高考数学一轮复习：9统计与概率-专题3练习（题型归纳与重难专题突破提升）

这是一份高考数学一轮复习：9统计与概率-专题3练习（题型归纳与重难专题突破提升），文件包含专题93随机事件与概率原卷版docx、专题93随机事件与概率解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc154054332" 题型二： 随机事件的关系与运算 PAGEREF _Tc154054332 \h 7
\l "_Tc154054333" 题型三： 古典概型 PAGEREF _Tc154054333 \h 10
\l "_Tc154054334" 题型四： 相互独立事件判断 PAGEREF _Tc154054334 \h 14
\l "_Tc154054335" 题型五： 条件概率 PAGEREF _Tc154054335 \h 19
知识点总结
样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
事件的关系和运算
频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
古典概型
(1)具有以下特征的试验叫做古典概型实验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
(2)古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ).
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．
特别地，对任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
显然，性质3是性质6的特殊情况.
事件的相互独立性
(1)两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立.
(2)相互独立的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
条件概率与全概率公式
(1)条件概率
①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)．
(2)条件概率的性质：设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
③设eq \x\t(B)和B互为对立事件，则P(eq \x\t(B)|A)＝1－P(B|A)．
(3)全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．
【常用结论与知识拓展】
(1)为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．
(2)当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
(3)随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．
(4)若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(5)两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
(6)P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．
(7)计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．
例题精讲
有限样本空间
【要点讲解】确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件 “三个圆的颜色全不相同”，事件 “三个圆的颜色不全相同”，事件 “其中两个圆的颜色相同”，事件 “三个圆的颜色全相同”．
（1）写出试验的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件，，，；
（3）事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由．
【解答】解：（1）（红，红，红）、（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、
（红，黄，黄）、（红，黄，蓝）、（红，蓝，红）、（红，蓝，黄）、
（红，蓝，蓝）；（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，红，蓝）、
（黄，黄，红）、（黄，黄，黄）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，红）、
（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）；（蓝，红，红）、（蓝，红，黄）、
（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，红）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、
（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）、（蓝，蓝，蓝），共27个；
（2）（红，黄，蓝）、（红，蓝，黄）、（黄，红，蓝）、（黄，蓝，红）、（蓝，红，黄）、（蓝，黄，红）；
（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、（红，黄，黄）、（红，黄，蓝）、（红，蓝，红）、（红，蓝，黄）、（红，蓝，蓝）；（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，红，蓝）、（黄，黄，红）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，红）、（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）、（蓝，红，红）、（蓝，红，黄）、（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，红）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）；
（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、（红，黄，黄）、（红，蓝，红）、（红，蓝，蓝）、（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，黄，红）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）；（蓝，红，红）、（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）；
（红，红，红）、（蓝，蓝，蓝）、（黄，黄，黄）；
（3）由（2）可知，，与互斥，
所以事件包含事件，事件和的交事件与事件互斥．
袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸3次，每次摸取一个球，考虑摸出球的颜色．
（1）试写出此事件的基本事件空间；
（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分不小于5分的概率．
【解答】解：（1）（红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红），
（红，黑，黑），（黑，红，黑），（黑，黑，红），（黑，黑，黑）共8个；
（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数通过上一问已经做出是8，
记3次摸球得分不小于5的事件为，
则满足条件的事件（红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红）共4个，
（A）．
随机事件的关系与运算
【要点讲解】互斥事件、对立事件的判定方法：①利用基本概念；②利用集合的观点. 两者的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生. 两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况. 因此，互斥未必对立，但对立一定互斥.
