高考数学一轮复习：7空间向量与立体几何-跟踪训练1（题型归纳与重难专题突破提升）

这是一份高考数学一轮复习：7空间向量与立体几何-跟踪训练1（题型归纳与重难专题突破提升），文件包含跟踪训练01基本立体图形原卷版docx、跟踪训练01基本立体图形解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
1．在四面体中，底面，，，点为三角形的重心，若四面体的外接球的表面积为，则
A．B．2C．D．
【解答】解：设的中点为，
点是的重心，，
设的外心为，由题意点在上，
令，则，
即，解得，
平面，
四面体的外接球的半径满足，
由题意得，，
解得，
．
故选：．
2．已三棱锥中，是以角为直角的直角三角形，为的外接圆的圆心，，那么三棱锥外接球的半径为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
设三棱锥外接球的球心为，半径为，连接，，，，
是以角为直角的直角三角形，为圆的直径，
则，
，，，
在中，由余弦定理得，
即，得，
则，得，，
，为的中点，，
，，平面，平面，
三棱锥外接球的球心在直线上，得，
在中，由，得，解得，
三棱锥外接球的半径为．
故选：．
3．已知等腰直角中，为直角，边，，分别为，上的动点与不重合），将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面．若点，，，，均在球的球面上，则球体积的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：显然不与重合，由点，，，，均在球的球面上，得，，，共圆，则，
又为等腰直角三角形，为斜边，即有，
将翻折后，，，又平面平面，
平面平面，
平面，平面，于是平面，平面，
显然，的中点，分别为△，四边形外接圆圆心，
则平面，平面，因此，，
取的中点，连接，，则有，，
四边形为矩形，设且，，，
设球的半径，有，
当时，，所以球体积的最小值为．
故选：．
4．正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：设正方形边长为，
设底面中心为，中点为，连接，，，，
如图所示：
由题意得，且正四棱锥的外接球球心
在上，设外接球半径为，则，
在中，，且，所以，
解得，即，
在中，，
过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心，
所以，则，
所以，
所以截面的面积．
故选：．
5．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：由给定的三视图知，这个几何体是底面直径为2，高为2的圆柱，上接一个底面直径为2，
高为的圆锥构成的组合体，如图，
则有圆锥的母线为，圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，
圆柱下底面圆面积，
这个几何体的表面是圆锥的侧面、圆柱的侧面、圆柱的下底面组成，
所以这个几何体的表面积为．
故选：．
6．圆台的内切球的表面积与圆台的侧面积之比为，则圆台母线与底面所成角的正切值为
A．B．1C．D．
【解答】解：根据题意，设圆台的上底半径为，下底半径为，其内切球的半径为，
该圆台和其内切球的轴截面如图：作，交于点，作，交于点，
分析可得，，则圆台的母线为，
在中，，，，
则有，变形可得，
故该圆台的侧面积，
内切球的表面积，
又由圆台的内切球的表面积与圆台的侧面积之比为，则有，
变形可得，即，
设圆台母线与底面所成角为，则．
故选：．
7．祖暅原理的内容为“幂势既同，则积不容异”，其意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设，为夹在两个平行平面间的两个几何体，，的体积相等，，在同一高处的截面积总相等．根据祖暅原理可知，是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由祖暅原理可知：由，在同一高处的截面积总相等，可得，的体积相等，即，
必要性成立；
反之：若两几何体，的体积相等，但两几何体，在同一高处的截面积不一定相等，即，
充分性不成立，
是的必要不充分条件．
故选：．
8．已知直四棱柱的棱长均为2，．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
A．B．C．D．2
【解答】解：如图所示：由已知，连接、，则，
因为直四棱柱的棱长均为2，，
所以△为等边三角形．且平面，取的中点，连接，则，
又平面，所以，
又，所以平面，
故平面截球面的截面圆的圆心是点，取、的中点、，
连接，、，则，
故、在球面上，，，
所以为直角三角形， 球面与侧面 的交线是侧面上以为圆心，为半径的圆弧．
故选：．
9．已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是矩形，平面底面，为正三角形，，则球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：令所在圆的圆心为，则圆的半径，
因为平面底面，
所以，
则球的半径，
所以球的表面积．
故选：．
10．在正三棱锥中，，分别为侧棱，的中点，若，且，则三棱锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，因为为正三棱锥，所以，．
取线段的中点，连接，，因为为的中点，
所以，．因为，所以．
在中，，
由勾股定理，得．设，，
在中，由余弦定理的推论，得①．
同理，在中，由余弦定理的推论，得②．
联立①②，解得，．
在中，由余弦定理，
得，
所以．取的中心，连接，，则平面，
三棱锥的外接球球心在上，连接，设外接球半径为．
在中，，，
