安徽省蚌埠市2025届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份安徽省蚌埠市2025届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知,则下列比例式成立的是( )
A.B.C.D.
2．若反比例函数()的图象经过点,则这个函数的图象一定还经过点( )
A.B.C.D.
3．下列抛物线中,当时,y随x的增大而减小的是( )
A.B.
C.D.
4．若点,,都在反比例函数的图像上,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
5．下列两个三角形一定相似的是( )
A.两个直角三角形B.两个等腰三角形
C.两个等边三角形D.两个面积相等的三角形
6．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为( )
A.B.C.D.
7．如图,在纸片中,,,,将该纸片沿虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A.B.
C.D.
8．已知抛物线(a,b,c为常数,)的顶点坐标为,与y轴的交点在x轴的上方,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
9．如图,直线,直线分别交,,于点A,B,C,直线分别交,,于点D,E,F,直线与相交于点G,若,,则( )
A.1B.C.D.
10．如图,直线与双曲线交于A点,作轴于点B.平移直线使其经过点B,得到直线l,l与双曲线交于E点,作轴于C点.作轴,交直线l于点D,反比例函数的图象是一条经过点D的双曲线.则下列结论错误的是( )
A.B.
C.D.
二、填空题
11．如果6是x和4的比例中项,那么______.
12．如图所示,反比例函数图象上有一点P,过点P作y轴垂线交y轴于点Q,连,若,则____________.
13．若一条抛物线与图象的形状相同且开口向下,顶点坐标为,则这条抛物线的解析式为________________________.
14．如图,矩形中,,.P为的中点,点Q在边上,过点Q作于点E,连接,若,则____________.
15．已知关于x的方程的根为,,关于x的方程的根为,,其中.则将,,,从小到大排列应为____________.
16．在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图是是网格图形中的格点三角形.
(1)图中的面积为____________；
(2)在所给格点图中,与相似且面积最大的格点三角形的斜边长是____________.
三、解答题
17．已知,求：
(1)代数式的值；
(2)若,求a的值.
18．如图,在中,,是的平分线.在边上取一点E,连接,使得.
(1)求证：；
(2)作,交于点F,连接.求证：.
19．已知关于x的二次函数.
(1)当时,求该二次函数的对称轴和顶点坐标；
(2)求证：对于任意实数k,二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点.
20．如图,已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点,点A的横坐标是2,点B的纵坐标是.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象写出x取何值时,；
(3)求的面积.
21．如图,的对角线与交于点O,点M,N分别在边,上,且,E,G分别是与,的交点,F,H分别是与,的交点.
(1)如图1,若,求证：；
(2)如图2,若为菱形,且,,求的值.
22．如图,是一个长方形广告牌的示意图,,,设计师在广告牌上设计了三条抛物线(部分)作为构图轮廓,点D,E分别是,的中点,抛物线①经过点O和A,顶点为D,由抛物线②向右平移得抛物线③.以为单位长度,点O为坐标原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系,抛物线②的解析式为.
(1)求抛物线①的解析式,并直接写出抛物线③的解析式；
(2)设计师在广告牌上三条抛物线围成的区域设计一些竖直的灯条,利用灯条的亮与不亮两种状态产生动感效果.灯条的上端点在抛物线①上,下端点在抛物线②或③上.从某时刻开始,只有两根灯条亮着,分别用和代表它们.从O处开始,以的速度向右移动,到E处停止.从A处开始,以的速度向左移动,到O处停止.在这一过程中,求：
的最大值；
的时长.
参考答案
1．答案：B
解析：A、由得,故本选项错误,不符合题意；
B、由得,故本选项正确,符合题意；
C、由得,故本选项错误,不符合题意；
D、由得,故本选项错误,不符合题意；
故选：B.
2．答案：A
解析：∵反比例函数的图象经过点,
∴.
A、∵,
∴这个函数的图象一点经过；
B、∵,
∴这个函数的图象一点不经过；
C、∵,
∴这个函数的图象一点不经过；
D、∵,
∴这个函数的图象一点不经过；
故选A.
3．答案：D
解析：A.∵二次函数开口向上,对称轴为y轴,
∴当时,y随x的增大而减小,故不符合题意；
B.∵二次函数开口向上,对称轴为y轴,
∴当时,y随x的增大而减小,故不符合题意；
C.∵二次函数开口向上,对称轴为直线,
∴当时,y随x的增大而减小,故不符合题意；
D.∵二次函数开口向上,对称轴为直线,
∴当时,y随x的增大而减小,故符合题意；
故选：D.
4．答案：D
解析：∵,
∴图象在二四象限,
∵,
∴；
故选：D.
5．答案：C
解析：两个直角三角形只可以确定一组角相等,无法判定相似,故选项A错误；
两个等腰三角形确定两边对应成比例,无法判定相似,故选项B错误；
两个等边三角形三个角对应相等,可以判定相似,故选项C正确；
两个面积相等的三角形,只能得到底和高积相等,无法判定相似,故选项D错误.