在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
【解答】解：把3只黄色乒乓球标记为、、，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、123，共20个
（1）事件摸出的3个球为白球，事件包含的基本事件有1个，即摸出
（E）
（2）事件摸出的3个球为2个黄球1个白球，事件包含的基本事件有9个，
（3）事件摸出的3个球为同一颜色摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球，
（4），
假定一天中有100人次摸奖，
由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件发生有10次，不发生90次．
则一天可赚，每月可赚1200元
某中学高一年级有1000名学生，他们选择选考科目的情况如表所示：
从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：
“该生选了物理”； “该生选了化学”； “该生选了生物”；
“该生选了政治”； “收生选了历史”； “该生选了地理”．
（Ⅰ）求（B），．
（Ⅱ）求，．
（Ⅲ）事件与是否相互独立？请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ） “该生选了化学”，
由题意得1000名学生中选化学的学生有：（名，
（B），
“该生选了政治”； “收生选了历史”； “该生选了地理”．
由题意得1000名学生中同时选政治、历史、地理的学生有200（名，
．
（Ⅱ） “该生选了生物”， “收生选了历史”，
由题意得1000名学生中选生物或历史的学生有：（名，
，
“该生选了化学”， “该生选了地理，
由题意得1000名学生中选化学或地理的学生有：（名，
．
（Ⅲ） “该生选了物理”， “该生选了政治”，
事件与相互独立．理由如下：
由题意得选择物理与否与选择政治无关，
选择政治与否与选择物理无关，
事件与相互独立．
掷一枚骰子，观察它朝上的点数．设事件 “点数为1”， “点数为偶数”， “点数小于3”， “点数大于2”， “点数是3的倍数”．
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述各事件；
（2）事件与，与，与之间各有什么关系？
（3）用集合形式表示事件，，，．
【解答】解：（1）设该试验样本总空间为，2，3，4，5，，
，，4，，，，，4，5，，，；
（2），，；
（3），，，，2，，，2，4，．
古典概型
【要点讲解】用公式计算古典概型的一般步骤：
在计算样本点个数时，常常用计数原理，但当样本点总数较少且无规律时，常用列举法把所有样本点一一列出，列举要有规律，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.
从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生的概率为
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
【解答】解：设2名男同学为，，3名女同学为，，，
以上5名同学任选2人总共有，，，，，，，，，，10种可能，
选中的2人恰好是一男一女的共有共6种情况，
则选中的2人恰好一男一女的概率是0.6．
故选：．
从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知，选出的2名同学都是男生的概率为，
所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．
故选：．
将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，，先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是
A．B．C．D．
【解答】解：由可得，，
所以，
因为为钝角，所以，且不共线，
所以，即，且，
当时，有且，所以可取1，3，4，5，6；
当时，有，可取3，4，5，6；
当时，有，可取5，6；
当，，时，，此时无解．
综上所述，满足条件的，有11种可能，
又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种，
所以为钝角的概率．
故选：．
在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：设甲中奖为事件，乙中奖为事件，
则（B）（A）．
故选：．
小明准备将新买的《孟子》《论语》《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，则《论语》《诗经》两本书相邻的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：小明准备将新买的《孟子》《论语》《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，
不同的摆放方法有6种，其中《论语》《诗经》两本书不相邻的情况有2种，
分别为《论语》，《孟子》，《诗经》，《诗经》，《孟子》，《论语》，
《论语》《诗经》两本书相邻的概率为．
故选：．
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率是
A．B．C．D．
【解答】解：不超过40的素数为：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个数，
其中，共3组数，
所以其和等于40的概率．
故选：．
从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有种结果，
若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5，
若第一张抽到的是5，共有5种抽法，
若第二张抽到的是5，共有5种抽法，
故抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的共10种抽法，
所以所求概率为．
故选：．
某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，，9中的四个数字随机组成（如“0013” ．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，可得验证码的最后一个数字有10种不同结果，其中奇数占5种，
所以收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率．
故选：．
某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．两班获胜的概率分别是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：试验所有的可能结果为：，，，，，，，，
，，，，共有12种结果，
其中数字和为偶数的有6种，和为奇数的有6种，
故（1）班代表获胜的概率为，（2）班代表获胜的概率为．
故选：．
从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，能构成三角形的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，考虑到“三角形两边之和大于第三边”，
可知能构成三角形的情况有“3，5，7”，“3，7，9”和“5，7，9”，3个基本事件，
所有的基本事件有个，故能构成三角形的概率．
故选：．
相互独立事件判断
【要点讲解】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较复杂(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 判断事件相互独立，一般用定义判断.