所以，
所以，所以，
即，解得，
所以所求外接球的表面积为．
故选：．
11．已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为，，底面半径为．若，则该几何体的体积最大时，以为半径的球的体积为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知该几何体的体积为，
令，则，
令，得舍去），
则时，，单调递增，时，，单调递减，
故当时，取得最大值，此时该几何体的体积最大．
则以2为半径的球的体积为．
故选：．
12．将一张如图所示的两直角边长度分别为8和15的直角三角形硬纸片，沿虚线剪成四块，这四块纸片恰好可以通过折叠，拼接形成一个密封的直三棱柱模型，则所得直三棱柱模型的体积为
A．30B．24C．20D．18
【解答】解：由题意可得两块全等的小三角形作为直三棱柱的底面，剩下两部分拼接成直三棱柱的侧面，
则，分别为、中点，
，
即直三棱柱的高为4，
又底面三角形周长恰好为长度，，
设，其中，
设，
则的周长为，
又，
则，
即，
又，
则，
故，，
直三棱柱体积为．
故选：．
13．在直三棱柱中，，，、分别为、的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．
①若把面和面展开在同一个平面内，设的中点为，在直角三角形中，由勾股定理得．
②若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，由勾股定理得．
③若把面和面展开在同一个面内，过作与行的直线，过作与平行的直线，所作两线交于点，则在直角三角形中，由勾股定理得．
综上可得从到两点的最短路径的长度为．
故选：．
14．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法中不正确的是
A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面
D．若点在四边形内运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为圆上的一段弧
【解答】解：．当在平面上运动时，点到平面的距离为2，
所以四棱锥的体积，故正确；
．如图，建立空间直角坐标系，，0，，，，，，0，，，2，，
，
设与所成角为，
则．
当时，，则，
当时，，所以，故正确；
．如图，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，
，
，且，且，平面，
所以平面，即向量是平面的法向量，
，
若平面，则，即，
直线与底面有公共点，即存在点满足平面，故错误．
．若点在底面上运动，设，
平面的法向量为，
则直线与平面所成的角为时，
，
化简为，则点的轨迹为圆，
若点在四边形内运动，则轨迹为圆上的一段弧，故正确．
故选：．
15．龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙线，故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高，盆口直径，盆底直径．现往盆内注水，当水深为时，则盆内水的体积为
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长与交于点．
根据题意，，，，，
设，，
所以，
解得，，
所以，
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．在正方体中，，，分别为，，的中点，则
A．直线与直线异面
B．直线与平面平行
C．三棱锥的体积是正方体体积的
D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形
【解答】解：对于选项，易知直线与直线异面，故正确；
对于选项，取中点，连接，，
则，，易证平面平面，
从而平面，故正确；
对于选项，设正方体棱长为1，
，
而正方体体积为1，
三棱锥的体积是正方体体积的，故错；
对于选项，连接，，则，
所以、、、共面，即四边形是平面截正方体所得的截面，
易知该四边形为等腰梯形，故正确．
故选：．
17．如图，一个正方体密封容器中装有一半的水量，若将正方体随意旋转放置，则容器中水的上表面形状可能是
A．三角形B．矩形
C．非矩形的平行四边形D．六边形
【解答】解：因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，
过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为矩形，如图（1），故正确；
过正方体一面上一边的任意一点（非顶点）和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为非矩形的平行四边形，如图（2），故正确；
在正方体一面上相邻两边各取一点（非顶点），过这两点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为六边形，如图（3），故正确；
至于截面三角形，过正方体的中心不可能作出截面为三角形的图形，故错误．
故选：．
18．我国古代数学名著《九章算术商功》中记载了一些特殊几何体，如长方、堑堵、阳马、鳖臑等．并对这些几何体作了详细记载．如图长方体，按平面斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑，已知长方体中中，，，按以上操作得到鳖臑，则关于该鳖臑下列说法正确的是
A．三棱锥由三个直角三角形和一个锐角三角形组成的四面体
B．三棱锥由四个直角三角形组成的四面体
C．该鳖臑的最长棱长
D．该鳖臑的体积为4
【解答】解：如图，把三棱锥还原到长方体中，
