沪科版数学八下专题11 勾股定理章末素养评估卷（2份，原卷版+解析版）

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专题11 勾股定理章末素养评估卷一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2022·山东济南·八年级期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ）A．13 B．14 C． D．1【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理，即可求得斜边长.【详解】由题意得，该直角三角形的斜边长为：故选：A.【点睛】此题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理即可解题.2．(本题4分)（2022·湖南·道县朝阳学校八年级阶段练习）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　）A．4，5，6 B．1，，2 C．6，8，11 D．5，12，23【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．【详解】解：A、因为，所以不能作为直角三角形三边长度，故本选项不符合题意；B、因为，所以能作为直角三角形三边长度，故本选项符合题意；C、因为，所以不能作为直角三角形三边长度，故本选项不符合题意；D、因为，不能构成三角形，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形是解题的关键．3．(本题4分)（2021·天津四十三中九年级开学考试）点在平面直角坐标系中，则点到原点的距离是(       )A．2 B． C．10 D．5【答案】A【解析】【分析】构造直角三角形，利用勾股定理直接求解．【详解】解：如图，由勾股定理得：．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的计算，关键在于掌握好点到两个坐标轴的距离分别是多少．4．(本题4分)（2021·山东烟台·七年级期中）下列各组数据是勾股数的是（       ）A．，， B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41【答案】D【解析】【分析】根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解【详解】解：A、不是正整数，则，，不是勾股数，故本选项不符合题意；B、，则4，5，6不是勾股数，故本选项不符合题意；C、不是正整数，则0.3，0.4，0.5不是勾股数，故本选项不符合题意；D、，，则是勾股数，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．5．(本题4分)（2022·福建宁德·八年级期末）现有四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按如图的方式组成图案，若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是（       ）A．4，6，8 B．4，6，10 C．4，8，10 D．6，8，10【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理，直角三角形中两直角边的平方等于斜边的平方，即2个小正方形的面积等于大正方形的面积，据此分析判断即可【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；B. ，故该选项正确，不符合题意；C.        ，故该选项不正确，不符合题意；D. ，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了勾股定理，理解直角三角形中两直角边的平方等于斜边的平方是解题的关键．6．(本题4分)（2021·辽宁葫芦岛·八年级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，四边形ABCD的顶点都在格点上，则下面4条线段的长度为的是（   ）A．AB B．BD C．BC D．DC【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理和网格分别求出四个选项线段的长度判断即可．【详解】解：由题意得：BC=3， ，，，故选A．【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．(本题4分)（2021·四川资阳·八年级期末）如图，点P表示的数是－1，点A表示的数是2，过点A作直线l垂直于PA，在直线l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，PB为半径画弧交数轴于点C，则点C所表示的数为（       ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段PB的长度，然后根据PB=PC即可求出OC的长度，接着可以求出数轴上点C所表示的数．【详解】解：，∴PB=PC，∴，∴点C的数为，故选：D．【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，首先正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．8．(本题4分)（2021·四川省荣县中学校九年级期中）如果的三边分别为，且满足，则的面积为（       ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】【分析】将原式整理得出，计算出，判断出为直角三角形，即可求出．【详解】解：，，，，又，，为直角三角形，，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的非负性，勾股定理的逆运用，解题的关键是求出的值．9．(本题4分)（2022·山东青岛·八年级期末）如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由勾股定理求出AB，设CD=x，则BD=4-x，根据求出x得到CD的长，利用面积求出答案．【详解】解：∵∠ACB=90°，∴，由折叠得AE=AB=5，DE=BD，设CD=x，则BD=4-x，在△DCE中，∠DCE=90°，CE=AE-AC=5-3=2，∵，∴，解得x=1.5，∴CD=1.5，∴图中阴影部分的面积是，故选：B．【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．10．(本题4分)（2022·四川眉山·八年级期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是（       ）A．20 B．27 C．25 D．49【答案】B【解析】【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．【详解】解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2=GF2，∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，∴CG=KG=FN，CF=DG=KF，∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG=CG2+CF2+2CG•DG=GF2+2CG•DG，S2=GF2，S3=（KF-NF）2，=KF2+NF2-2KF•NF=KF2+KG2-2DG•CG=FG2-2CG•DG，∵正方形EFGH的边长为3，∴GF2=9，∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+FG2-2CG•DG=3GF2=27，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质等知识，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=27是解题的关键．