“抛掷一颗骰子，结果向上的点数小于3”记为事件，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数大于1且小于5”记为事件，则
A．事件，互斥B．事件，对立
C．事件，相互独立D．事件与不相互独立
【解答】解：由题意可知：事件，，事件，3，，
样本空间，2，3，4，5，，
则，
因为，所以事件，不互斥，更不可能对立，故、错误；
因为，则，
可得，
所以事件，相互独立，事件与相互独立，故正确，错误．
故选：．
将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件 “第一次点数为偶数”，事件 “第二次点数为3的倍数”，则
A．与是互斥事件B．与是互为对立事件
C．（A）（B）D．（A）（B）
【解答】解：依题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的基本事件有件，事件的基本事件有 件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，
所以，，，，
故（A）（B），（A）（B），
所以与不是互斥事件，更不是对立事件，
故错误，正确．
故选：．
存在两个事件和，且（A），（B），若与是两个①事件，则（A）（B）；若与是两个②事件，则（A）（B）；其中
A．（1）互斥（2）独立B．（1）互斥（2）对立
C．（1）独立（2）互斥D．（1）对立（2）互斥
【解答】解：由（A）（B），仅当时（A）（B），
所以与是两个互斥事件，
由独立事件的判定知：（A）（B），即与是两个独立事件．
故选：．
从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是
A．至少有一本政治与都是数学
B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学
D．恰有1本政治与恰有2本政治
【解答】解：从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，
对于，至少有一本政治和都是数学是对立事件，故错误；
对于，至少有一本是政治与都是政治，能同时发生，不是互斥事件，故错误；
对于，至少有一本政治与至少有一本数学，能同时发生，不是互斥事件，故错误；
对于，恰有1本政治与恰有2本政治，不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故正确．
故选：．
抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 “两枚骰子的点数之和为偶数”，事件 “恰有一枚骰子的点数为偶数”，则
A．（A）（B）B．（A）（B）
C．与互为对立事件D．与互为互斥但不对立事件
【解答】解：因为事件 “两枚骰子的点数之和为偶数”，
即事件包括两枚骰子的点数之和为偶数分为两枚骰子都为奇数和偶数，
，
事件 “恰有一枚骰子的点数为偶数”，
即事件为两枚骰子一枚为奇数，一枚偶数，即两枚骰子的点数之和为奇数．
所以，
所以与互为对立事件，且．
故，，错误；正确．
故选：．
同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是奇数”．则下列说法中正确的是
①与互斥
②与对立
③与相互独立
④与相互独立
A．①③B．①④C．②③D．②④
【解答】解：①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，
所以与互斥，因此本序号说法正确；
②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，与同时发生，
因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；
③：，
显然（A）（D），所以与不相互独立，所以本序号说法不正确；
④：，
显然（B）（C），所以与相互独立，所以本序号说法正确．
故选：．
已知一个古典概型的样本空间和事件，如图所示．其中，（A），（B），，则事件与事件
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
【解答】解：一个古典概型的样本空间和事件，如图所示．
其中，（A），（B），，
，且，
（A），（B），，
，
，
（A），
事件与事件是独立事件．
故选：．
抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是
A．事件与事件互为对立事件B．
C．D．事件与事件相互不独立
【解答】解：由事件定义，事件与事件可以同时发生，故不互为对立事件，错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
事件的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种，
事件的样本点为，，，，，，，，，，，共有12种，
事件的样本点为，，，，，共6种，
所以，错误；，正确；
因为（B）（C），所以事件与事件相互独立，错误．
故选：．
条件概率
【要点讲解】解决条件概率问题的步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“在……条件下”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率；题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率. 若为条件概率，则进行第二步，计算概率，这里有两种思路. 思路一：缩减样本空间法计算条件概率. 如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的样本点数，再利用公式P(A|B)＝eq \f(nAB,nB)计算；思路二：直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)计算. 当直接求事件B发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把事件B分解，然后借助全概率公式间接求出事件B发生的概率.
