沪教版（五四制）（2024）九年级下册27.3 垂径定理教学课件ppt

这是一份沪教版（五四制）（2024）九年级下册27.3 垂径定理教学课件ppt，共26页。PPT课件主要包含了复习旧知，CD过圆心，CD⊥AB于E，AEBE，典例1，典例2等内容，欢迎下载使用。
将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆 ，由此说明圆是 图形，对称轴是______________.
　将一张圆形纸片沿着直径所在的直线翻折，
问题1：能观察到什么？
直径两侧的两个半圆互相重合.
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
如图 CD 是⊙O的直径， AB是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为M．（1）利用圆是轴对称图形的性质，你能发现图中有哪些相等 的线段和弧？
（2）你能用推理的方法来证明吗？
证明：分别联结OA、OB.
∵OA=OB ，OM ⊥AB，
又∵CD是⊙O的直径，
垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦并且平分这条弦所对的弧。
结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧。条件“圆的直径垂直于弦”也可表述为“圆的半径垂直于弦”或“圆心到弦的垂线段”，实质是指“一条过圆心的直线（或直线部分）与圆的一条弦具有垂直关系”
简述为：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的弧.
∵ CD过圆心,
垂径定理的几个基本图形：
下列图形是否具备垂径定理的条件？
例1 如图，已知，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC=BD .
问1：大圆的弦AB 交小圆于C 、 D 两点的含义是什么？
问2：这两个圆叫什么圆？
过圆心O作OH⊥AB，垂足为点H.
由垂径定理，得AH=BH,同理:CH=DH,
∴AH-CH=BH-DH,
例题2 石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m.求桥拱所在圆的半径长（精确到0.1m).
解：如图，用弧AB表示桥拱，O为圆心，联结AB，过圆心O作半径OC垂直于弦AB，垂足为点D.根据垂经定理可知D是AB的中点，C是弧AB的中点，则CD是拱高。 由题意得AB=37.4米，CD=7.2米，得
在Rt△AOD中，由勾股定理得
设半径为R， 则OD=R-7.2.
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的桥拱半径约为27.9m.
拓展一：⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=8，CD=6，则AB、CD间的距离是___ .
油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)
或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).
拓展二：在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
　②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　　必平分此弦所对的弧
1、如图，已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.
添加半径是常作的辅助线.
2、已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm，求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小.
解:过圆心O作OD⊥AB，D为垂足，联OA，OB.
在Rt △AOD中，由勾股定理得
OD= .
∵AO=BO=AB=50，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°.
也可用锐角三角比的知识来求∠AOB.
3、如图，已知⊙O的半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AD长2厘米，AB长5厘米，求：（1）AB的长；（2）AC的长.
解:联结AO.∵OD⊥AB，O为圆心，∴AB=2AD=2×2=4.∴ AC= AB= ×5=2.5
4、如图，已知P是⊙O内一点，画一条弦AB，使AB经过点P，并且AP=PB.
想一想:作图的依据是什么?
1. 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为16厘米，圆心O到AB的距离为6厘米，求⊙O的半径。
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E
则AE＝BE＝ AB＝ ×16＝8厘米
在Rt△AOE中，OE=3厘米，根据勾股定理
∴⊙O的半径为10厘米。
2.如图，CD为圆O的直径，弦　　AB交CD于E， ∠ CEB=30°，　　DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
3.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为 .
4.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为　　　　.