二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2021·陕西西安·八年级期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则∠BAC的度数为 ___°．【答案】90【解析】【分析】根据勾股定理可以得到AC、AB、BC的长，然后根据勾股定理的逆定理即可判断出△ABC的形状，从而可以得到∠BAC的度数．【详解】解：由图可得，AC=，AB=，BC=5，∵AC2+AB2=（）2+（2）2=52=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，故答案为：90．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是会用股定理的逆定理判断三角形的形状．12．(本题5分)（2020·宁夏·海原县关桥中学八年级阶段练习）若一个三角形的三边分别是，，和，则该三角形是_____三角形．【答案】直角【解析】【分析】根据勾股定理，直接判断三角形的形状，即可得到答案．【详解】∵()2+()2=()2，∴该三角形是直角三角形．故答案是：直角．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，是解题的关键．13．(本题5分)（2021·四川·达州市第一中学校八年级期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______．【答案】139【解析】【分析】根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积，即可求解．【详解】如图，∵正方形、正方形的面积分别为25、144，∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12∴阴影部分的面积为169-×5×12=169-30=139故答案为：139．【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法．14．(本题5分)（2021·山东济宁·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点F，连接DF交AB于点E，连接AF，BF．当△BFD是直角三角形时，DE的长为 _______．【答案】或【解析】【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理及锐角三角函数可求解．【详解】解：如图1，当点E与点F重合时．在Rt△ABC中，．由翻折的性质可知；AE＝AC＝3，DC＝DE，∠ACD＝∠AFD＝90°，则EB＝2．设DC＝ED＝x，则BD＝4﹣x．在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+22＝（4﹣x）2．解得：，∴；如图2所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC＝AF，∠C＝∠AFD＝90°．∵∠C＝∠AFD＝∠CDF＝90°，∴四边形ACDF为矩形．又∵AC＝AF，∴四边形ACDF为正方形．∴DF＝3＝CD，∴DB＝1，∵，∴，∴；当∠DBF＝90°时，则，∴AC与BF的距离为BC＝4，又∵AC＝AF＝3＜4，故∠DBE不可能为直角．综上所述：DE的长为或．【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，锐角三角函数等知识，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．三、解答题(共90分)15．(本题8分)（2022·江苏无锡·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．(1)若∠A＝40°，求∠DCB的度数；(2)若BC＝15，CD＝12，求AC的长．【答案】(1)∠DCB＝20°(2)AC＝12.5【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，求出∠B，然后根据直角三角形中的互余关系求出∠DCB；（2）利用勾股定理，用一个未知数表示出直角三角形的未知边长，解方程求出边长．(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝70°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°．∴∠DCB＝90°－∠B＝20°；(2)在Rt△BCD中，BD＝＝＝9，设AC＝AB＝x，则AD＝x－9，∵在Rt△ACD中，＝，∴＝， 解得x＝＝12.5，∴AC＝12.5．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理去求边长．16．(本题8分)（2021·广西河池·八年级期中）观察下列各组勾股数有哪些规律：请解答：（1）当时，求，的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．【答案】（1），；（2）是勾股数，理由见解析．【解析】【分析】（1）观察各组勾股数可得b+1=c，当时，再结合即可求解；（2）只需求出，看结果是否等于即可求解．【详解】解：（1）由，，，得．解得，（2）是勾股数，理由如下：又，，，220，221是勾股数．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是发现各组勾股数间的规律．17．(本题8分)（2020·福建三明·八年级期中）如图，△ABC是边长为 6 的等边三角形，在平面直角坐标系中，边AB与 x 轴重合，点C在 x 轴上方， B点的坐标为（9， 0）． 求：（1）点A，C 的坐标； （2）求△ABC的面积．【答案】（1）A（3，0），C（6,）；（2）△ABC的面积为．【解析】【分析】（1）由B点坐标为（9,0）求OB=9，由等边三角形的边长为6知 AB=6 ，OA=OB-AB过点C作CD垂直AB与点D，在Rt△ACD中，CD=，则C点坐标可求，（2）S=×AB×CD计算即可．【详解】（1）∵B点坐标为（9,0） ∴OB=9，又∵等边三角形的边长为6，即AB=6，   ∴OA=3，∴A（3,0），过点C作CD垂直AB与点D，∵△ABC是等边三角形，∴AD=AB=3，∴OD=6，在Rt△ACD中，CD=，∴C（6,），（2）S=×AB×CD=×6×=．【点睛】本题考查求等边三角形点的坐标与三角形的面积，掌握等边三角形的性质，会做高线，会利用高分得的直角三角形用勾股定理解决高CD，会用面积公式求面积．18．(本题10分)（2021·贵州六盘水·八年级阶段练习）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求：（1）AB的长；（2）△CDF的面积．【答案】（1）9；（2）54【解析】【分析】（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，然后再直角△BEF中利用勾股定理求出BE的长即可得到答案；（2）由四边形ABCD是长方形，得到AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，由折叠的性质可得AD=DF，则BC=AD=DF，设CF=x，则BC=DF=x+3，由，得到，解方程即可得到答案．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=90°，∴，∴AB=AE+BE=9；（2）∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，由折叠的性质可得AD=DF，∴BC=AD=DF，设CF=x，则BC=DF=x+3，∵，∴，解得，∴CF=12，∴【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．19．(本题8分)（2022·广东·东莞市光明中学九年级期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A'OB′．(1)画出旋转后的图形，并写出点A′、B′的坐标；(2)在x轴上求作一点P（注：不要求写出P点的坐标），使得PA′+PB′的值最小，并写出最小值为 　 　．【答案】(1)图见解析，A′（﹣2，3），B′（﹣3，1）(2)图见解析，【解析】【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；（2）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点，点即为所求．