故选：C.
6．答案：A
解析：P是AB的黄金分割点，，
；
故选：A.
7．答案：D
解析：如图1,
∵于点D,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
故A不符合题意；
如图2,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
故B不符合题意；
如图3,
∵,,,,
∴,,
∴,
∵,
∴,
故C不符合题意；
如图4,
∵,,,,
∴,,
∴,
假设,
∵,
∴,与已知条件不符,
∴与不相似,
故D符合题意,
故选：D.
8．答案：B
解析：顶点坐标为,
,,,
,,
,
抛物线与y轴的交点在x轴的上方,
,
,即,
,
综上所述,A,C,D结论错误,B结论正确,
故选：B.
9．答案：C
解析：,
,
,
,
,
,
,
故选：C.
10．答案：C
解析：设,
∵直线与双曲线交于A点,
∴,
∵轴,
∴,
设直线l的解析式为,过点,
∴,
∴,
∴直线l的解析式为,
联立,
∴,即,
解得：或(负值不符合题意,舍去)
∴,
∴,
∵轴,
∴,
∵轴,交直线l于点D,设,
∴,
∵点D在直线l：和反比例函数的图象上,
∴,
∴,
∴,
A.∵,,
∴,该选项结论正确,故此选项不符合题意；
B.∵,,
又∵,,
∵点A、E在双曲线上,
∴,
∴,
∴,该选项结论正确,故此选项不符合题意；
C.∵,,,
∴,
,
∴,该选项结论错误,故此选项符合题意；
D.∵,,,
∴,,
∴,该选项结论正确,故此选项不符合题意.
故选：C.
11．答案：9
解析：因为,在比例里两个外项的积等于两个内项的积,
所以,,
,
,
故答案为：9.
12．答案：
解析：∵,
∴,
∵点P在反比例函数的图象上,
∴,即,
∵反比例函数在第二象限,
∴,
∴.
故答案为：.
13．答案：
解析：∵一条抛物线与图象的形状相同且开口向下,
∴这条抛物线的二次项系数为,
又∵这条抛物线的顶点坐标为,
∴这条抛物线的解析式为,
故答案为：.
14．答案：5
解析：∵四边形是矩形,
,,
,
,
,
,
,
,
在中,,,
,
,
故答案为：5.
15．答案：
解析：如图所示,设直线与抛物线交于A、B两点,直线与抛物线交于C、D两点,
∵,关于x的方程的解为,,关于x的方程的解为,,
∴,,,分别是A、B、C、D的横坐标,
∴,
故答案为：.
16．答案：410
解析：(1)∵在中,,,,
∴；
(2)∵在中,,,
∴与相似的格点三角形的两直角边的比值为,
如图,
,,,
∴,
又,
∴,
又
∴,此时面积最大,
此时是所有与相似的格点三角形中.面积最大的三角形,.
故答案为：4；10.
17．答案：(1)1
(2)18
解析：(1)设,则,,,
.
代数式的值为1.
(2)同(1)中设法,则：,
解得：,
则,
的值为18.
18．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)证明：(1)∵是的平分线,
∴,
∵,∴,
∴
∴.
(2)∵,是的平分线,
∴,
由(1)知,,
∴,
∴,
同理,,,
∴,,为的中位线,
故,
∴.
19．答案：(1)对称轴为直线,顶点为
(2)见解析
解析：(1)当时,,
对称轴为直线,顶点为,
(2)证明：,
故对于任意实数k,二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点.
20．答案：(1)
(2)或
(3)6
解析：(1)在中令,则；令,则,
∴,
将代入,得,
即反比例函数的表达式为.
(2)∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于,,
∴由图象可得：当或时,；
(3)在中,当时,,
∴,
∴,
∴.
21．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：由题意知,,,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∴.
在与中,
∵,,.
∴.
∴.
∵,
∴.
又,,
∴.
又,
∴.
∴,
∴.
(2)∵四边形为菱形,
∴,,,
又,
∴,
∵,
∴,,即,.
∵,
∴.
∴,
∴,
,解得.
同理,.
∴,
同理解得.
故,即的值是.
22．答案：(1),
(2)
解析：(1)长方形中,,为单位长度,点D,E分别是,的中点,
,,,
设抛物线①的解析式为,
把代入,得,
解得,
故抛物线①的解析式为,
抛物线②的解析式为,抛物线②向右平移得抛物线③,
抛物线③的解析式为；
(2)设灯条移动了秒,则点M,N的横坐标为,点P,Q的横坐标为,
,
当时,,
当时,,
,
当时,随t的增大而增大,当时,随t的增大而减小,
当,即灯条运动了时,取最大值,最大值为；
当时,,,
,
当时,,,
当时,,
解得,
即运动时间时,,
的时长为.