已知某音响设备由五个部件组成，电视机，影碟机，线路，左声道和右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到声音，当且仅当与至少有一个正常工作，正常工作，与中至少有一个正常工作．则听不到声音的概率为
A．0.19738B．0.00018C．0.01092D．0.09828
【解答】解：因为与中都不工作的概率为，故与至少有一个正常工作的概率．
同理可得与中至少有一个正常工作的概率，
结合正常的概率，可得听到声音的概率为，
因此，听不到声音的概率为．
故选：．
已知事件，相互独立，（A），（B），则
A．0.88B．0.9C．0.7D．0.72
【解答】解：因为事件，相互独立，
所以（A）（B）．
所以（A）（B）．
故选：．
端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来广州旅游的概率分别是，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来广州旅游的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率，
故这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为：．
故选：．
甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立．设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：设甲第局胜，，2，3，
则甲恰好连胜两局的概率，
故选：．
甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.8，0.7，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
【解答】解：（1）设“甲第次试跳成功”为事件，“乙第次试跳成功”为事件，
依题意得、且、、2、相互独立，
“甲第三次试跳才成功”为事件，且三次试跳相互独立，
，
即甲第三次试跳才成功的概率为0.032．
（2）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件，，
，
即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.94．
（3）设“甲在两次试跳中成功次”为事件、1、，
“乙在两次试跳中成功次”为事件、1、，
事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为，且、为互斥事件，
所求的概率为
，
故甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.2976．
甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方．若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球．
（1）求第3回合由乙发球的概率；
（2）求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率．
【解答】解：（1）由题可知，第3回合由乙发球的概率为；
（2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3，
甲赢的回合数为2的概率为，
甲赢的回合数为3的概率为，
故前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为．
在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，且各局比赛的胜负互不影响．在甲第一局胜出的情况下，甲获得冠军的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得冠军的概率为；
②甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得冠军的概率为．
故甲获得冠军的概率为．
故选：．
湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件为“甲和乙至少有一所学校选择王仙岭中小学生研学实践基地”，事件为“甲和乙选择研学线路不同”，则
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，事件为“甲和乙至少有一所学校选择仙岭中小学生研学实践基地”，
事件为“甲和乙选择的研学线路不同”，
可得，
又由事件为“甲和乙至少有一所学校选择仙岭中小学生研学实践基地“，
可得（A），
．
故选：．
甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知，，，
所以．
故选：．
从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件：“取出的5个不同的数的中位数是4”，事件：“取出的5个不同的数的平均数是4”，则
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，从7个数中任取5个数，则基本事件总数为，
若5个数的中位数是4，需要在1、2、3中任取2个数，在5、6、7中任取2个数，与4一起组成3个数，
则事件的基本事件有个，所以，
其中5个数的平均数都是4的基本事件有1，2，4，6，7；1，3，4，5，7；2，3，4，5，6，共3种情况，
这3种情况恰好也是的基本事件，
所以，
所以．
故选：．
居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是
A．0.99B．0.9C．0.5D．0.1
【解答】解：设 “患病”，则 “未患病”， “阳性”，
所以（A），，，，
（B）（A），
所以，
故某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是0.5．
故选：．
已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则
A．B．C．D．
【解答】解：根据概率计算公式得：
（A），（B），，
（A）（B），
（A）（B）．
故选：．
有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：甲的名次比乙高，
