北师大版数学九上期末重难点培优训练专题11 相似三角形的判定方法（2份，原卷版+解析版）

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考点一 两角对应相等，两个三角形相似 考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似 考点四 补充条件使两个三角形相似
考点一 两角对应相等，两个三角形相似
1．（2022·福建省福州屏东中学三模）如图，在中，，若≌，且点在上，点在上，与交于点．
求证：∽．
【答案】见解析
【分析】首先得出∠B＝∠C，∠AEF＝∠B，然后证明∠CEM＝∠BAE即可得出△ABE∽△ECM．
【详解】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF＝∠B
又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，
∴∠CEM＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECM．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定等知识，熟练掌握两角对应相等，两个三角形相似是解题关键．
2．（2021·云南·姚安县光禄中学九年级阶段练习）如图，梯形中，，点在上， 连结并延长与的延长线交于点．求证：；
【答案】见解析
【分析】根据ABCD，利用平行线的性质求出∠CDF＝∠G，∠DCF＝∠GBF，可证明△CDF∽△BGF．
【详解】证明：∵在梯形ABCD中，ABCD，
∴∠CDF＝∠G，∠DCF＝∠GBF，
∴△CDF∽△BGF．
【点睛】本题考查了梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等，两个三角形相似是解题的关键．
3．（2021·湖南·永州市冷水滩区京华中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上，满足∠DEF=∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．求证：△BDE △CEF．
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据∠CED＝∠B＋∠BDE＝∠CEF＋∠DEF，得到∠BDE＝∠CEF，于是得到结论．
【详解】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠CED＝∠B＋∠BDE＝∠CEF＋∠DEF，∠DEF=∠B，，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，根据BE＝BD，由等边对等角可得∠BED＝∠BDE，根据邻补角可得∠AEB＝∠ADC，即可证明△ABE∽△ACD．
【详解】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠AEB＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
5．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．
【详解】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC．
【答案】证明见解析．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC．
【详解】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
∵点E为AC的中点，
∴ED＝EC，
∴△ECD是等腰三角形，
∴∠EDC＝∠C，
∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝∠AEF，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．
7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．
(1)求证：△ABC∽△BDC．
(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4．
【分析】（1）先证明∠A＝∠DBA，进而得到∠A＝∠CBD，再根据∠C＝∠C，即可证明△ABC∽△BDC；
（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．
（1）
证明：如图，∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC；
（2）
解：如图，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
由（1）得
∴∠A =∠ABD＝∠CBD，
∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝4．
【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．
考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
1．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）如图，AB•AF＝AE•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△AEF．
【答案】见解析
【分析】根据题意得出，然后由∠1＝∠2得出∠BAC＝∠EAF，利用相似三角形的判定即可证明
【详解】证明：如图，
∵AB•AF＝AE•AC，
∴，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF，即∠BAC＝∠EAF，
∴△ABC∽△AEF．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，BC＝8，AC＝4，D是BC边上一点，CD＝2．
求证△ABC∽△DAC．
【答案】证明见详解
【分析】由题中线段长度得出＝，结合相似三角形的判定定理即可证明．
【详解】证明：∵BC＝8，AC＝4，CD＝2，
∴＝＝2，．
∴＝．
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
3．（2022·全国·九年级）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
【答案】证明见解析
【分析】由四边形是正方形可知，，由，可得，由是的中点，可得，可得，进而结论得证．
【详解】证明：∵四边形是正方形
∴，
∵
∴
∵是的中点
∴
∵，
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定．解题的关键在于找出相似所需的条件．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，点，分别在边、上，与相交于点，且，，．求证：．
【答案】答案见解析
【分析】利用比例线段来证明相似三角形即可．
【详解】解：，，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
5．（2021·福建省泉州第一中学九年级期中）如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．
(1)求AC的长；
(2)若，求证：△ADE∽△ABC．
【答案】(1)AC=；
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出AC即可；
（2）根据已知线段的长度求出，根据相似三角形的判定即可得出△ADE∽△ABC．
（1）
解：∵EF∥CD，
∴，
∵AF=3，AD=5，AE=4，
∴，
解得：AC=；
（2）
证明：∵AB=，AD=5，AE=4，AC=，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝ °，BC＝ ；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并证明你的结论．
【答案】（1），；（2），证明见解析
【分析】（1）先在Rt△BCG中根据等腰直角三角形的性质求出∠GBC的度数，再根据∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度数；在Rt△BGC中利用勾股定理即可求出BC的长．
（2）利用格点三角形的知识求出AB，BC及DE，EF的长度，继而可作出判断．
【详解】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，
∴∠GBC=45°，
∵∠ABG=90°，
∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；
∵在Rt△BGC中，BG=2，CG=2，
∴；
故答案为：，；
（2）解：相似．理由如下：
∵，，
∴，
∴
又∵
∴．
【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
7．（2022·浙江杭州·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连结AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF．
(1)求证：AB＝AD．
(2)连结EF，BE，线段FD是线段AD与AF的比例中项．
①若AD＝4，求线段FD的长．
②求证：△DEF∽△CEB．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】（1）根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADE=90°，进而证明∠ABF=∠DAE，得到△ABF≌△DAE，根据全等三角形的性质得到AB=AD，根据正方形的判定定理证明结论；
（2）①根据比例中项的定义得到FD2=AD·AF，设FD=x，得到方程，解之即可；
②由全等三角形的性质得到AF=DE，则DF=CE，再根据比例中项得到，最后利用相似三角形的判定方法得到结果．
(1)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB=AD；
(2)
①∵线段FD是线段AD与AF的比例中项
∴FD2=AD·AF，
∵AD=4，设FD=x，则AF=4-x，
∴x2=4（4-x），
解得：x=或（舍），
∴FD=；
②由（1）可知，△ABF≌△DAE，
∴AF=DE，
∴DF=CE，
∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，
∴DF2=AF•AD，
∴，
∵∠FDE=∠BCE=90°，
∴△FDE∽△BCE．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似
1．（2021·山东济南·九年级期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
【答案】相似，理由见解析
【分析】根据勾股定理求出AB，BC，AC，DE，DF，EF的长，再根据相似三角形的判定定理，即可求解．
【详解】解：△ABC和△DEF相似；理由如下：
根据题意得：AB＝2，，；
，，EF＝2，
∴，，，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
【点睛】本题主要考查了网格图与勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
(1)，，，，，；
(2)，，，，，．
【答案】(1)相似，理由见解析
(2)相似，理由见解析
【分析】（1）计算对应边的比，根据三边对应，两三角形相似，进而判断即可；
（2）根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，进而判断即可．
（1）
解：∵，，，
∴．
∴．
（2）
∵，，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据比例的性质可得，，即可求证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定方法，涉及了比例的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
4．（2021·河南南阳·九年级期中）如图，设网格中每个小正方形的边长均为1．点、、和、、都在正方形的顶点上．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】先利用勾股定理分别求解再分别计算：可得两个三角形的三边对应成比例，从而可得结论.
