数可证，又，可得，即可证．

【详解】由

令，则，当，；当，；

所以在上单调递增，在上单调递减，且

则，因此，所以

又因为，所以，得

故，有

故选：C

8．已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据解析式研究、的函数性质，由零点个数知与的交点横坐标一个在上，另一个在上，数形结合可得，且，，进而可得代入目标式，再构造函数研究最值即可得解.

【详解】由解析式，在上单调递增且值域为，在上单调递增且值域为，

函数图象如下：

所以，的值域在上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在上任意函数值都有一个x值与之对应，

要使恰有三个不同的零点，则与的交点横坐标一个在上，另一个在上，

由开口向下且对称轴为，

由上图知：，此时且，，

结合图象及有，，则，

所以，且，

令且，则，

当时，递增；当时，递减；

所以，故最大值为.

故选：A

【点睛】关键点点睛：根据已知函数的性质判断与的交点横坐标的范围，进而得到与的关系，代入目标式并构造函数研究最值.

二、多选题

9．设函数的最小正周期为，且过点，则下列正确的为（    ）

A．在单调递减

B．的一条对称轴为

C．的最小正周期为

D．把函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为

【答案】AC

【分析】根据函数的最小正周期为和函数图象过点，得到，然后逐项判断.

【详解】解：函数，

因为函数的最小正周期为，所以，

因为函数图象过点，

所以，则，

即，

因为，

所以，则，

当时，，则由余弦函数的性质知在单调递减，故A正确；

当时，，所以不是的一条对称轴，故B错误；

因为是偶函数，所以，则的最小正周期为，故C正确；

把函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为，故D错误；

故选：AC

10．已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，可判断A，B，由，可判断C，

假设，对不等式进行证明，即可判断D.

【详解】将点代入函数得：，则.

所以，显然在定义域上为减函数，所以A错误；

，所以为偶函数，所以B正确；

当时，，即，所以C错误；

当若时，

假设，整理得

，化简得，，

即证明成立，

利用基本不等式，，因为，故等号不成立，成立；

即成立，所以D正确.

故选：BD.

11．将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，若对于任意的实数，都单调递增，则正数的值可能为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】BC

【分析】先利用平移变换得到，再根据单调递增求解.

【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到，

当时， ，

因为单调递增，

所以，解得，

由，得，

因为，

当时，，

所以正数的值可能为，，

故选：BC

12．已知函数，若，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．当时，

【答案】ABD

【分析】对于A，构造函数，利用导数判断得的单调性即可；

对于B，构造函数，利用导数判断得的单调性即可；

对于C，对求导，利用导数与函数的单调性即可判断其正误；

对于D，构造函数，利用导数判断得的单调性，再结合题设条件变形后的结果，即可证得结论.

【详解】对于A，令，则由对数函数的性质易知在上单调递增，

因为，所以，即，所以，故A正确；

对于B，令，则，

令，得，故在上单调递增，

因为，所以，即，故B正确；

对于C，因为，所以，

令，得，则在上单调递增，

所以当时，，则，故C错误；

对于D，令，则，

令，得，故在上单调递增，

因为，所以，故，即，即，

由选项A知，故，即，

所以，即，故，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．求值_________．

【答案】##

【分析】先用同角三角函数基本关系切化弦，同角正余弦平方和化为1，再利用倍角公式，化为可以求值的角的三角函数.

【详解】 ，

故答案为：.

14．已知函数（且）的反函数过点，设，则不等式的解集是_________．

【答案】

【分析】根据反函数定义得到反函数解析式，根据题中所给点解出a的取值，得到解析式，根据单调性得到最后解集.

【详解】根据反函数定义可知，由题可知

故，，即，根据解析式可知在为增函数，

可列不等式

故答案为：

15．在中，，分别是边，上的点，且，，点是线段上异于端点的一点，且满足，则_________．

【答案】8

【分析】用、表示出、，从而得到，再根据，，三点共线，得到，解得即可.