当甲第一名时，乙有5种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第二名时，乙有4种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第三名时，乙有3种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第四名时，乙有2种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第五名时，乙有1种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
所以甲的名次比乙高共有种情况，
甲的名次比乙高且甲乙相邻有5种情况，
所以在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为．
故选：．
五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，
依题意共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种，
所以，
甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有种，
所以，
则．
故选：．
2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”； 表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”； 表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则
A．事件与相互独立B．事件与为互斥事件
C．D．
【解答】解：将4名志愿者分配到三座体育馆，每座体育馆至少派1名志愿者，
共有 种安排方案，
志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心，
各有种方案，
；
志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心，有种方案，
；
志愿者甲派往黄龙体育中心且乙派往杭州奥体中心，有种方案，
；
对于，（A）（B），事件与不相互独立，故错误；
对于，，事件与不是互斥事件，故错误；
对于，，故错误；
对于，，故正确．
故选：．
已知，，为三个随机事件且（A），（B），（C），则，，相互独立是，，两两独立的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：，，相互独立，则满足（A）（B）（C），
且（A）（B），（B）（C），（A）（C）；
，，两两独立则满足（A）（B），（B）（C），（A）（C）；
故而，，相互独立则有，，两两独立，但是，，两两独立不能得出，，相互独立，故正确．
故选：．
在高三复习经验交流会上，共有3位女同学和6位男同学进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件表示“第位发言的是女同学”，则
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，，，
所以．
故选：．
已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求：
（1）第一次取到正品的概率；
（2）在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率．
【解答】解：（1）设 “第一次取到正品”， “第二次取到正品”，
所以（A），第一次取到正品的概率为；
（2），
所以，
故在第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率为．
已知甲、乙两个袋子中各装有形状、大小、质地完全相同的3个红球和3个黑球，现设计如下试验：从甲、乙两个袋子中各随机取出1个球，观察两球的颜色，若两球颜色不同，则将两球交换后放回袋子中，并继续上述摸球过程；若两球颜色相同，则停止取球，试验结束．
（1）求第1次摸球取出的两球颜色不同的概率；
（2）我们知道，当事件与相互独立时，有（A）（B）．那么，当事件与不独立时，如何表示积事件的概率呢？某数学小组通过研究性学习发现如下命题：（A），其中表示事件发生的条件下事件发生的概率，且对于古典概型中的事件，，有．依据上述发现，求“第2次摸球试验即结束”的概率．
【解答】解：（1）设甲袋中的三个红球为1，2，3，三个黑球为，，，
乙袋中的三个红球为4，5，6，三个黑球为，，，
设第1次摸球对应的样本空间为，则，
设事件 “第1次摸球取出的两球颜色不同”，
事件，，，，，，，，，，，
，，，，，，，
所以（C），
所以；
（2）设两次摸球试验的样本空间为，则，
在样本空间中，设事件 “第1次摸球取出的两球颜色不同”，
事件 “第2次摸球取出的两球颜色相同”，
由（1）知，第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果，
且每个可能的结果对应的“第2次摸球中从甲、乙两袋中各一个球”均有36种可能取法，
所以（A），
由（1）知，第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果，
不妨设第1次摸球中甲取出1、乙取出（其余情况，同理可得），
则第1次摸球结束后，甲袋中红球2个、黑球4个，乙袋中红球4个、黑球2个，
在接下来的第2次摸球中，当甲、乙两袋取出的球颜色相同时，
共有种取法，
故，
所以，
因此．
人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
【解答】解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，
（1）；
所以试验一次结果为红球的概率为．
（2）①因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为；
②由①得，
所以方案一中取到红球的概率为：，
方案二中取到红球的概率为：，
因为，所以方案二中取到红球的概率更大．
含义
符号表示
包含
若事件A发生，则事件B一定发生
B⊇A
(或A⊆B)
相等
事件B包含事件A，事件A也包含事件B
A＝B
并事件
(和事件)
事件A与事件B至少有一个发生
A∪B
(或A＋B)
交事件
(积事件)
事件A与事件B同时发生
A∩B
(或AB)
互斥
(互不相容)
事件A与事件B不能同时发生
A∩B＝∅
互为对立
事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生
A∪B＝Ω，
且A∩B＝∅
科目
人数
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