则，，
所以错误，正确；
该鳖臑的最长棱长就是长方体的体对角线，所以正确．
该鳖臑的体积为，所以正确．
故选：．
19．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为
A．B．C．D．
【解答】解：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长，这时表面积为；
若绕斜边一周时旋转体为两个底对底的圆锥组合在一起，且由题意底面半径为，一个圆锥的母线长为1，所以表面积，
综上所述该几何体的表面积为，，
故选：．
20．如图，在棱长为2的正方体中，点，，分别为，，的中点，若点在线段上运动，则下列结论正确的为
A．与为共面直线
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．与平面所成角的正切值为
【解答】解：对于：连接，如图所示：
，分别为，的中点，
，
在正方体中，，
，
，故错误；
对于：连接，
点，分别为，的中点，
，
由选项得，
平面，平面，平面，平面，
平面，平面，
又，
平面平面，故正确；
对于：由选项得平面，
点在线段上运动，
点到平面的距离等于点到平面的距离，且为定值，
又△的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，故正确；
对于：建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示：
则，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，，2，，
，2，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，1，，
设与平面所成角为，
，，
，
，故错误．
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①，类似五面体的形状（如图②，若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为 ．
【解答】解：分别取，的中点，，连接，，
过点作的垂线，垂足为，
因为，，所以，所以，
根据对称性易得，
所以，
在中，，所以，
，
又，
所以．
故答案为：．
22．已知点，，，，，，，，其中，，且，，若四边形是矩形，则此矩形绕轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为 ．
【解答】解：由题意，令，，为方程的两个不同实数解，
，，
矩形绕轴旋转一周得到的圆柱的体积，
时，矩形绕轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为．
故答案为：．
23．如图，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有升水．若将容器平放在地面上（如图，则水面正好过圆锥的顶点；若将容器倒置（如图，水面也恰好过点．下列说法中，正确的是 ② ．（写出所有满足条件的说法序号）
①圆锥的高等于圆柱的高的一半；
②将容器的一条母线贴地，水面也恰过点；
③将容器任意摆放，当水面静止时都过点．
【解答】解：记圆柱底面积为，
记圆锥的高为，圆锥顶点到圆柱上底面的距离为，
设圆柱的高为，则，
由题知，，
且，
所以，
即，
故，
故①错误；
圆柱内部空间体积为，
而水的体积为，
故水的体积正好是圆柱内部空间体积的一半，
因此将圆柱母线贴地，水面过点，
故②正确；
因为过点的平面不可能总平分圆柱内部空间，
故③错误．
故答案为：②．
24．已知棱长为1的正方体，为的中点，点为四边形及其内部任意一点，若，则三棱锥体积的取值范围是 ．
【解答】解：在棱长为1的正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，
设点，，，，，
，又，
，
，点到平面的距离，
三棱锥体积，
三棱锥体积的取值范围是．
故答案为：．
25．如图所示，△是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为 ．
【解答】解：因为轴，所以的中，，又三角形的面积为16，
所以．，
所以．如图作于，
所以，
所以的长为：．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
26．在四棱锥中，底面是矩形，平面，且，，．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小．
【解答】解：（1）如图，连接，设，
则，
又，，
，得．
四棱锥的体积；
（2）底面是矩形，，
为异面直线与所成角，
平面，平面，平面平面，
又平面平面，，平面，则，
在中，，
异面直线与所成角的大小为．
27．如图所示，三棱柱中，，，，．
（1）证明：；
（2）若，求三棱柱的体积．
【解答】解：（1），，．
，．
，，．
又，平面．
平面，．
（2），，，
，，，
由（1）可得，，平面．
．
28．已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4．
（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角；
（2）如图，若圆锥中内接一个高为的圆柱，求该圆柱的侧面积．
【解答】解：（1）因为圆锥的底面半径，母线长，
设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为，则．
（2）如图所示，设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，
则，，
易知，，即，，圆柱的侧面积．