【详解】解：因为，，

所以，，

即，，

因为，所以，

即，即，

因为，，三点共线，故，解得．

故答案为：

16．已知函数，若关于x的方程在上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是_________．

【答案】

【分析】结合函数的奇偶性，化简后画出函数在上的图象，数形结合求出实数的取值范围.

【详解】当时，，故为偶函数，

当时，，图象可由向右平移个单位得到.根据偶函数图象关于轴对称画出在上的图象如图所示，

要想保证方程在上有三个不同的实根，则，

故答案为：

四、解答题

17．已知是公差为1的等差数列，且成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等比中项的性质结合等差性质得出通项公式；

（2）由裂项相消求和法求解即可.

【详解】（1）由题意得，故，

所以的通项公式为．

（2）

18．已知函数，其中向量，．

(1)求的解析式及对称中心和单调减区间；

(2)不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，对称中心为，单调减区间是

(2)

【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算和正余弦的二倍角公式可得，再利用正弦函数的性质即可求解；

(2)由题意可得：在上恒成立，求出的最值，转化为，解之即可.

【详解】（1）

令，对称中心

又令，

所以单调减区间是

（2）不等式在上恒成立，

，即在上恒成立，

，

因为 ，所以，                           

当，即时，取得最小值，

最小值为，

当，即时，取得最大值，

最大值为，

即，得，

即实数m的取值范围是

19．已知．

(1)若在处的切线的斜率是，求当在恒成立时的的取值范围；

(2)设，当时有唯一零点，求a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据导数的几何意义，求得参数；再利用导数求解在区间上的最小值，即可求得参数的范围；

（2）对参数分类讨论，当时，利用导数研究其单调性，即可判断零点个数；当时，根据，再证明，即可求得此时的零点个数，再结合题意进行取舍即可.

【详解】（1），则

令，则恒成立，

在上单调递增，当时，，即恒成立，

在上单调递增，

恒成立，

的取值范围是

（2），

①当时在上单调递增，，

存在使得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增

又，故存在唯一的使得，满足题意；

②当时，由可得，令，

则，当时，，故在上单调递增，

则，则在上恒成立，故在上无零点．

综上所述，a的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数处理恒成立问题和零点问题；其中第二问处理的关键是在当时，进行适度的放缩，属综合困难题.

20．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：

（1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱．

（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（r的结果精确到0.0001）

（2）求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．

，，．

【答案】（1）0.9898，与线性相关性很强；（2），8.5

【分析】（1）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可；

（2）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数，，写出回归方程，并预测10年的失效费即可.

【详解】（1）由表知，，，

，

，，

，

故，认为与线性相关性很强.

（2）由（1）知，，

又，，

故关于的线性回归方程为，

当时，，即10年的失效费用为8.5万元.

【点睛】关键点点睛：利用相关性计算公式及回归方程参数求解公式求解参数及估算预测值.

21．已知．

(1)求函数的值域；

(2)若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化简，以及换元得函数，再利用导数求函数的值域；

（2）首先由方程得，再利用三角函数的对称性，得是等差数列，再求和.

【详解】（1）

令，

则，，

，得，

当，，单调递减，当时，，单调递增。

所以，

所以，

的值域是

（2）由已知得，

解得或（舍去），

由得函数图象在区间

且确保成立的，

对称轴为在内有11个根，

数列构成以为首项，为公差的等差数列．

所以.

22．已知函数．

(1)当时，求证：；

(2)求证：．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）要证，即证，即证，令，令，利用导数求出函数的最大值即可得证；

（2）由（1）知，当时，，令，从而可得，利用放缩法即可得证.

【详解】（1）证明：要证，

即证，

即证，令，即证，

令，

当时，即时，

由，可得，因为，，

在上恒成立，

所以在上单调递减，则当时，，

所以；

（2）证明：由（1）知，当时，，令，

则，

即，

所以，

……．

，

以上各式相加，得，

则，而，

即.

【点睛】本题考查了利用导数证明不等式问题，考查了同构思想及放缩思想，考查了学生的逻辑推理能力及数据分析能力，属于难题.