(1)如图，△A'OB′即为所求，A′（﹣2，3），B′（﹣3，1）；(2)如图，点P即为所求，最小值＝＝．故答案为：．【点睛】本题考查作图-旋转变换，勾股定理，轴对称最短问题，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．20．(本题12分)（2021·江苏·兴化市乐吾实验学校八年级阶段练习）如图，一根长10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地面的距离AO为8m，（1）当梯子的顶端A下滑1m时，求梯子底端B向外滑行的距离？（2）请判断在木棍滑动的过程中，中点P到点O的距离是否变化，并简述理由；（3）求木棍滑动的过程中△AOB面积的最大值；【答案】（1）m；（2）不变，为5m；（3）25m2【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求解再画出下滑后的图形，再利用勾股定理求解从而可得答案；（2）由为的中点，可得 旋转过程中始终有这个性质，可得点P到点O的距离不变；（3）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时面积最大． 如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP， 故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大，从而可得答案.【详解】解：（1）由题意得： 如图，梯子的顶端A下滑1m时，则 所以梯子底端B向外滑行的距离为m.（2）如图，连接 为的中点， 旋转后为的中点，而 所以点P到点O的距离不变为5；（3）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时面积最大． 如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP， 故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大， 此时，S△AOB= AB•h=． 所以△AOB的最大面积为25m2．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练的应用勾股定理进行计算，理解当高与斜边上的中线相等时面积最大.21．(本题12分)（2022·全国·八年级）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处；（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处．【答案】（1）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm；（2）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm；（3）蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．【解析】【分析】（1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC1的长即可得答案；（2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC1的长，比较即可得答案；（3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．【详解】（1）正方体的侧面展开图如图所示：AC1为蚂蚁需要爬行的最短路径长，∵正方体的棱长为5cm，∴AC=10，CC1=5，∴AC1==cm．∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．（2）分两种情况：①如图，当横向展开时：AC=10，CC1=6，∴AC1==cm，②如图，当竖向展开时：AD=11，DC1=5，∴AC1==cm，∵＜，∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．（3）圆柱侧面展开图如图所示：∵圆柱底面周长为10cm，高为5cm，∴BC=5，AB=5，∴AC==cm，∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为cm．【点睛】本题考查立体图形的侧面展开图及勾股定理，熟记各立体图形的侧面展开图是解题关键．22．(本题14分)（2021·江苏盐城·八年级阶段练习）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：（1）试说明；（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．【答案】（1）证明见解析；（2）5cm【解析】【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【详解】证明：（1）如图：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠1＝∠3，由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，∴△ADC≌△CEB；（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，∵∠ADC＝90°，∴AD2+CD2＝AC2，即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），∴每块砖厚度为5cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．23．(本题10分)（2021·广东·深圳市沙井中学八年级期中）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，可以证明我们学过的哪个定理，用字母表示：_________；（2）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．①请写出C、D两点的坐标；②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．【答案】（1）c2＝a2＋b2；（2）①C（0，），D（2，0）；②点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）．【解析】【分析】（1）根据梯形的面积的两种表示方法即可证明；（2）①设OC＝a，则AC＝4－a，根据勾股定理求出AB的长度，根据翻折的性质得到BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，然后在Rt△COD中，根据勾股定理列方程求解即可；②根据等腰三角形的性质分四种情况讨论，分别列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵S梯形ABCD＝2×ab＋c2S梯形ABCD＝（a＋b）（a＋b）∴2×ab＋c2＝（a＋b）（a＋b）∴2ab＋c2＝a2＋2ab＋b2∴c2＝a2＋b2．（2）①设OC＝a，则AC＝4－a，又，根据翻折可知：BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，OD＝BD－OB＝5－3＝2．在Rt△COD中，根据勾股定理，得：，即（4－a）2＝a2＋4，解得a＝．∴C（0，），D（2，0）．答：C、D两点的坐标为C（0，），D（2，0）．②如图：当点M在x轴正半轴上时，当CM＝DM，设CM＝DM＝x，在中，根据勾股定理得：，则x2＝（2－x）2＋（）2，解得x＝，∴2－x＝，∴M（，0）；当CD＝MD，＝4－＝，2＋＝，∴M（，0）；当点M在x轴负半轴上时，当CM＝CD，∵，∴OM＝OD＝2，∴M（－2，0）；当DC＝DM，＝4－＝，∴OM＝－2＝，∴M（－，0）．答：符合条件的所有点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的综合题，解决本题的关键是分情况讨论思想的运用．3，4，5；9，40，41；5，12，13；……7，24，25；，，．