湖北云学名校联盟2025届高三上学期12月联考数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A：由已知，,则，答案为：
2.C:,,则=
3.B：
4.D：直线恒过定点，当直线与垂直时，弦长最短为4
5.B：
6.D：
所以当时，有，此时:,
当时，有，此时:,
当时，有，此时:,
作出函数的部分图象，如图所示：
可得
7.B：，得：；
由，则；令，，
，所以
则；
又，所以，综上：.
8.D: 如图，过的平面如果平分长方体的体积，则 过长方体的中心，将面与长方体六个平面的交线画出，则二面角即为所求，，设二面角为，则，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选或不选得0分.
9.ACD：对于A：由题意可得，，
则有，又，解得，A正确；
对于B：由，得，B错误；
对于C：由，得，，得，C正确；
对于D：概率为，D正确。
10.ACD：由已知抛物线，设直线
联立方程组，整理得，则，且，
由，所以A正确；
由，所以B错误；
当时，到准线的距离为，则两点到准线的距离之和为3，由抛物线的定义得：
即，又，，可得，则C正确；
时，,，直线与抛物线相切时切点，此时 ，所以有三个点满足要求，则D正确
11.BC：A：因为可化为，令，则，因为，所以，所以在上单调递减，因为，所以，所以，所以，即不等式的解集为．A错误
B：设，则,
, , 又，所以, 在定义域上单调递增, 对于不等式转化为，又，,
, 而在定义域上单调递增, ，B正确
C : 令，则，
因为当时有成立，所以当时，恒成立，所以在上单调递减，所以当时，，所以，又，所以，
时，，所以，又，所以，在是连续的函数，所以，时，，又由为奇函数，时，，
所以或，解得或，则的取值范围，C正确
D：构造函数，，由化为：，
，函数为上的偶函数，则当时，，在上单调递减．若，则,即，即，，D错误
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.7种
13.
14.如图，设定，则，,
，在中，,即，解得，另，则，由，得，带入得
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或解题步骤.
15.解（1）由题：平面，平面
平面 分
平面，平面
平面 分
又因为
故平面平面
又平面，所以： 分
（2）由题：，，
所以：，又，
以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴
建立如图所示得直角坐标系 分
则，，，
，平面得法向量为 分
，
设平面的法向量为
则，取，则，所以： . 分
设平面与平面所成的锐二面角为，则
平面与平面所成的夹角的余弦值为 分
16.解(1)=，
则 分
可得，即在上单调递减，在上单调递增 分
（2）=，则原式等价于
，令证明 分
①令，，，在上单调递减，， 分
②令，，，在上单调递增，
，.
综上：当，，此题得证. 分
17.解：
分
, 分
. 分
（2）解：由于
. 分
由正弦定理：
分
令：，则
分
，即：
故：长度的最大值为. 分
法二：三角形中，由余弦定理可得：
有基本不等式：（）
分

故：长度的最大值为. 分
18.解（1）由题：，，设点，
则，， 分
（2）由题：设直线的方程为：，设，
联立方程：
由韦达定理可得：
， 分
分
由图形的几何性质：四边形为平行四边形，故
由（1）可知 分
， 分
又因为，
解方程可得：，由于在下方，故
分
分
解法二：由第一问可得，则直线 ：，直线
设，，则，联立方程如下：

可得 分

可得 分
分
，
由题意可知，三点共线 分
带入坐标得
， 分
分
19.解（1）， 分
例如 分
当， ①
当， ②
由①②可得：，即，同理可得
当， ③
由②③可得：，即 ， 分
同理可得如下结论：
当，可得
当，可得
当，可得
当，可得
当，可得
当，可得
当，可得
另外当时，，得到
++...++=19. 分
(3)证明：若数列是—连续可表数列，则对，均有：
①
若数列又是—连续可表数列，此时均有：
② 分
③ 分
②+③—①可得：，即数列从第三项开始是等差数列 分
设公差为
又
==
数列从第二项开始是等差数列
又
==
数列从第一项开始是等差数列
综上：若“数列既是—连续可表数列，又是—连续可表数列” ，则数列是等差数列 分