【详解】解：由勾股定理可得：




【点睛】本题考查的是二次根式的运算，勾股定理的应用，相似三角形的判定，熟悉三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键.
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
【答案】△ABC△DEF，理由见详解
【分析】先根据勾股定理求出三角形各边长，从而得到两个三角形的对应边成比例，进而即可得到结论．
【详解】解：△ABC△DEF，理由如下：
∵AB=，AC=，BC=5，DE=1，DF=，EF=，
∴，
∴△ABC△DEF．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和勾股定理，掌握对应边成比例的两个三角形相似，是解题的关键．
考点四 补充条件使两个三角形相似
1．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）如图，要使与相似，则需添加一个适当的条件是______________(只添一个即可)．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠A=∠A，
添加，可利用AA证得与相似，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定，熟练掌握相似三角形判定定理是解题的关键．
2．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，∠1＝∠2，请你补充一个条件：_________，使△ABC∽△ADE．
【答案】（答案不唯一）
【分析】相似三角形的判定问题，由题意，∠BAC＝∠DAE，所以再加一对应角相等即可．
【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，
要使△ABC∽△ADE，只需再有一对应角相等即可，
∴添加的条件为∠B＝∠D．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的性质及判定定理是解题的关键．
3．（2022·山东济南·八年级期末）如图，点为的边上的一点，添加______，可以使与相似．
【答案】∠APC=∠ACB或∠ACP=∠B或
【分析】根据相似三角形的判定方法探究即可．
【详解】解∶∵∠A=∠A，
∴当添加∠APC=∠ACB时，根据“两角对应相等的两个三角形相似”可以使得△ABC与△APC相似．
当添加∠ACP=∠B时，根据“两角对应相等的两个三角形相似”可以使得△ABC与△APC相似．
当添加时，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以使得△ABC与△APC相似．
故答案为∶∠APC=∠ACB或∠ACP=∠B或.
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
4．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．
【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解∶∵∠A=∠A，
∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似．
故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是________．
【答案】∠B=∠C（答案不唯一）
【分析】根据题意有∠AOB=∠DOC，因此根据相似三角形的判定条件只需要添加∠B=∠C或∠A=∠D即可证明△AOB∽△DOC．
【详解】解：∵∠AOB=∠DOC，
∴当添加条件∠B=∠C时可以证明△AOB∽△DOC，
故答案为：∠B=∠C（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＞AC，过AC边上一点D作直线DE交AB边于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作_____条．
【答案】2
【分析】本题可分2种情况：①依据预备定理，过D作DE′∥BC，那么DE′符合所求直线的要求；②作∠ADE＝∠ABC，则△ADE∽△ABC，因此DE符合所求直线的要求．
【详解】解：如图；
①作∠ADE＝∠B；②作DE′∥BC．
因此共有2种作法，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，∠ACB=∠BDC=Rt∠，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似．请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是________．
【答案】∠A=∠CBA（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定可求解．
【详解】解：添加∠A=∠CBA，
∵∠A=∠CBA，∠ACB=∠BDC=Rt∠，
∴△ACB∽△BDC，
故答案为：∠A=∠CBA（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
8．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，在四边形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可）
【答案】或或（答案不唯一）
【分析】先由AD∥BC，得到∠DAC=∠ACB，然后利用相似三角形的判定定理，做题即可．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴当∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或
∴都可得相似．
故答案为：∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
9．（2022·全国·九年级）如图，已知点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的动点，请你在不增加任何辅助图形与字母的情况下，补充一个条件，使图中的两个三角形是以点C为位似中心的位似图形，则可以补充的条件是________________．
【答案】（或，或，或，或，或等）
【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．
【详解】解：使图中的两个三角形是以点为位似中心的位似图形，则可以补充的条件是：（或，或，或，或，或等）．
故答案为：（或，或，或，或，或等）．
【点睛】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确掌握位似图形的性质．