2023-2024学年湖北省云学名校联盟高一上学期12月联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省云学名校联盟高一上学期12月联考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先解绝对值不等式及分式不等式，再利用交集的概念计算即可.
【详解】由，，
可得，
即.
故选：B
2．函数的零点所在的一个区间是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】为增函数，
.
所以函数的零点所在的一个区间是.故选C.
3．如果，，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】举反例判断AC，根据不等式的性质即可判断BD.
【详解】当时，，故A错误；
因为，所以，所以，故B错误；
当时，，由得不到，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：D.
4．已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】因为函数的定义域是，所以，
所以，所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
5．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的符号排除法判断即可.
【详解】因为函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项BD，
当时，，所以选项A符合题意，选项C不符合题意.
故选：A
6．升温系数是衡量空调制热效果好坏的主要依据之一，把物体放在制热空调的房间里升温，如果物体初始温度为，空气的温度为，小时后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的升温系数.现有A、B两个物体放在空气中升温，已知两物体的初始温度相同，升温2小时后，A、B两个物体的温度分别为、，假设A、B两个物体的升温系数分别为、，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意列式，利用对数运算，可得答案.
【详解】由题意可知：，则①；
，则②.
①：②可得：，则，，
化简可得.
故选：C.
7．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指、对数函数单调性可得，结合偶函数的性质分析判断.
【详解】因为函数为减函数，所以，
又函数在上为增函数，所以，
所以，
又函数在上为增函数，所以，
所以，
因为函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，
当时，函数为减函数，
因为，所以，
又函数为偶函数，可得.
故选：A.
8．已知函数，，，，有成立，则实数的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先利用对数型函数的单调性求出的值域，令，根据值域关系建立不等式求解，解指数不等式即可求解.
【详解】令，则该函数在上单调递减，
又在定义域上单调递增，所以函数在上单调递减，
所以，即函数在上的值域为，
令，则，因为，，有成立，
所以值域为值域的子集，即为函数值域的子集，
当时，，显然不满足题意；
当时，的对称轴，且开口向上，
所以在上单调递增，且，
所以，，即，所以，所以，
所以或（与矛盾舍去），所以，
所以，即实数的取值集合为.
故选：B
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“且 ”是“”的充要条件
C．函数，则函数的单调递增区间为
D．函数（其中且）的图象过定点
【答案】AD
【分析】根据特征量词命题的否定判断A；举例说明即可判断B；根据对数函数、二次函数和复合函数的单调性即可判断C；根据对数函数恒过定点即可判断D.
【详解】A：命题“”的否定为“”，故A正确；
B：当时，有，所以充分条件成立，
若，满足，但不成立，所以必要条件不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；
C：由或，
得函数的定义域为，
对于二次函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故C错误；
D：对于函数，令，得，
所以函数恒过定点，故D正确.
故选：AD
10．已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为4D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据题意，由不等式的解集可得，然后结合基本不等式代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由不等式的解集为，
可得，即，所以，故A错误；
因为，则，可得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为4，故C正确；
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确；
故选：BCD
11．通过对函数，（其中且）的性质研究，下列关于其性质的说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点中心对称
B．函数与函数不是同一函数
C．当时，函数的值域为
D．当时，令，则不等式的解集为
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性可判定A，根据函数的定义域可判定B，利用对数函数的性质可判定C，利用函数的奇偶性及单调性可判定D.
【详解】对于
，两函数定义域相同，对应关系相同，显然是同一函数，故B错误；
又，即是奇函数，故A正确；
易知，
而在区间上单调递减，当时，单调递减，
所以单调递增，易知，所以函数的值域为，
故C正确；
，
原不等式，
因为与是同一函数，故单调性相同，结合C项可知当时，为单调递减函数，且是奇函数，
即，故D正确.
故选：ACD
12．函数，若关于x的方程有4个不同的实数解，它们从小到大依次为，，，则（ ）
A．B．
C．D．函数有3个零点
【答案】BCD
【分析】作出的图象，利用二次函数的性质与对数函数的性质分析的关系，结合零点的定义与图象的特征，从而得解.
【详解】关于的方程有四个不同的实数解，等价于与有四个不同交点，
在平面直角坐标系中，作出与的大致图象，如图，
由图象可知：，故A错误；
当时，令，解得，，
当时，令，解得，，
，，，
，则，所以，故B正确；
关于对称，，
又，，
当且仅当时，等号成立，显然，故等号不成立，
又，则，，故C正确；
令，则由，得，
结合图象可知，或，
当时，结合图象可知，此时没有零点；
当时，结图象可知，此时有3个零点；
综上，有3个零点，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将方程根的个数问题转化为两函数的交点个数问题，采用数形结合的方式，结合函数的对称性来依次进行求解.
三、填空题
13．已知是幂函数，且，则实数 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义可得或，即可根据求解.
【详解】由于是幂函数，且，
所以，解得或，
当时，，不满足，不符合题意，舍去，
当时，，满足，故，
故答案为：
14．若关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意将方程化为，结合对勾函数的性质可得，即可求解.
【详解】由题意知，，所以原方程可化为，
设，，由对勾函数的性质知，
函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以，即，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
15．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式.已知实数满足，，则 .
【答案】8
【分析】利用同构式结合函数的单调性计算即可.
【详解】，
令，易知在R上单调递增，
又，
所以.
故答案为：
16．已知函数，的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对任意的有，则 .
【答案】/0.515625
【分析】根据函数对称性，结合函数解析式，构成方程组，可得答案.
【详解】由函数为偶函数，则，所以函数关于直线对称；
由函数为奇函数，则，即，所以函数关于对称；
由，则，，
由，，
则，联立可得，解得，
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．求值：
(1).
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可；
（2）利用对数的运算法则计算即可.
【详解】（1）原式
；
（2）原式
.
18．已知，全集，集合，函数的定义域为.
(1)当时，求；
(2)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据指数函数不等式求解集合A，根据对数复合函数的定义域求解集合B，然后利用补集运算和交集运算求解即可；
（2）由题意是的真子集，利用集合关系列不等式组求解即可.
【详解】（1）由得，也即有，
解得，所以，
由得，解得，所以，
所以，当时，，
此时.
（2）由是成立的充分不必要条件得是的真子集，
则有（取“=”不同时成立），解得，
故实数的取值范围为.
19．已知函数为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若函数是定义在上的奇函数，若，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)1或-1
(2).
【分析】（1）根据奇函数的性质列式求解即可，注意检验；（2）把方程化简整理得方程在上有解，令，，利用单调性求解值域即可求解的取值范围.
【详解】（1）因为为奇函数，
所以
，所以，当时，的定义域为，
当时，的定义域为满足题意.
因此，的值为1或-1.
（2）因为为定义域为，由（1）知.
则，
化简得，由题意方程在上有解，
令，，
由单调性的性质得函数在区间上单调递减，且，，
所以，即的取值范围为.
20．已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，.
(1)判断并证明的单调性；
(2)当时，求关于的不等式的解集.
【答案】(1)减函数，证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）利用函数的单调性及条件含参讨论解一元二次不等式即可.
【详解】（1）令，解得，
又当时，可判断为减函数，
证明如下：
，不妨设，依题意，
即，
因为，所以，
所以，
因此，
即，
所以为减函数.
（2）原不等可化为
即：
因单调递减，故成立.
即：
当时，有，解为，
当时，，解为，
当时，，解为，
综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.
21．泡泡青被誉为“随州美食四宝”之一，以口感鲜美，营养丰富而闻名全国.通过调查一泡泡青个体销售点自立冬以来的日销售情况，发现：在过去的一个月内（以30天计），每公斤的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：公斤）是时间（取整数，单位：天）的函数，统计得到以下五个点在函数的图象上：.
(1)李同学结合自己所学的知识，将这个实际问题抽象为以下四个函数模型：①；②；③；④.结合所给数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
(2)设该泡泡青个体销售点日销售收入为（单位：元），求的最小值（四舍五入，精确到整数）.
【答案】(1)选第②种函数模型，，（，且）
(2)229元.
【分析】（1）根据一次函数、指数函数、对数函数的图象与性质分析函数模型，利用待定系数法计算即可；
（2）根据分段函数的性质及函数的单调性计算最值即可.
【详解】（1）由题可知，图象上五点关于对称，且不单调，
根据一次函数、指数函数、对数函数的图象与性质可知选第②种函数模型，
即，此时，
将，，三点代入解析式中有
，
∴，（，且）
（2）由题意及（1）可知：
，
当时，，
由对勾函数的性质可知，
在上单调递减，在上单调递增，
又，且，故最小值可能为或
易知，，
所以（元）；
当时，
易知在区间上单调递减
∴，
综上（元）
故该个体销售点日销售收入的最小值为229元.
22．已知函数，.
(1)当时，函数的最小值为5，求实数m的取值范围；
(2)对于函数和，若满足：对，，有成立，称函数是在区间D上的“相伴不减函数”，若函数是在区间的“相伴不减函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）令，分类讨论，根据二次函数最小值建立方程分别求解即可；
（2）根据“相伴不减函数”定义把问题转化为在上恒成立，令，分离参数，，构造函数，利用函数单调性即可求解.
【详解】（1）令，，则，
当，即时，在区间上单调递增，，
解得，成立；
当，即时，在区间上单调递减，，
解得，舍去；
当，即时，在区间单调递减，单调递增，
，，无解；
综上可知.
（2）依题意可得，，，有，
又，而在上单调递增，所以；
原不等式可以化为在上恒成立，
由，得，
即，
令，，上式可化为，即，
又，则，
令，，因为函数在区间上单调递减，
所以，因此，.